Kolokwium 1 – podejście 2

{odpowiedzi}

grupa II

Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb:

1.

,

2.

Trzy pierwiastki ( ):

1.:

,

2.:

,

3.:

,

3.

Zadanie 2: Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych:

1.
Niech . Wtedy

2.

Niech . Wtedy

(tą zależność można wyczytać, rysując wykres i

zaznaczając na nim liczby oraz lub wyjść z postaci trygonometrycznej:

)

Wtedy

.

oraz udowodnić

1.

Niech .

Zadanie 3: W zbiorze określamy działanie

Zbadać, czy jest grupą.

Rozwiązanie:

1. łączność (

)

Zatem

, czyli jest łączna.

2. element neutralny

Niech . Szukamy , które należałoby do i spełniało równość:

Zatem element neutralny istnieje i jest to .

3. element odwrotny

Niech Dla każdego szukamy , które należałoby do i spełniało równość:

Zatem element odwrotny istnieje:

.

Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że jest grupą.

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej :

,

Rozwiązanie: Niech

,

. Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do .

Niech będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że spełnia własność podaną w
definicji zbioru .

Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów , , w

.

Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to

tylko dla

. Sprawdzamy:

wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy:

Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy

, czyli układ wektorów jest liniowo

niezależny.