Piotr Ciżkowicz

Sebastian Michalski

Anna Staszewska

Rafał Wawrzyńczyk

Bartosz Witkowski

MATERIAŁY DO ZAJĘĆ

METODY

ILOŚCIOWE

POD REDAKCJĄ SEBASTIANA MICHALSKIEGO

WYŻSZA SZKOŁA HANDLU I FINANSÓW MIĘDZYNARODOWYCH

WARSZAWA 2004

Spis treści

1

Część matematyczna i ekonometryczna,

Sebastian Michalski

3

1.1

Równanie prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Funkcja jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Ciągi i szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Elementy matematyki finansowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Pochodna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Druga pochodna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

Funkcje dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8

Znak sigmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9

Całka

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2

Część statystyczna,

red. Sebastian Michalski

23

2.1

Miary tendencji centralnej i miary zmienności,

Rafał Wawrzyńczyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Zmienne losowe, rozkład normalny, średnia i różnica dwóch średnich,

Piotr Ciżkowicz

. . . . . . . . .

26

2.2.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Estymacja parametrów. Przedziały ufności,

Anna Staszewska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4

Weryfikacja hipotez statystycznych – testy istotności dla pojedynczej próby,

Bartosz Witkowski . . . .

32

2.4.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2

1

Część matematyczna i ekonometryczna,

Sebastian Michalski

1.1

Równanie prostej

Postać ogólna

Ax + By + C = 0,

A

2

+ B

2

> 0.

(1)

Postać kierunkowa

y = ax + b.

(2)

Przejście z postaci ogólnej do kierunkowej i odwrotnie.
Proste równoległe (a

1

= a

2

) i prostopadłe (a

1

= −

1

a

2

).

Interpretacja a:

1. współczynnik kierunkowy,

2. tangens kąta nachylenia prostej do osi 0x (odciętych) (rysunek),

3. wzrost (dla a > 0) bądź spadek (dla a < 0) y przy wzroście x o jednostkę (rysunek), np. funkcja konsumpcji

względem dochodu.

Interpretacja b:

1. stała lub wyraz wolny,

2. odległość punktu przecięcia prostej z osią 0y (rzędnych) od początku układu współrzędnych - punktu (0, 0)

(rysunek),

3. y = b dla x = 0

4. autonomiczna część y (niezależna od x), np. funkcja konsumpcji względem dochodu lub poziom y przy x = 0,

np. plony jako funkcja nawożenia.

Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez punkty A(a

x

, a

y

) i B(b

x

, b

y

) z układu równań:



a

y

= aa

x

+ b

b

y

= ab

x

+ b

(3)

Równania postaci y = c (gdy a

y

= b

y

) oraz x = c (gdy a

x

= b

x

– układ sprzeczny), gdzie c – stała.

Postać odcinkowa

x

α

+

y

β

= 1.

(4)

Bezpośrednie odczytanie punktów przecięcia z osiami z postaci odcinkowej: z osią 0x jako (α, 0), z osią 0y jako (0, β).
Przejście z postaci: ogólnej do odcinkowej (i odwrotnie), kierunkowej do odcinkowej (i odwrotnie).

Postać parametryczna



x = (1 − t)a

x

+ tb

x

y = (1 − t)a

y

+ tb

y

(5)

A, B – jak wyżej, t – dowolna liczba rzeczywista (t ∈ R).
Dla t ∈ [0, 1] – parametryczną postać odcinka (wyznaczenie końców odcinka przez podstawienie t = 0 oraz t = 1 oraz
jego środka dla t =

1
2

).

Przejście z postaci parametrycznej do ogólnej (eliminacja t przy rozwiązywaniu układu równań (5)) oraz odwrotnie –
z ogólnej do parametrycznej (znalezienie dowolnych dwóch punktów (wygodnie dla x = 0 i x = 1) leżących na prostej
i skorzystanie ze wzoru (5)).

Szybkie wyznaczanie współczynnika kierunkowego a z postaci parametrycznej:

współczynnik stojący przy t definiującym y

współczynnik stojący przy t definiującym x

.

(6)

Wyznaczenie długości odcinka o końcach w A i B:

q

(a

x

− b

x

)

2

+ (a

y

− b

y

)

2

.

(7)

Wyznaczanie punktów przecięcia się prostych postaci:

1. ogólnych – rozwiązując układ równań,

2. kierunkowych – przyrównując do siebie prawe strony równań,

3. odcinkowych – przyrównując do siebie lewe strony równań,

4. parametrycznych – przyrównując odcięte a następnie rzędne obu równań.

3

1.1.1

Zadania

Zadanie 1 Znaleźć współrzędne punktów przecięcia się prostych:

1. 3x + 2y − 1 = 0 i 2x − y − 3 = 0,

2. y = 3x + 2 i y = 4x + 5,

3.

x

2

+

y
3

= 1 i

x

4

+

y
2

= 1,

4. x = 2 + t

1

, y = 4 + 3t

1

i x = 4 − 2t

2

, y = 6 − 3t

2

, t

1

, t

2

∈ R.

Zadanie 2 Znaleźć współrzędne punktów przecięcia sie prostych podanych w w/w zadaniu z osiami współrzędnych.

Zadanie 3 Podać równanie prostej przechodzącej przez punkty:

1. A(3, 5), B(3, 6),

2. A(2, 1), B(4, 1),

3. A(3, 1), B(4, 2).

Zadanie 4 Dana jest prosta:



x = 3t − 1
y = 5 + 2t

t ∈ R. Znaleźć:

1. punkty przecięcia się z prostą 3x − 2y + 5 = 0,

2. punkty przecięcia się z prostą y = 3x + 5.

Zadanie 5

1. Podać prostą równoległą do prostej 3x + 2y − 1 = 0 i przechodzącą przez punkt (3, 2).

2. Podać prostą prostopadłą do prostej 2x − y + 3 = 0 i przechodzącą przez punkt (3, 2).

1.2

Funkcja jednej zmiennej

Definicja funkcji

Funkcja zmiennej x:

y = f (x), x ∈ X,

(8)

to przyporządkowane każdemu argumentowi x (zmienna niezależna) ze zbioru X dokładnie jednej wartości y (zmienna
zależna) ze zbioru Y (X, Y ∈ R). Funkcja przekształcająca zbiór X w zbiór Y :

f : X → Y, y = f (x).

(9)

Dziedzina funkcji f : D

f

∈ R – zbiór X, na którym jest określona funkcja f.

Y – przeciwdziedzina funkcji.
f (X) – obraz dziedziny / zbiór wartości funkcji:

f (X) = y :

y = f (x),

x ∈ X.

(10)

Funkcja przekształca zbiór X na zbiór Y , gdy:

f (X) = Y.

(11)

Omówienie funkcji na przykładach i wykresach: f (x) = ax + b, f (x) = a +

b

x

, a

x

.

Miejsce zerowe funkcji

x

0

∈ D

f

:

f (x

0

) = 0.

(12)

Obliczanie miejsc zerowych na przykładach (ax + b, ax

2

+ bx, ax

2

+ bx + c, ax

3

+ bx).

Monotoniczność

Funkcję f określoną w zbiorze X nazywamy monotoniczną w swojej dziedzinie, jeżeli jest:

1. rosnąca ⇔ x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) < f (x

2

) dla x

1

, x

2

∈ X,

2. malejąca ⇔ x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) > f (x

2

) dla x

1

, x

2

∈ X,

3. niemalejąca ⇔ x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ¬ f (x

2

) dla x

1

, x

2

∈ X,

4. nierosnąca ⇔ x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ­ f (x

2

) dla x

1

, x

2

∈ X,

5. stała ⇔ f (x

1

) = f (x

2

) dla x

1

, x

2

∈ X.

