www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
(OKE P
OZNA ´N
)
POZIOM ROZSZERZONY
11
STYCZNIA
2010
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
1
(5
PKT
.)
Udowodnij, ˙ze suma sze´scianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.
2
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
2
(4
PKT
.)
Dla ka ˙zdego n
∈
N
+
wyrazy ci ˛agu
(
a
n
)
spełniaj ˛a dwa warunki a
n
+
a
n
+
1
=
−
n
2
+
3n
+
17
n
2
+
1
i
a
n
−
a
n
+
1
=
6n
+
19
n
2
+
1
. Oblicz, które wyrazy tego ci ˛agu s ˛a dodatnie.
3
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(6
PKT
.)
Liczb˛e 255 przedstaw w postaci czterech całkowitych składników tworz ˛acych ci ˛ag geome-
tryczny wiedz ˛ac, ˙ze trzeci wyraz tego ci ˛agu jest o 45 wi˛ekszy od wyrazu pierwszego.
4
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
5
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
4
(4
PKT
.)
Ró ˙znymi pierwiastkami równania kwadratowego
(
m
−
2
)
x
2
−
2x
+
1
=
0 s ˛a liczby x
1
oraz
x
2
. Narysuj wykres funkcji f
(
m
) = |
x
1
+
x
2
+
x
1
·
x
2
|
.
6
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(4
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze w trójk ˛acie prostok ˛atnym suma długo´sci obu przyprostok ˛atnych jest równa su-
mie długo´sci ´srednic okr˛egów wpisanego i opisanego na tym trójk ˛acie.
7
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(4
PKT
.)
Podstaw ˛a graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przek ˛atna ma długo´s´c c, a k ˛at
ostry miar˛e 2α. Pole przekroju wyznaczonego przez kraw˛ed´z boczn ˛a graniastosłupa i dłu ˙z-
sz ˛a przek ˛atn ˛a podstawy wynosi P. Oblicz długo´s´c dłu ˙zszej przek ˛atnej graniastosłupa, wy-
konaj rysunek bryły i zaznacz w nim wła´sciwy przekrój.
8
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(5
PKT
.)
W czworok ˛acie ABCD przek ˛atne przecinaj ˛a si˛e w punkcie o współrz˛ednych P
= (−
3, 7
)
w
taki sposób, ˙ze
|
PC
|
:
|
AP
| = |
PD
|
:
|
BP
| =
1 : 3. Wiedz ˛ac, ˙ze
−→
AC
= [
4, 6
]
i
−→
BD
= [−
10,
−
2
]
,
oblicz współrz˛edne wierzchołków tego czworok ˛ata. Uzasadnij, ˙ze czworok ˛at ABCD jest tra-
pezem.
9
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
10
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(5
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze cosinus k ˛ata przeci˛ecia si˛e wykresów funkcji f
(
x
) =
4
3
x
+
1 i g
(
x
) = −
x
√
2
+
9
jest równy
4
√
6
−
3
√
3
15
.
11
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
12
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(4
PKT
.)
Oblicz warto´s´c funkcji f
(
x
) = |
1
−
2
x
−
3
|
dla argumentu
x
=
log
13
log
2
12
8
+
log
12
64
·
log
12
18
+
log
2
12
18
+
49
1
log3 7
.
13
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(4
PKT
.)
Posługuj ˛ac si˛e wykresem funkcji f
(
x
) =
cos 2x dla x
∈ −
π
,
3π
2
, rozwi ˛a˙z nierówno´s´c
cos 2x
<
sin α wiedz ˛ac, ˙ze miara k ˛ata α jest równa mierze łukowej k ˛ata ´srodkowego okr˛egu
opartego na
5
12
okr˛egu.
14
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
11
(5
PKT
.)
Liczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporz ˛adko-
wanych trójek. Oblicz prawdopodobie ´nstwo wylosowania trzech osób, które s ˛a zapisane w
dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim (uwzgl˛edniamy kolejno´s´c).
15
T. G.
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl