Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

Bud. A4 „Stara kotłownia”, pokój 359

Tel.: [phone]
Fax: [phone]

E-mail:

[e-mail]

Internet:

www.itcmp.pwr.wroc.pl/elektra

Politechnika Wrocławska

Instytut Techniki Cieplnej

i Mechaniki Płynów

Zakład Elektrostatyki i Tribologii

Podstawy elektrotechniki

Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. PWr

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe

Prąd i napięcie trójfazowe

(

)

(

)

(

)

3

/

2

m

3

/

4

m

3

/

2

m

m

sin

sin

sin

sin

π

ω

π

ω

π

ω

ω

+

=

−

=

−

=

=

t

E

t

E

e

t

E

e

t

E

e

T

S

R

0

=

+

+

T

S

R

e

e

e

2

m

E

E

E

E

T

S

R

=

=

=

0

=

+

+

T

S

R

E

E

E

Obwody trójfazowe

Prąd i napięcie trójfazowe

t

e

2

π

/3

0

e

R

e

S

4

π

/3

e

T

2

π

Obwody trójfazowe

Prąd i napięcie trójfazowe

120°

120°

120°

E

T

ω

E

R

E

S

E

T

E

R

E

S

Obwody trójfazowe

Prąd i napięcie trójfazowe

(

)

(

)

(

)

ϕ

π

ω

ϕ

π

ω

ϕ

ω

−

−

=

−

−

=

−

=

3

/

4

m

3

/

2

m

m

sin

sin

sin

t

I

i

t

I

i

t

I

i

T

S

R

Założenia:

Z

R

= Z

S

= Z

T

U

R

= U

S

= U

T

∧ I

R

= I

S

= I

T

Obwody trójfazowe

Prąd i napięcie trójfazowe

ω

ϕ

ϕ

ϕ

120°

120°

120°

U

T

U

R

U

S

I

R

I

T

I

S

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w gwiazdę

U

X

Y

Z

W

V

R

S

T

0

f

T

S

R

U

U

U

U

=

=

=

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w gwiazdę

60°

R

S

T

30°

U

RS

U

TR

U

ST

U

R

U

T

U

S

U

RS

U

R

−U

S

R

T

TR

T

S

ST

S

R

RS

U

U

U

U

U

U

U

U

U

−

=

−

=

−

=

U

U

U

U

TR

ST

RS

=

=

=

f

f

f

U

U

U

U

3

2

3

2

30

cos

2

=

=

°

=

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w gwiazdę

R

S

T

0

M

3~

M

1~

0

0

=

+

+

+

I

I

I

I

T

S

R

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w gwiazdę

Symetria obciążenia

0

=

+

+

T

S

R

I

I

I

0

0

=

I

Asymetria obciążenia

(

)

T

S

R

I

I

I

I

+

+

−

=

0

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w gwiazdę

Asymetria obciążenia

ϕ

T

0

0

I

R

I

T

I

S

U

R

U

T

U

S

ϕ

R

ϕ

S

= 0

I

R

I

S

I

T

I

0

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Obwody skojarzone w trójkąt

U

X

Y

Z

W

V

R

S

T

U

R

U

S

U

T

0

=

+

+

T

S

R

U

U

U

T

TR

S

ST

R

RS

U

U

U

U

U

U

=

=

=

f

f

I

I

U

U

3

oraz

=

=

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Moc symetrycznego układu trójfazowego

ϕ

ϕ

cos

3

3

cos

f

f

f

f

f

f

I

U

P

P

I

U

P

=

=

⇒

=

R

S

T

U

f

Z

f

I

= I

f

U

= √3 U

f

Gwiazda

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Moc symetrycznego układu trójfazowego

ϕ

ϕ

cos

3

3

cos

f

f

f

f

f

f

I

U

P

P

I

U

P

=

=

⇒

=

R

S

T

I

= √3 I

f

U

= U

f

I

f

Z

f

Trójkąt

Obwody trójfazowe

Obwody trójfazowe skojarzone

Moc symetrycznego układu trójfazowego

ϕ

ϕ

cos

3

3

cos

f

f

f

f

f

f

I

U

P

P

I

U

P

=

=

⇒

=

I

I

U

U

f

f

=

=

,

3

3

,

I

I

U

U

f

f

=

=

]

VA

[

3

]

var

[

sin

3

]

W

[

cos

3

UI

S

UI

Q

UI

P

=

=

=

ϕ

ϕ

gwiazda

trójkąt

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

R

S

T

0

W

W

W

P

R

P

T

Z

R

P

S

Z

S

Z

T

T

S

R

P

P

P

P

+

+

=

f

f

T

S

R

P

P

P

P

P

P

3

=

⇒

=

=

=

Asymetria obciążenia

Symetria obciążenia

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

R

S

T

W

W

Odb.

P

β

P

α

I

R

I

T

U

RS

U

TS

Układ Aarona

Punkt zerowy jest niedostępny (odbiornik nie jest połączony ze źródłem
zasilania za pomocą przewodu zerowego) — moc układu trójfazowego
można zmierzyć za pomocą t y l k o dwóch watomierzy, połączonych w
tzw. układ Arona.

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

Układ Aarona

(

)

(

)

°

+

=

°

−

=

30

cos

30

cos

ϕ

ϕ

β

α

UI

P

UI

P

(

)

(

)

[

]

ϕ

ϕ

ϕ

β

α

cos

3

30

cos

30

cos

UI

UI

P

P

P

=

°

+

+

°

−

=

+

=

β

α

β

α

cos

cos

R

RS

T

TS

I

U

I

U

P

P

P

+

=

+

=

α

= ∠(

I

T

,

U

TS

) i

β

= ∠(

I

R

,

U

RS

)

Ogólnie (asymetria obciążenia)

Szczególnie (symetria obciążenia)

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

Układ Aarona

ϕ

[°]

-50

50

150

-100

0

100

200

P

[%]

0

P

P

α

P

β

−

90

−

60

−

30

30

60

90

charakter

pojemnościowy

charakter
indukcyjny

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

Układ Aarona

UI

UI

P

P

2

3

30

cos

=

°

=

=

β

α

Gdy

ϕ

= 0 ∧ cos

ϕ

= 1

Gdy

ϕ

= 60° ∧ cos

ϕ

= 0,5

UI

P

P

P

3

=

+

=

β

α

UI

P

P

P

2

3

;

0

=

=

=

α

β

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

R

S

T

W

I

R

U

ST

Z

R

Z

S

Z

T

Energię elektryczną mierzy się licznikami energii (miernikami indukcyj-

nymi). W układach trójfazowych symetrycznych można zmierzyć moc

albo energię bierną włączając watomierz albo licznik tak, aby cewka

prądowa miernika była włączona np. w fazę R, a cewka napięciowa

między fazy S i T.

Pomiar mocy albo energii biernej prądu

trójfazowego w układzie symetrycznym

Watomierz albo licznik

energii elektrycznej

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

ϕ

90°

−

ϕ

0

I

R

U

ST

U

R

U

T

U

S

ϕ

sin

R

R

R

I

U

Q

=

(

)

ϕ

ϕ

sin

90

cos

R

ST

R

ST

I

U

I

U

P

=

−

°

=

Moc bierna z definicji

Moc czynna mierzona

Pomiar mocy albo energii biernej prądu

trójfazowego w układzie symetrycznym

Obwody trójfazowe

Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego

R

ST

U

U

3

=

P

Q

Q

P

Q

R

R

3

3

3

=

=

∧

=

Pomiar mocy albo energii biernej prądu

trójfazowego w układzie symetrycznym

Qt

A

b

=

Energia bierna

Moc bierna