(rysunki).
Przedziały monotoniczności – zbiór X jako suma przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna.
Funkcje ściśle monotoniczne (rosnące i malejące).

4

Funkcja różnowartościowa f : X → Y jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych x

1

= x

2

należących do X

zachodzi: f(x

1

)

= f(x

2

).

Funkcja odwrotna Funkcję f

−1

: Y → X nazywamy odwrotną do różnowartościowej f, jeżeli dla każdego x ∈ X i

y ∈ Y zachodzi y = f(x) ⇔ x = f

−1

(y). (przykład, rysunek)

Ciągłość funkcji f jest ciągła w x

0

, jeżeli ma w tym punkcie granicę równą swojej wartości w tym punkcie. (przykład,

kontrprzykład, rysunek) f jest ciągła w swojej dziedzinie, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Superpozycja Złożeniem (superpozycją) funkcji g : X → Y (wewnętrznej) i f : Y → Z (zewnętrznej) nazywamy
funkcję h : X → Z, taką, że h(x) = f(g(x)), x ∈ X. (przykłady)

Przykłady funkcji

1. linowa f(x) = ax + b,

x ∈ ,

2. kwardatowa f(x) = ax

2

+ bx + c,

a = 0,

x ∈ ,

3. potęgowa f(x) = x

a

,

a ∈ ,

4. wykładniczna f(x) = a

x

,

a = 1,

x ∈ ,

5. logarytmiczna f(x) = log

a

x,

a > 0,

a = 1,

x > 0.

(przykłady, rysunki)

Koło trygonometryczne (okrąg trygonometryczny) to okrąg o promieniu r = 1 o środku w początku prostokątne-
go, kartezjańskiego układu współrzędnych, służący do określenia wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych
argumentów rzeczywistych.

sin α =

y
r

,

cos α =

x

r

,

tg α =

y
x

,

ctg α =

x
y

.

(13)

tg

α

1

1

sin

α

cos

α

x

y

ctg

α

α

0

Źródło: opracowanie własne.

Rysunek 1:

Koło trygonometryczne: dla dowolnej liczby rzeczywistej

α znajduje się półprostą, będącą końcowym położeniem półprostej

pokrywającej się z dodatnią półosią osi

Ox po wykonaniu przez nią obrotu o mierze α (kąt obrotu) wokół początku układu współrzędnych

oraz ustala się współrzędne (

x, y) punktu przecięcia się otrzymanej półprostej z okręgiem trygonometrycznym.

1.2.1

Zadania

Zadanie 6 Dana jest funkcja f(x) =

1
3

x

2

+ (

3

√

x + 1)

2

. Znaleźć: f(1), f(0), f(k), f(a

2

− 1), f(x + 2).

Zadanie 7 Dana jest funkcja f(x) =

1
3

x

2

+ (

3

√

x + 1)

2

. Znaleźć: f(1), f(0), f(k), f(a

2

− 1), f(x + 2).

Zadanie 8 Wyznaczyć dziedzinę następujących funkcji:

5

1. f (x) =

√

8 − x

3

,

2. f (x) =

1
2

x

1
2

+ 1,

3. f (x) =

q

x−3

x

2

−1

,

4. f (x) = log

x+2

x

2

−1

,

5. f (x) =

2

x

−1

2

x

+1

,

6. f (x) =

1

log(2+x)

+

√

x − 3.

Zadanie 9 Z jakich funkcji złożona jest funkcja:

1. z = log

x

3x

2

+1

,

2. z = cos

3

√

x

3

+ 1,

3. z =

5

plog(x

2

+ x

3

),

4. z = e

x

3

−2

,

5. z = log

3

(ctg x

2

),

6. z = (2 + 3x

3

)

6

.

Zadanie 10 Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

1. f (x) = 10

x−1

,

2. f (x) =

3

x

1+3

x

,

3. f (x) =

√

3 + 2x,

4. f (x) =

1

x−4

.

1.3

Ciągi i szeregi

Ciag skończony

(a

n

) lub a

1

, a

2

, . . . , a

n

jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych mniej-

szych lub równych od pewnej liczby, zwanej ilością wyrazów albo długością ciągu skończonego. W szczególności, dwu-
wyrazowe ciągi nazywa się parami, trójwyrazowe – trójkami itd.

Ciag nieskończony

jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych.

W powyższych założeniach nie mówi się, czym są wartości funkcji będących ciągami. W zależności od

tego, czym one są, mówi się o ciągach liczbowych, ciągach punktów, fukcji, figur, itp. Wartość funkcji będącej
ciągiem, przyporządkowaną liczbie naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy symbolem
postaci a

n

, zamiast powszechnie używanego na oznaczenie wartości funkcji symbolu postaci f (n). Dzięki

temu, że wyrazy ciągu sa przyporządkowane liczbom naturalnym, jest wśród nich ustalona kolejność, według
której dla każdego naturalnego n wyraz a

n

poprzedza wyraz a

n+1

, a ten drugi następuje po pierwszym,

[11].

Ciąg liczbowy

to ciąg, którego wyrazami są liczby określonego rodzaju, np.: całkowite Z, wymierne Q, rzeczywiste

R, zespolone C i in.

Ciąg arytmetyczny

(skończony lub nieskończony) to ciąg liczbowy, dla którego róznica pomiędzy wyrazami następ-

nym i poprzednim jest taka sama dla wszystkich par takich wyrazów:

a

2

− a

1

= a

3

− a

2

= . . . = a

n

− a

n−1

= q.

(14)

Zatem:

a

2

− a

1

= q

⇒

a

2

= a

1

+ q,

a

3

− a

2

= q

⇒

a

3

= a

2

+ q

⇒

a

3

= a

1

+ 2q,

a

4

− a

3

= q

⇒

a

4

= a

3

+ q

⇒

a

4

= a

1

+ 3q,

..

.

a

n

− a

n−1

= q

⇒

a

n

= a

n−1

+ q

⇒

a

n

= a

1

+ (n − 1)q.

Ostatecznie ciąg (a

n

) przyjmuje postać:

a

1

|{z}

a

1

, a

1

+ q

|

{z

}

a

2

, a

1

+ 2q

|

{z

}

a

3

, . . . , a

1

+ (n − 1)q

|

{z

}

a

n

.

(15)

6

Szereg arytmetyczny

S

n

= a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

=

a

1

|{z}

a

1

+ a

1

+ q

|

{z

}

a

2

+ a

1

+ 2q

|

{z

}

a

3

+ · · · + a

1

+ (n − 1)q

|

{z

}

a

n

= a

1

+ a

1

+ · · · + a

1

|

{z

}

n

+

q + 2q + · · · + (n − 1)q

|

{z

}

n−1

= na

1

+ q



1 + 2 + · · · + (n − 1)



= na

1

+ q

1 + (n − 1)

2

(n − 1)

= na

1

+ q

n

2

(n − 1)

= n



a

1

+

q

2

(n − 1)



.

(16)

Przyjrzyjmy się sumie 1 + 2 + · · · + n. Niech ostatni wyraz będzie równy 10. Zapiszmy sumę pod sobą ale od końca:

S

n=10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10

· · ·

wyraz ostatni

S

n=10

10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

· · ·

wyraz pierwszy

2S

n=10

11+11+11+11+11+11+11+11+11+11

· · ·

wyraz pierwszy + ostatni

W każdej kolumnie jest suma wyrazu pierwszego i ostatniego, a kolumn jest tyle ile wyrazów. Zatem w dwóch wierszach
są dwie takie same sumy, które dają 11 · 10. Zatem w jednym wierszu jest

11·10

2

, co prowadzi do ogólnego wzoru:

1 + 2 + · · · + n =

1 + n

2

n.

