Kolokwium 1 – podejście 2

{odpowiedzi}

grupa III

Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb:

1.

,

2.

Trzy pierwiastki ( ):

1.:

,

2.:

,

3.:

,

3.

Zadanie 2: Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych:

1.

Niech .

2.

oraz udowodnić

3.

Niech .

Zadanie 3: W zbiorze

par liczb rzeczywistych określone jest działanie:

Sprawdzić, czy

jest grupą.

Rozwiązanie:

1. łączność (

)

Niech

,

,

Zatem

, czyli

jest łączna.

2. element neutralny

Niech

. Szukamy

, które należałoby do

i spełniało równość:

Zatem element neutralny istnieje i jest to .

3. element odwrotny

Niech

Dla każdego szukamy

, które należałoby do

i

spełniało równość:

Zatem

istnieje:

.

Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że

jest grupą.

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V:

Rozwiązanie: Niech

,

. Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do .

Niech będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że współrzędne spełniają własność
podaną w definicji zbioru .
Niech

, gdzie

,

, czyli według definicji zbioru są postaci:

oraz

.

Znajdujemy współrzędne (nazwijmy je

):

Zatem

.

Sprawdzamy, czy współrzędne spełniają własność podaną w definicji zbioru :

Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów , , w

.

Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to

tylko dla

. Sprawdzamy:

wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy:

Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy

, czyli układ wektorów jest liniowo

niezależny.