Kolokwium 1 – podejście 2
{odpowiedzi}
grupa I
Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb:
1.
,
2.
Trzy pierwiastki ( ):
1.:
,
2.:
,
3.:
,
3.
Zadanie 2: Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych:
1.
Niech . Wtedy
2.
przesunięty o wektor
i
i
oraz udowodnić
3.
Niech
oraz
.
Zadanie3: W zbiorze
par liczb rzeczywistych określone jest działanie:
Sprawdzić, czy
jest grupą.
Rozwiązanie:
1. łączność (
)
Niech
,
,
Zatem
, czyli
jest łączna.
2. element neutralny
Niech
. Szukamy
, które należałoby do
i spełniało równość:
Zatem element neutralny istnieje i jest to .
3. element odwrotny
Niech
Dla każdego szukamy
, które należałoby do
i
spełniało równość:
Zatem
istnieje:
.
Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że
jest grupą.
Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej :
,
Rozwiązanie: Niech
,
. Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do .
Niech będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że spełnia własność podaną w
definicji zbioru .
Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów , , w
.
Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to
tylko dla
. Sprawdzamy:
wstawiamy do równania pierwszego i trzeciego. Otrzymujemy:
Czyli mamy nieskończenie wiele rozwiązań, gdzie:
. Na przykład dla
,
i
. A zatem
dla
,
i
innych niż same zera,
czyli układ wektorów jest liniowo zależny.