(17)

Ciąg geometryczny

to ciąg liczbowy, dla którego iloraz wyrazu następnego przez poprzedni jest taki sam dla

wszystkich par wyrazów sąsiednich:

a

2

a

1

=

a

3

a

2

= . . . =

a

n

a

n−1

= q 6= 0.

(18)

Zatem:

a

2

a

1

= q

⇒

a

2

= a

1

q,

a

3

a

2

= q

⇒

a

3

= a

2

q

⇒

a

3

= a

1

q

2

,

a

4

a

3

= q

⇒

a

4

= a

3

q

⇒

a

4

= a

1

q

3

,

..

.

a

n

a

n−1

= q

⇒

a

n

= a

n−1

q

⇒

a

n

= a

1

q

n−1

.

Ostatecznie ciąg (a

n

) przyjmuje postać:

a

1

|{z}

a

1

, a

1

q

|{z}

a

2

, a

1

q

2

| {z }

a

3

, . . . , a

1

q

n−1

|

{z

}

a

n

.

(19)

Szereg geometryczny

S

n

= a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

= a

1

+ a

1

q + a

1

q

2

+ · · · + a

1

q

n−1

|

{z

}

S

n

−a

1

S

n

q = a

1

q + a

2

q + · · · + a

n

q = a

1

q + a

1

q

2

+ · · · + a

1

q

n−1

|

{z

}

S

n

−a

1

+a

1

q

n

S

n

q = S

n

− a

1

+ a

1

q

n

S

n

q − S

n

= a

1

(q

n

− 1)

S

n

(q − 1) = a

1

(q

n

− 1)

S

n

= a

1

q

n

− 1

q − 1

= a

1

1 − q

n

1 − q

(20)

7

Dla n → ∞, |q| < 1 oraz a

1

= 1 otrzymujemy:

S

n→∞

=

1

1 − q

.

(21)

Przykład 1 Masz dwie możliwości odebrania nagrody:

1. 10 000 zł teraz,

2. 1000 zł dzisiaj, 900 zł jutro, 810 zł pojutrze, itd. aż do śmierci.

Co wybierasz?
W drugim przypadku q = 0, 9. Zatem łączna nagroda to 1000

1

1−0,9

= 10 000. Ale nikt nie żyje wiecznie, a poza tym po

co czekać by dostać to samo?

1.4

Elementy matematyki finansowej

P V – początkowa wielkość kapitału (present value),

F V – konćowa wielkość kapitału (future value),

r – stopa procentowa (rate),

n – czas użytkowania kapitału, mierzony w okresach stałej długości,

k – podokres n,

I – wielkość uzyskanych odsetek (interest),

N SP – nominalna roczna stopa procentowa.

Procent prosty

1. I = nrP V,

nr =

I

P V

,

2. F V = P V + I = P V + nrP V = (1 + nr)P V ,

3. P V =

F V

1+nr

,

4. n =

F V −P V

rP V

,

5. r =

F V −P V

nP V

.

Stopy procentowe r

1

i r

2

są równoważne, gdy uzyskane z kapitału odsetki w odpowiednim okresie będą tej samej

wielkości.

Procent składany

• F V = P V (1 + r)

n

,

I = ((1 + r)

n

− 1)P V ,

• (1 + r)

n

– n okresowy czynnik oprocentowujący ,

• F V = P V (1 +

r
k

)

kn

,

• F V = P V e

rt

– przy oprocentowaniu ciągłym.

Dyskontowanie:

• P V =

F V

1+nr

,

• P V =

F V

(1+nr)

n

,

• P V =

F V

e

rt

.

Renty

• R – wielkość raty wpłaconej w końcu okresu płatności (płatna z dołu),

• F V = R

(1+r)

n

−1

r

,

• R = F V

r

(1+r)

n

−1

,

• n =

log(1+

rF V

R

)

log(1+r)

,

• P V = R

1−(1+r)

−n

r

,

• R =

rP V

1−(1+r)

−n

.

8

1.4.1

Zadania

Zadanie 11 Jurek otrzymał od wujka pożyczkę 1000 zł na kupno motoroweru, którą ma zwrócić po upływie 1,5 roku
płacąc jednocześnie wujkowi co kwartał 3% od pożyczonej kwoty. Ile musi Jurek zapłacić wujkowi za udzielenie pożyczki?

Zadanie 12 Bank udzielił pożyczki 9000 zł na okres 3 lat. Pożyczka jest obwarowana oprocentowaniem prostym NSP
r = 0,15 i spłacana jest bankowi w końcu każdego okresu półrocznego; a) ile wyniesie całe oprocentowanie należne
bankowi za trzyletnią pożyczkę? b) jak jest zdyskontowana wartość wypłaconych kwot oprocentowania przy stosowanym
przez bank oprocentowaniu prostym?

Zadanie 13 Spółdzielnia stomatologiczna chce uzyskać z banku półroczny kredyt w wysokości 30 tys. zł na uruchomienie
nowego gabinetu dentystycznego. Bank udzieli spółdzielni takiego kredytu, ale należne oprocentowanie będzie potrącone
w momencie wypłaty. Jaka powinna być wielkość P udzielonego kredytu przy r = 0,12 aby spółdzielnia dysponowała
pełną kwotą 30 tys. zł?

Zadanie 14 Do banku wpłacono 6000 zł na dwumiesięczny wkład terminowy z oprocentowaniem prostym przy NSP
r = 18%. Wpłacający zamierza utrzymać tego rodzaju lokatę przez cały rok przy gwarancji, że w tym czasie wartość
stopy procentowej nie ulegnie zmianie. Należy ustalić: a) jakie będą odsetki za dwumiesięczną lokatę? b) jak wielka będzie
wartość odsetek w ciągu roku? c) po jakim czasie wartość odsetek od tego rodzaju lokaty osiągnie kwotę 2400 zł?

Zadanie 15 Przedsiębiorstwo komunikacyjne chce zakupić nowe autobusy. Pożyczkę 150 000 zł na ich zakup ma uzy-
skać ze sprzedaży specjalnych 5 letnich obligacji z oprocentowaniem prostym i odsetkami wypłacanymi co kwartał przy
kwartalnej SP r = 0,03: a) jaką kwotą przedsiębiorstwo musi obsłużyć każde kwartalne oprocentowanie? b) ile wyniesie
całość pięcioletniego oprocentowania i jaki procent pożyczki stanowi jego (oprocentowania) wartość zdyskontowana na
moment sprzedaży obligacji?

Zadanie 16 Pan Smutny zaciągnął pożyczkę, którą ma spłacić w dwóch ratach: 1500 zł po miesiącu i 1500 zł po trzech
miesiącach. Nieoczekiwanie uzyskał pewną kwotę pieniędzy umożliwiającą natychmiastową spłatę całej pożyczki. Jaką
kwotę stanowi obecna wartość pożyczki, którą udzielono na procent składany przy miesięcznej SP r = 0,03?

Zadanie 17 Są dwie możliwości ulokowania kapitału 8000 zł na okres 2 lat na procent składany. Jedną jest lokata w
banku A, gdzie oprocentowanie będzie dokonywane co pół roku przy stopie procentowej r

A

= 10%. Druga to lokata w

banku B z oprocentowaniem kwartalnym i stopą procentową r

B

= 5%. Który z banków zapewnia lepszą lokatę kapitału,

tzn. która z dwuletnich kapitalizacji zapewni lepszy kapitał?

Zadanie 18 Terminowe lokaty w jednym z banków mają oprocentowanie składane z SP proporcjonalną do NSP r, któ-
rej wielkość zależy od rodzaju lokaty. Propozycje NSP dla odpowiednich lokat terminowych są następujące: 1m=18,75%,
3m=19,75%, 4m=19,95%, 6m=20,25%, 12m=21,25%. Ustalić jakim NSP i

t

przy oprocentowaniu prostym są równo-

ważne NSP r

t

, proponowane przez bank.

