Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-1
Wykład 19
19.
Elektrostatyka I
19.1
Wstęp
Większość ciał stałych moŜna podzielić na
przewodniki
i
izolatory
. W izolatorze
nadmiarowy ładunek moŜe być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewod-
nikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytwo-
rzy się pole równowaŜące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuŜ
poniŜej powierzchni przewodnika. Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
0
.
d
ε
wewn
Q
=
∫
S
E
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie po-
wierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elek-
trony poruszałyby się czyli
0
d
=
∫
S
E
Zatem
0 = Q
wewn.
/
ε
0
Stąd
Q
wewn.
= 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.
19.2
Kuliste rozkłady ładunków
19.2.1
Jednorodnie naładowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną po-
wierzchnię kulistą. W dowolnym punkcie sfery E
S więc
∫
=
)
4
(
d
2
r
E
π
S
E
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4
π
r
2
) = Q/
ε
0
czyli
S
r
R
+Q
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-2
2
2
0
4
1
r
Q
k
r
Q
E
=
=
πε
(19.1)
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R, E = 0.
19.2.2
Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równowaŜne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równowaŜny szeregowi współśrodkowych sfer.
2
.
r
Q
k
E
wewn
=
gdzie Q
wewn.
= Q(r
3
/R
3
) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o pro-
mieniu R, rysunek obok).
=
3
3
2
4
)
4
(
R
r
Q
k
r
E
π
π
Czyli
r
R
Q
k
E
3
=
(19.2)
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany
poniŜej.
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie
naładowaną kulę o promieniu R = 10
-10
m, całkowitym
ładunku Q = e = -1.6·10
-19
C i masie m
e
= 9.1·10
-31
kg.
Proton znajdujący się w środku chmury elektronowej
(stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odle-
głość x
0
i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotli-
wość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wo-
kół ich połoŜeń równowagi?
R
r
Q
Q
wewn
kQ
2
/R
2
R
E
r
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-3
Siła przywracająca proton do połoŜenia
równowagi F = eE czyli
x
R
e
k
F
3
2
−
=
lub
x
R
e
k
t
x
m
e
3
2
2
2
d
d
−
=
Powinniśmy się posługiwać raczej masą
zredukowaną
µ
=M
p
m
e
/(M
P
+ m
e
) ale m
e
<< M
p
więc
µ
≈
m
e
.
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
3
2
R
m
ke
e
=
ω
π
ω
2
=
f
= 2.5·10
15
Hz
Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierw-
szym stanie wzbudzonym czyli, Ŝe taki model jest uzasadniony.
19.2.3
Liniowe rozkłady ładunków
Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długo-
ś
ci l >> r.
Wprowadzamy liniową gęstość ładunku
λ
(ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (moŜemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa
∫
=
=
)
(
4
d
0
L
k
L
λ
π
ε
λ
S
E
E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w kaŜdym punkcie powierzchni
więc
2
π
rLE = 4
π
kL
λ
R
x
0
chmura
elektronowa
proton
L
r
+
+
+
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-4
r
r
k
E
0
2
2
πε
λ
λ
=
=
(19.3)
Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Q
wewn.
=
ρπ
r
2
L, gdzie
ρ
- gęstość objętościowa
ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2
π
rL) = 4
π
k(
ρπ
r
2
L)
E = 2k
ρπ
r
poniewaŜ
λ
=
ρπ
R
2
więc
r
R
r
R
k
E
2
0
2
2
2
πε
λ
λ
=
=
(19.4)
19.2.4
Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaus-
sa jest równy Q
wewn.
=
σ
S, gdzie
σ
jest gęstością po-
wierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z
prawa Gaussa
2ES =
σ
S/
ε
0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom wal-
ca.
Ostatecznie otrzymujemy
E =
σ
/2
ε
0
(19.5)
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich
równoległych płyt (kondensator płaski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniŜej) jest równe
E
minus
=
σ
/2
ε
0
i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej
E
plus
=
σ
/
ε
0
i skierowane jest od płyty.
Zatem w obszarze I
E
I
=
σ
/2
ε
0
+ (–
σ
/2
ε
0
) = 0
E
E
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-5
w obszarze II
E
II
= –
σ
/2
ε
0
+ (–
σ
/2
ε
0
) = –
σ
/
ε
0
w obszarze III
E
III
= (–
σ
/2
ε
0
) +
σ
/2
ε
0
= 0
19.2.5
Powierzchnia przewodnika
JeŜeli przedstawiona na rysunku naładowana
powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to poniewaŜ cały ładunek groma-
dzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz
E = 0. Co więcej E musi być prostopa-
dłe do powierzchni (równoległe do
S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony
poruszałyby się. Z prawa Gaussa
ES = (
σ
S)/
ε
0
więc
E =
σ
/
ε
0
(19.6)
na powierzchni przewodnika.
19.3
Potencjał elektryczny
Zgodnie z naszymi rozwaŜaniami róŜnica energii potencjalnych jest dana przez
∫
−
=
−
B
A
pA
pB
E
E
r
F d
co dla pola elektrycznego daje
∫
∫
−
=
−
=
−
B
A
B
A
pA
pB
q
E
E
r
E
r
F
d
d
(19.7)
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej moŜemy zdefiniować punkt zerowej
energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy
∫
∞
−
=
r
p
q
r
E
r
E d
)
(
JeŜeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ła-
dunku punktowego Q, to
energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej
, czyli
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
I
II
III
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19-6
∫
∞
∞
∞
−
−
=
−
=
=
r
r
r
p
r
qQk
r
r
Q
k
q
W
r
E
1
d
)
(
2
r
qQ
k
r
E
p
=
)
(
(19.8)
jest
energią potencjalną
ładunków q i Q.
Potencjał elektryczny
jest definiowany jako
energia potencjalna na jednostkowy ładu-
nek
q
W
q
r
E
r
V
r
p
∞
=
=
)
(
)
(
(19.9)
Dla ładunku punktowego
r
Q
k
V
=
(19.10)
Potencjał
= praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności
do r od ładunku punktowego Q.
RóŜnica potencjałów
czyli
napięcie U
pomiędzy dwoma punktami = praca na przenie-
sienie ładunku jednostkowego między tymi punktami
∫
−
=
=
=
−
B
A
AB
A
B
W
U
V
V
r
E d
(19.11)