Zadanie 19 Depozyt pieniężny można ulokować na procent składany, naliczany co kwartał przy NSP r

0

= 18% lub na

oprocentowanie ciągłe z NSP

00

= 16%. Przy którym z tych dwóch sposobów kapitalizacja 6000 zł szybciej osiągnie kwotę

10 000 zł?

Zadanie 20 Przy jakiej NSP r po trzech latach oprocentowania ciągłego depozyt 5 000 zł podwoi swą wartość?

Zadanie 21 Rolnik wydzierżawił część swych gruntów uprawnych na 4 lata z dzierżawą 2 500 zł, płatną w końcu
listopada każdego z kolejnych lat dzierżawy. Pieniądze otrzymane z dzierżawy będą lokowane w banku na procent składany
z NSP r = 0,15. Jakim funduszem będzie on dysponował po upływie czterech lat?

Zadanie 22 Oblicz wielkość kapitału uzyskanego z 30 000 zł po upływie 2 lat w zależności od zastosowania jednego z
dwóch sposobów oprocentowania: a)procentu składanego, naliczanego co pół roku z NSP r

s

= 11%, b) oprocentowania

ciągłego z NSP r

c

= 10, 5%.

Zadanie 23 Ustalić po jakim czasie kwota 8 000 zł w wyniku oprocentowania powiększy się o trzy czwarte swej wartości
przy NSP r = 18%, gdy zastosujemy: a) oprocentowanie składane, naliczane co miesiąc, b)oprocentowanie ciągłe.

Zadanie 24 Kapitalizację kwoty 2 000 zł można uzyskać na dwa sposoby:
1. Lokata w banku na trzymiesięczny wkład terminowy z możliwością jego przedłużenia na następne trzymiesięczne
okresy przy oprocentowaniu prostym z NSP r

1

= 18%. Uzyskane w tej kapitalizacji odsetki są następnie lokowane na

konto avista, gdzie oprocentowanie jest ciągłe ze stopą r

a

= 10%.

2. Zakup obligacji z ciągłym oprocentowaniem i NSP r

2

= 12%.

Dla obu sposobów obliczyć wysokość zgromadzonego kapitału, możliwą do uzyskania w ciągu 2 lat.

Zadanie 25 Wojtek postanowił przez 1,5 roku wpłacać do banku raty kwartalne w wysokości 200 zł, które będą podlegać
co kwartał oprocentowaniu składanemu z SP r = 0,03. Jaką kwotę zgromadzi w tym czasie Wojtek?

9

Zadanie 26 Pewne stowarzyszenie chce zgromadzić kwotę 100 000 zł potrzebną na podjęcie inwestycji za trzy lata. W
tym celu będą wpłacane do banku raty przez trzy lata w końcu każdego kwartału. Raty będą kapitalizowane kwartalnie
oprocentowaniem składanym przy NSP r = 0,2; a) jakiej wielkości raty mają być wpłacane kwartalnie? b) jaką część
zgromadzonego po trzech latach kapitału będą stanowiły odsetki uzyskane z wpłaconych rat?

Zadanie 27 Pracownik wpłacał do banku ratę 100 zł co miesiąc przez okres 3 lat. Przez ile miesięcy pracownik będzie
mógł pobierać rentę w wysokości 150 zł z przekazanej do banku kwoty, jeżeli w całym tym okresie będzie obowiązywać w
banku NSP r = 0,15 z miesięczną kapitalizacją odsetek.

Zadanie 28 Przedsiębiorstwo uzyskało pożyczkę 10 000 USD na 5 lat, którą musi w tym okresie spłacać kwartalnie
w jednakowych ratach. Pożyczka podlega oprocentowaniu składanemu od nie zwróconych kwot przy NSP r = 0,18,
naliczanemu kwartalnie po każdej zwróconej racie: a) jakie mają być raty kwartalne? b) ile wyniesie oprocentowanie
udzielonej pożyczki?

Zadanie 29 Firma wydawnicza „Dobra Książka” chce kupić za dwa lata poligraficzny skład komputerowy, który masz
kosztować 400 000 zł. Jakie miesięczne raty powinna firma wpłacać do banku na oprocentowanie składane, naliczane co
miesiąc, aby po dwóch latach zgromadzić wymaganą kwotę, gdy bank gwarantuje otrzymanie dla tego rodzaju oszczędności
NSP r = 15%.

Zadanie 30 Wyprowadzić wzory na: F V

n

, R do danego F V

n

oraz na P V

n

przy ustalonym R, gdy mamy do czynienia

z rentami płatnymi z góry i przy okresowej SP równej r.

1.5

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Przyrost argumentu x

∆x = x

1

− x

0

Przyrost wartości funkcji y

∆y = f (x

1

) − f (x

0

) = f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

) (rysunek)

Iloraz różnicowy

to zmiana wartości y przypadająca na jednostkę zmiany wartości x:

∆y

∆x

=

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

(22)

Jest miarą przeciętnej stopy zmiany lub procentowym przyrostem względnym funkcji. (przykład)

Granica ilorazu różnicowego

jako pochodna funkcji w punkcie:

lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

= f

0

(x

0

).

(23)

(przykład)

Reguły różniczkowania

• (c)

0

= 0,

(x

n

)

0

= nx

n−1

,

(a

x

)

0

= a

x

ln a,

• (e

x

)

0

= e

x

,

(ln x)

0

=

1

x

,

(log

a

x)

0

=

1

x ln x

,

• (sin x)

0

= cos x,

(cos x)

0

= − sin x,

(tg)

0

=

1

cos

2

x

, (ctg)

0

= −

1

sin

2

x

.

• [cf (x)]

0

= cf (x)

0

,

• [f (x) ± g(x)]

0

= f

0

(x)g

0

± (x),

• [f (x)g(x)]

0

= f

0

(x)g(x) + f (x)g

0

(x),

• [

f (x)
g(x)

]

0

=

f

0

(x)g(x)−f (x)g

0

(x)

g

2

(x)

,

• [f (g(x))]

0

= f

0

(g(x))g

0

(x).

(przykłady).

Równanie prostej

przechodzącej przez punkty (x

0

, f (x

0

)), (x

0

+ ∆x, f (x

0

+ ∆x)):

y − f (x

0

) =

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

(x − x

0

) = f

0

(x

0

)(x − x

0

).

(24)

10

Równanie stycznej

do f (x) w (x

0

, f (x

0

)):

y − f (x

0

) = f

0

(x

0

)(x − x

0

).

(25)

(przykłady)

Przybliżona wartość funkcji

f (x

0

+ ∆x) ≈ f (x

0

) + f

0

(x

0

)∆x,

(26)

gdzie f

0

(x

0

)∆x – różniczka funkcji. (przykład)

Maksymalizacja zysku przy jednoczesnej minimalizacji kosztu
Koszt całkowity C(x), x – poziom produkcji,
Utarg całkowity U (x) = px, p – cena dobra,
Zysk Z(x) = U (x) − C(x).
Koszt krańcowy (marginal cost ) C

0

(x) – wzrost kosztów całkowitych wywołany wzrostem produkcji o jednostkę.

Utarg (przychód) krańcowy (marginal revenue) – wzrost utargu całkowitego wywołany wzrostem produkcji o jednostkę.

Elastyczność przeciętna funkcji

jako stosunek przyrostu względnego wartości funkcji do przyrostu względnego

wartości argumentu:

∆y

y

∆x

x

=

f (x+∆x)−f (x)

f (x)

∆x

x

=

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

x

f (x)

.

(27)

Elastyczność funkcji

Dla ∆x → 0 otrzymujemy:

E

x

f (x) = f

0

(x)

x

f (x)

,

(28)

przybliżona miara procentowego przyrostu wartości funkcji odpowiadająca przyrostowi wartości argumentu o 1%.
(przykład)

Zastosowanie pierwszej pochodnej do badania własności funkcji jednej zmiennej

Monotoniczność

Na pewnym przedziale funkcja f jest:

rosnąca, jeżeli na tym przedziale f

0

(x) > 0

malejąca, jeżeli na tym przedziale f

0

(x) < 0. (przykład)

Ekstrema lokalne

f ma w punkcie x

0

maksimum lokalne, leżeli w dostatecznie bliskim otoczeniu punktu x

0

, dla

wszystkich wartości x 6= x

0

wartości funkcji są mniejsze równe od wartości tej funkcji w punkcie x

0

: f (x

0

) ­ f (x).

f ma w punkcie x

0

minimum lokalne, leżeli w dostatecznie bliskim otoczeniu punktu x

0

, dla wszystkich wartości x 6= x

0

wartości funkcji są większe równe od wartości tej funkcji w punkcie x

0

: f (x

0

¬ f (x). (przykład, rysunek)

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x

0

i ma w tym punkcie ekstre-

mum lokalne, to pochodna funkcji f w tym punkcie jest równa zero f

0

(x

0

) = 0, x

0

– punkt stacjonarny.

Warunki wystarczające

Jeżeli f

0

(x) w otoczeniu x

0

zmienia się z wartości ujemnej na dodatnią, to w x

0

f ma

minimum lokalne.
Jeżeli f

0

(x) w otoczeniu x

0

zmienia się z wartości dodatniej na ujemną, to w x

0

f ma minimum lokalne.

Jeżeli f

0

(x) w otoczeniu x

0

nie zmienia znaku, to w x

0

f nie ma ekstremum lokalnego. (przykład, rysunek)

Ekstrema globalne

f (x

0

) jest najmniejszą wartością funkcji f na D

f

, jeżeli dla każdego punktu należącego do

dziedziny funkcji wartości funkcji są większe równe o wartości funkcji w punkcie x

0

: f (x

0

) ¬ f (x), x ∈ D

f

.

f (x

0

) jest największą wartością funkcji f na D

f

, jeżeli dla każdego punktu należącego do dziedziny funkcji wartości

funkcji są mniejsze równe o wartości funkcji w punkcie x

0

: f (x

0

) ­ f (x), x ∈ D

f

.

Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.
Zredukowanie dziedziny do przedziału [a, b]: min

[a,b]

f – minimum globalne, max

[a,b]

f – maksimum globalne.

Etapy wyznaczania ekstremów globalnych:

1. Sprawdzić, czy f jest ciągła na [a, b].

2. Wyznaczyć punkty stacjonarne.

3. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na końcach przedziału [a, b].

4. Wybrać wartość najmniejszą i największą z wartości z poprzedniego kroku.

11

1.5.1

Zadania

Zadanie 31 Wyznaczyć procentowy przyrost względny funkcji f , jeżeli:

1. f (x) =

4

√

x,

x

0

= 2,

∆x = 0, 01,

2. f (x) =

√

x

2

+ 3,

x

0

= −1,

∆x = 0, 02,

3. f (x) = ln x,

x

0

= 1,

∆x = 0, 001,

4. f (x) = log x,

x

0

= 100,

∆x = 90.

Zadanie 32 Czy funkcja f ma pochodną w punkcie x

0

, jeżeli:

1. f (x) = −3x

2

− 1,

x

0

= −1,

2. f (x) =

−2

x

,

x

0

= 1,

3. f (x) = x

2

,

x

0

∈ R,

4. f (x) =

√

x + 1,

x

0

= 5,

5. f (x) =

1

x

2

−1

,

x

0

= 8.

Zadanie 33 Wykorzystując wykres funkcji sprawdzić, czy podane funkcje mają pochodne w punkcie x

0

:

1. f (x) = |x|,

x

0

= 0,

2. f (x) = |x + 3|,

x

0

= −3,

3. f (x) = |4 − 3x|,

x

0

= 1,

4. f (x) = |2 − x|,

x

0

= 2.

Zadanie 34 Wyznaczyć pochodną funkcji:

1. f (x) =

1
4

x

1
4

−

1
3

x

1
3

+

1
2

x

1
2

− 2,

2. f (x) = (2x

2

+ 3)x

3

,

3. f (x) =

1

x

x

3

+1

,

4. f (x) =

x

4

ln x

,

5. f (x) = e

sin x+1

,

6. f (x) =

p2x + (1 + x

3

)

5

,

7. f (x) =

√

3x

−3

− 2x

2

,

8. f (x) = (x

2

+ 1)e

−4x

−

√

x,

9. f (x) = sin

3

x,

10. f (x) =

ln x−1
ln x+1

.

Zadanie 35 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji o odciętej w punkcie x

0

:

1. f (x) = x

2

− 3,

x

0

= 1,

2. f (x) = e

−x

2

−2x

,

x

0

= 1,

3. f (x) =

√

x

2

+ x + 2,

x

0

= 2.

Zadanie 36 Obliczyć różniczkę funkcji w punkcie x

0

:

1. f (x) =

q

x

2

+

1
2

x + 2,

x

0

= 1,

2. f (x) = e

−x

2

−2x−1

,

x

0

= 1.

Zadanie 37 Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
e

0,01

,

ln 0, 98,

3

√

7, 97,

sin(−0, 02).

Zadanie 38 Wyznaczyć elastyczność kosztów całkowitych przedsiębiorstwa i podać interpretację, gdzie:

1. C(x) =

1
3

x

3

−

1
2

x

2

− 3x + 1,

x

0

= 10,

2. C(x) = ln(x + 20) + 2e

x−50

+

1

x

,

x

0

= 50,

ln 70 = 4, 25.

Zadanie 39 Funkcja popytu (c) na pewno dobro zależy od ceny c tego dobra. Wyznaczyć i zinterpretować cenową
elastyczność popytu, jeżeli:

1. p(c) =

1
c

,

c

0

= 10,

12

2. p(c) =

c−1
c+2

,

c

0

= 100.

Zadanie 40 Funkcja utargu pewnego dobra x dana jest wzorem U (x) = 3x(20 − x). Obliczyć rzeczywisty utarg ze
sprzedaży dodatkowej jednostki towaru od poziomu x

0

= 9. Wyznaczyć utarg krańcowy dla x

0

= 5 oraz elastyczność

utargu dla x

0

= 6. Podać interpretację otrzymanych wyników.

Zadanie 41 W pewnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów całkowitych produkcji x jednostek produktu jest postaci:
C(x) = 150000 + 30x. Ponadto produkcja x jednostek przynosi utarg opisany funkcją: U (x) = 300x −

x

2

30

.

1. Wyznaczyć koszt krańcowy.

2. Wyznaczyć utarg krańcowy.

3. Wyznaczyć i zinterpretować U

0

(3000) oraz U

0

(6000).

4. Narysowac w układzie współrzędnych dla 0 ¬ x ¬ 5000 funkcję kosztów całkowitych, funkcję utargu, wyznaczyć

punkty równowagi, obszary zysku i strat.

5. Wyznaczyć funkcję zysku krańcowego. Podać interpretację Z

0

(1500) oraz Z

0

(4500).

Zadanie 42 Zbadać monotoniczność funkcji:

1. f (x) = e

x

2

−3

,

2. f (x) = x ln x,

3. f (x) = 3x

5

− 5x

3

,

4. f (x) =

x

3

−

3

x

,

5. f (x) =

ln x

x

,

6. f (x) = xe

−x

2

.

Zadanie 43 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

1. f (x) =

1

1+x

,

2. f (x) = e

x

2

−3

,

3. f (x) = 3x

5

− 5x

3

,

4. f (x) = x ln x,

5. f (x) = x

√

4 − x

2

,

6. f (x) =

x

3

−

3

x

.

1.6

Druga pochodna funkcji jednej zmiennej

Jeżeli istnieje f

0

(x) w pewnym przedziale i jest funkcją różniczkowalną to jej pochodną nazywamy drugą pochodną

funkcji f i oznaczmy f

00

(x).

Wypukłość i wklęsłość
Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b)

f

00

(x) > 0, to funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b). Styczne do wykresu funkcji leżą

poniżej wykresu funkcji (w x ∈ (a, b)).
Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b)

f

00

(x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w przedziale (a, b). Styczne do wykresu funkcji leżą

powyżej wykresu funkcji (w x ∈ (a, b)).

Punkt przegięcia

Jeżeli f

00

(x

0

) = 0 i f

00

(x) ma różne znaki po obu stronach punktu x

0

, to punkt (x

0

, f (x

0

)) jest

punktem przegięcia.
(f może mieć punkt przegięcia, jeżeli w tym punkcie nie istnieje pochodna funkcji.)

Druga pochodna i ekstrema lokalne

Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) i x

0

∈ (a, b) to f

ma w punkcie x

0

:

Maksimum lokalne, jeżeli f

0

(x

0

) = 0 i f

00

(x

0

) < 0,

Minimum lokalne, jeżeli f

0

(x

0

) = 0 i f

00

(x

0

) > 0. (rysunek)

13

f

> 0

f

> 0

f

> 0

f

< 0

f

< 0

f

< 0

coraz wolniej

coraz szybciej

wypukła

wklęsła

maleje

maleje

rośnie

rośnie

f

= 0

f

= 0

Źródło: opracowanie własne.

1.6.1

Zadania

Zadanie 44 Wyznaczyć drugą pochodną funkcji:

1. f(x) =

1
4

x

1

4

−

1
3

x

1

3

+

1
2

x

1

2

− 2,

2. f(x) = (2x

2

+ 3)x

3

,

3. f(x) =

1

x

x

3

+1

,

4. f(x) =

x

4

ln x

,

5. f(x) = e

2 sin x+1

,

6. f(x) =

ln x−1

ln x+1

.

Zadanie 45 Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:

1. f(x) = 3x

5

− 5x

3

,

2. f(x) =

1

1+x

,

3. f(x) = x ln x,
4. f(x) =

2
x

−

x

2

,

5. f(x) = x

2

e

1

−x

.

Zadanie 46 Wykorzystując drugą pochodną funkcji wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z zadania 43.

Zadanie 47 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w danym przedziale:

1. f(x) =

1
3

x

3

+ 2x

2

+ 3x + 2,

w przedziale [−2, 2],

2. f(x) = x

√

4

− x

2

,

w przedziale [−2, 2],

3. f(x) = x ln x,

w przedziale [

1

e

2

, e],

4. f(x) = xe

1

−x

2

,

w przedziale [0, 1].

1.7

Funkcje dwóch zmiennych

Postać funkcji dwóch zmiennych Równanie postaci:

z = f(x, y)

(29)

jest zapisem funkcji dwóch zmiennych, jeżeli każdej uporządkowanej parze (x, y) (zbiorowi {{x}, {x, y}}, o poprzedniku
x i następniku y) została przyporządkowana dokładnie jedna wartość rzeczywista z (x, y, z ∈ ).

14

Dziedziną funkcji

dwóch zmiennych (D

f

) nazywamy zbiór punktów (x, y) należących do płaszczyzny R

2

, dla których

f ma sens liczbowy.

Warstwice funkcji

to zbiór pukntów dziedziny funkcji, dla których wartość funkcji jest równa c:

W

f

(c) = {(x, y) ∈ D

f

:

f (x, y) = c,

c ∈ R}

(30)

(przykłady, rysunki) Dla funkcji Cobb-Douglasa warstwice jako izokwanty – krzywe jednakowego produktu. (rysunek)

Pochodne cząstkowe pierwszego drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych

∂z

∂x

= f

0

x

= f

0

x

(x, y) = lim

∆x→0

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

∆x

.

(31)

∂z

∂y

= f

0

y

= f

0

y

(x, y) = lim

∆y→0

f (x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y

.

(32)

C(x, y) – koszt całkowity produkcji to C

0

x

i C

0

y

– koszty krańcowe czynnika x i y f - poziomem produkcji to pochodne

są produkcyjnościami krańcowymi

Elastyczności cząstkowe
E

x

f (x

0

, y

0

) = f

0

x

(x

0

, y

0

)

x

0

f (x

0

,y

0

)

E

y

f (x

0

, y

0

) = f

0

y

(x

0

, y

0

)

y

0

f (x

0

,y

0

)

(interpretacja)

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

∂

2

z

∂x

2

=

∂(∂z)

∂x(∂(x)

= f

00

xx

(x, y) = f

00

xx

,

∂

2

z

∂y

2

=

∂(∂z)

∂y(∂(y)

= f

00

yy

(x, y) = f

00

yy

,

∂

2

z

∂x∂y

=

∂

∂x

(

∂z
∂y

) = f

00

yx

(x, y) = f

00

yx

,

∂

2

z

∂y∂x

=

∂

∂y

(

∂z
∂x

) = f

00

xy

(x, y) = f

00

xy

.

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Funkcja f (x, y) osiąga w punkcie (x

0

, y

0

) maksimum lokalne, je-

żeli istnieje takie otoczenie punktu (x

0

, y

0

), że dla wszystkich punktów tego otoczenia jest spełniona nierówność:

f (x, y) ¬ f (x

0

, y

0

).

Funkcja f (x, y) osiąga w punkcie (x

0

, y

0

) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu (x

0

, y

0

), że dla wszyst-

kich punktów tego otoczenia jest spełniona nierówność: f (x, y) ­ f (x

0

, y

0

).

Jeżeli funkcja f (x, y) ma w punkcie (x

0

, y

0

) ekstremum lokalne i istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu

pierwszego tej funkcji, to:

f

0

x

(x

0

, y

0

) = 0

i

f

0

y

(x

0

, y

0

) = 0.

(33)

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Punkt (x

0

, y

0

), dla którego f

0

x

(x

0

, y

0

) = 0 i f

0

y

(x

0

, y

0

) = 0 nazywamy stacjonarnym lub krytycznym.

Algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych

1. Znajdujemy punkty stacjonarne.

2. Jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu istnieją i są ciągłe (w otoczeniu (x

0

, y

0

)) oraz A = f

00

xx

, B = f

00

xy

,

C = f

00

yy

, to:

(a) jeżeli AC − B

2

> 0 i A > 0, to funkcja na w (x

0

, y

0

) maksimum lokalne,

(b) jeżeli AC − B

2

> 0 i A < 0, to funkcja na w (x

0

, y

0

) minimum lokalne,

(c) jeżeli AC − B

2

< 0, to (x

0

, y

0

) jest punktem siodłowym,

(d) jeżeli AC − B

2

= 0, to algorytm nie rozstrzyga o ekstremum lokalnym.

1.7.1

Zadania

Zadanie 48 Wyznacz:

1. f (

1
2

, 3),

f (1, −1),

jeżeli

f (x, y) =

x
y

−

y
x

,

2. f (−2, 2),

f (x, y),

f (x + 2, y − 1),

jeżeli

f (x, y) =

x

x

2

+y

2

.

Zadanie 49 Wyznacz dziedzinę funkcji i przedstaw ją graficznie:

1. f (x, y) =

√

xy,

15

2. f (x, y) =

1

√

x−y

,

3. f (x, y) =

1

x−1

+

1

y+2

.

Zadanie 50 Wyznacz ogólne równanie warstwic funkcji i narysuj je dla podanych wartości:

1. f (x, y) = x + y,

c = −2, 0, 1, 2,

2. f (x, y) = x

2

y

c = −2, −1, 0, 1, 2,

3. f (x, y) =

y

x

2

c = −2, 1, 2.

Zadanie 51 Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

1. f (x, y) = x

3

+ 3x

2

y + xy

2

+ 1,

2. f (x, y) =

p

2x − y

2

,

3. f (x, y) = (x

2

+ y

2

)

2

,

4. f (x, y) = ln x + ln y,

5. f (x, y) = e

x

2

+y

2

,

6. f (x, y) = x

2

e

x+y

,

7. f (x, y) =

x

2

−y

2

x

2

+y

2

,

8. f (x, y) =

x

2

+y

2

2xy

.

Zadanie 52 Wyznaczyć elastyczności cząstkowe funkcji w punkcie (x

0

, y

0

) i podać interpretację:

1. f (x, y) = 6x

2

,

(x

0

, y

0

) = (1, 2),

2. f (x, y) = ln(x + y),

(x

0

, y

0

) = (0, e),

3. f (x, y) = −2x

2

+ xy − 2y

2

+ x − y + 1,

(x

0

, y

0

) = (1, 1),

4. f (x, y) =

x

2

y

−

y

2

x

,

(x

0

, y

0

) = (1, 2).

Zadanie 53 Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji z zadania 51.

Zadanie 54 Pokazać, że dla funkcji:

1. f (x, y) = ln(e

x

+ e

y

)

zachodzi równość

f

00

xx

f

00

yy

= (f

00

xy

)

2

,

2. f (x, y) = ln(x

2

+ xy = y

2

)

zachodzi równość

xf

0

x

+ yf

0

y

= 2,

3. f (x, y) = x

3

− 3xy

2

zachodzi równość

f

00

xx

+ f

00

yy

= 0.

Zadanie 55 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

1. f (x, y) = 2x

2

+ y

2

+ 4y + 2,

2. f (x, y) = −x

2

+ 5x − 3y

2

+ 2,

3. f (x, y) = 3x

2

+ 2x + 2y

2

− 4y + 2,

4. f (x, y) = x

2

− y

2

+ 2x + 6y − 4,

5. f (x, y) = e

x+y

,

6. f (x, y) =

1
3

x

3

+

1
3

y

3

− xy.

Zadanie 56 Firma produkuje dwa typy budzików elektronicznych – x tysięcy sztuk budzików typu A i y tysięcy sztuk
budzików typu B rocznie. Jeżeli funkcja utargu i kosztów w danym roku jest postaci (w mln zł):
U (x, y) = 2x + 3y
C(x, y) = x

2

− 2xy + 2y

2

+ 6x − 9y + 5,

wyznacz, ile budzików każdego typu należy produkować rocznie, aby uzyskać maksymalny zysk. Ile wynosi maksymalny
zysk?

Zadanie 57 Oszacowano następującą funkcję popytu na odbiorniki radiowe turystyczne:

ˆ

ORT

t

= 1007, 61 +

336562,77

P R

t

+ 1, 31LM

t

,

gdzie ORT i P R oznaczają odpowiednio poziom sprzedaży i produkcji odbiorników (w tys.) natomiast LM jest licznbą
zawieranych małżeństw (w tys.). Obliczyć i skomentować kierunek zmian elastyczności popytu (zmiennej

ˆ

ORT ) wzglę-

dem poziomu produkcji oraz liczby małżeństw, wiedzą, że dla t = 1 i t = 2 wartości zmiennych były następujące:
ORT

1

= 1420, P R

1

= 1350, LM

1

= 141;

ORT

1

= 1445, P R

1

= 1330, LM

1

= 156.

16

Zadanie 58 Oszacowano model trendu, w którym Y oznacza wartość nakładów inwestycyjnych w mld zł rocznie: ˆ

Y

t

=

e

0,045t

.

1. Który z następujących wniosków jest prawidłowy i dlaczego?

(a) nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 4,5%.

(b) nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 0,045 mld zł.
(c) Oba zdania są błędne. Powinno być: . . .

2. Podać postać modeli trendu, dla których są słuszne wnioski z punktów a) i b).

Zadanie 59 Dany jest model: ˆ

Y

t

= 51, 5e

0,06t

, gdzie t oznacza zmienną czasową (numer roku). Uzupełnić brakujące

informacje:

1. Wzrost t o jednostkę (1 rok) wiąże się ze wzrostem Y o . . . %.

2. jeżeli zatem w pewnym roku Y = 1000, to po roku będzie Y = . . ..

3. jeżeli w pewnym roku Y = 5000, to po dwóch latach, w przybliżeniu, będzie Y = . . ..

Zadanie 60 Oszacowano następujący model stopy bezrobocia na podstawie danych kwartalnych z lat 1990 – 1995:

ˆ

B

t

= a + bt + cZ

t

,

gdzie B – stopa bezrobocia w kwartale t w procentach, t zmienna czasowa (t=1 dla I kwartału 1990 r.), Z

t

– zmienna

zerojedynkowa, taka, że Z − t = 1 dla I kwartału każdego roku oraz Z

t

= 0 dla pozostałych kwartałów. Dokonaj wyboru

właściwej interpretacji oraz skrytykuj pozostałe:
Współczynnik c oznacza:

1. sześcioletni trend stopy bezrobocia w I kwartale, tzn. współczynnik nachylenia tego trendu, mierzony w punktach

procentowych w odniesieniu do każdego roku,

2. liczbę miesięcy, w ciągu których w każdym roku trwa wysokie bezrobocie, z uwagi na mroźną zimę,

3. średni wzrost bezrobocia (w punktach procentowych) w I kwartale w porównaniu z pierwszą częścią roku, po wyod-

rębnieniu trendu liniowego,

4. wzrost stopy bezrobocia, który następuje zawsze po I kwartale roku,

5. spadek stopy bezrobocia, który następuje zawsze po I kwartale roku.

Zadanie 61 Oszacowano funkcję logistyczną obrazującą trend liczby abonentów telefonicznych w Polsce (na 1000 miesz-
kańców) w latach 1965 – 1974 (Y

t

, t = 1, 2, . . . , 12):

ˆ

Y

t

=

43,39

1 + 2,83e

−0,37t

.

1. Naszkicuj krzywą i opisz jej własności (EXCEL).

2. Zinterpretuj poziom nasycenia funkcji.

3. Przedstaw na rysunku także wartości empiryczne zmiennej Y , które są następujące: 16,25; 21,50; 24,33; 26,35;

27,84; 31,47; 34;83; 36,23; 37,80; 41,89; 45,59; 46,84. Czy twoim zdaniem, oszacowana funkcja dobrze reprezen-
tuje te punkty?

Zadanie 62 Dane są dwa oszacowane modele funkcji produkcji:

1.

ˆ

P ROD = aZAT + bM AJ ,

2.

ˆ

P ROD = ZAT

c

M AJ

d

,

c + d = 1,

gdzie P ROD, ZAT , M AJ oznaczają, odpowiednio, wartości produkcji, funduszu płac i majątku trwałego.

1. Oblicz krańcową produkcyjność ZAT dla obu modeli i wyraź ją jako funkcję technicznego uzbrojenia pracy (T U P =

M AJ

ZAT

). Sformułuj wynikające stąd wnioski.

2. Oblicz elastyczność P ROD względem ZAT dla obu modeli i przedstaw ją jako funkcję T U P . Czy elastyczności są

funkcjami monotonicznymi względem T U P ? Co to oznacza?

3. Pokaż, że oba modele opisują procesy produkcji w przychodami proporcjonalnymi do nakładów.

Zadanie 63 Na podstawie danych kwartalnych oszacowany został model opisujący wartość produkcji przemysłowej
(P ROD w mln jednostek pieniężnych) w zależności od wielkości zatrudnienia produkcyjnego (ZAT w tys. osób) i
wartości produkcyjnego majątku trwałego (M AJ w mld jp):

ˆ

P ROD

t

= 2, 5M AJ

0,7

t

ZAT

0,9

t

.

1. Oceń zasadność wyników estymacji wykorzystując pojęcia:

17

(a) krańcowej produkcyjności czynników,

(b) elastyczności produkcji względem każdego z czynników,
(c) efektów skali.

2. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę substytucji dla M AJ = 15 oraz ZAT = 6.

Zadanie 64 Produkcja P jest określona modelem ˆ

P

t

= aZ

b

t

M

c

t

, gdzie Z oznacza zatrudnienie, a M majątek trwały.

Wybierz prawidłową odpowiedź.

1. jeżeli wartość majątku trwałego wzrasta o 1%, a zatrudnienie nie zmienia się, to produkcja wzrasta o około: M

c

t

%,

c%, (1 − b)%,

b
c

100%.

2. jeżeli zatrudnienie zwiększa się o jednostkę, to produkcja nie ulegnie zmianie, gdy majątek:

(a) zmaleje o około

bM

t

cZ

t

jednostek,

(b) wzrośnie o koło

bM

t

cZ

t

jednostek,

(c) zmaleje o około

cZ

t

bM

t

jednostek,

(d) wzrośnie o około

cZ

t

bM

t

jednostek.

1.8

Znak sigmy

x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

=

n

X

i=1

x

i

,

(34)

gdzie: x

i

— i. składnik sumy,

i — wskaźnik sumacyjny.

Własności

P

wynikające z własności dodawania

1.

P

n
i=1

(x

i

± y

i

) =

P

n
i=1

x

i

±

P

n
i=1

y

i

,

2.

P

n
i=1

x

i

=

P

k
i=1

x

i

+

P

n
i=k+1

x

i

,

1 < k < n,

3.

P

n
i=1

cx

i

= c

P

n
i=1

x

i

,

4.

P

n
i=1

c = nc.

Przykład 2

10

X

t=1

(2t − 1) =

10

X

t=1

2t −

10

X

t=1

1 = 2

10

X

t=1

t − 10 = 2

 1 + 10

2

10



− 10 = 100.

(35)

1.8.1

Zadania

Zadania pochodzą z [8].

Zadanie 65 Obliczyć poniższe sumy, jeżeli wiadomo, że x

1

= 2, x

2

= −2, x

3

= 1, x

4

= 0, x

5

= 3:

P

5
t=1

x

t

,

P

5
t=1

x

2

t

,

P

5
t=1

(5x

t

− 4),

P

5
t=1

(x

t

− 1)(x

t

+ 1),

P

5
t=1

x

t

t

.

Zadanie 66 Zapisać za pomocą znaku

P:

1. c +

c

2

2

+

c

3

4

+

c

4

8

+

c

5

16

+

c

6

32

,

2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21,

3. 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4 + · · · + 3 · 10,

4. (x

1

− 5)

2

+ (x

2

− 5)

2

+ (x

3

− 5)

2

+ · · · + (x

8

− 5)

2

,

5.

P

n−1
k=1

x

k

+ x

n

+ x

n+1

+ x

n+2

.

Zadanie 67 Pokazać, że:

P

n
i=1

(x

i

− x) = 0,

P

n
i=1

(x

i

− x)

2

=

P

n
i=1

x

2
i

− n(x)

2

, gdzie x – średnia arytmetyczna.

1.9

Całka

Funkcją pierwotną

funkcji f nazywamy funkcję F , wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona różniczkowalna (w swojej

dziedzinie) oraz F

0

(x) = f (x).

18

Całką nieoznaczoną

nazywamy wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f , a C dowolną stałą,

co zapisujemy jako:

Z

f (x) dx = F (x) + C,

(36)

gdzie: f — funkcja podcałkowa,

f (x) dx — wyrażenie podcałkowe,
x — zmienna całkowania,
C — stała całkowania.

Każdy wzór na pochodną pewnej funkcji f wyznacza wzrór podający całkę z pochodnej tej funkcji:

Z

F

0

(x) dx = F (x) + C

oraz

Z

f (x) dx



0

= f (x).

(37)

Przykład 3



e

x

2

/2



0

= xe

x

2

/2

,

Z

xe

x

2

/2

= e

x

2

/2

+ C.

Reguły całkowania

•

R x

n

dx =

x

n+1

n+1

+ C,

n 6= −1,

•

R

1

x

dx = ln |x| + C,

x 6= 0,

•

R a dx = ax + C,

•

R a

x

dx =

a

x

ln a

+ C,

a 6= 1, a > 0,

•

R e

x

dx = e

x

+ C,

•

R sin x dx = − cos x + C,

•

R cos x dx = sin x + C,

•

R tg x dx = − ln | cos x| + C,

cos x 6= 0,

•

R ctg x dx = ln | sin x| + C,

sin x 6= 0,

•

R

1

cos

2

x

dx = tg x + C,

cos x 6= 0,

•

R

1

sin

2

x

dx = − ctg x + C,

sin x 6= 0,

oraz

•

R

1

a

2

+x

2

dx =

1
a

arc tg

x
a

+ C,

a > 0,

•

R

1

a

2

−x

2

dx =

1

2a

ln

a+x
a−x

+ C,

|x| < a, a > 0,

•

R

1

x

2

−a

2

dx =

1

2a

ln

x−a
x+a

+ C,

|x| > a > 0,

•

R

1

√

a

2

−x

2

dx = arc sin

x
a

+ C,

|x| < a, a > 0,

•

R

1

√

a

2

+x

2

dx = ln

x +

√

a

2

+ x

2

+ C,

a > 0,

•

R

1

√

x

2

−a

2

dx = ln




x +

√

x

2

− a

2




+ C,

|x| > a > 0,

Z

af (x) dx = a

Z

f (x) dx,

(38)

Z

f (x) ± g(x)

dx =

Z

f (x) dx ±

Z

g(x) dx.

(39)

Całkowanie przez części

Z

f (x)g(x) dx = F (x)g(x) −

Z

F (x)g

0

(x) dx.

(40)

Dowód:

(F (x)g(x))

0

= f (x)g(x) + F (x)g

0

(x),

Z

(F (x)g(x))

0

dx =

Z

f (x)g(x) dx +

Z

F (x)g

0

(x) dx,

F (x)g(x) =

Z

f (x)g(x) dx +

Z

F (x)g

0

(x) dx,

Z

f (x)g(x) dx = F (x)g(x) −

Z

F (x)g

0

(x) dx.



19

Przykład 4

Z

e

2x

|{z}

f

1

(3x

2

− 5)

|

{z

}

g

1

dx =

1

2

e

2x

| {z }

F

1

(3x

2

− 5)

|

{z

}

g

1

−

Z

1

2

e

2x

| {z }

F

1

6x

|{z}

g

0
1

dx

=

1

2

e

2x

(3x

2

− 5) − 3

Z

e

2x

|{z}

f

2

x

|{z}

g

2

dx

=

1

2

e

2x

(3x

2

− 5) − 3

"

1

2

e

2x

| {z }

F

2

x

|{z}

g

2

−

Z

1

2

e

2x

| {z }

F

2

1

|{z}

g

0
2

dx

#

=

1

2

e

2x

(3x

2

− 5) − 3

 1

2

e

2x

x −

1

2

Z

e

2x

dx



=

1

2

e

2x

(3x

2

− 5) − 3

 1

2

e

2x

x −

1

4

e

2x

+ C



= e

2x

 3

2

x

2

+

3

2

x −

7

2



− 3C

= e

2x

 3

2

x

2

+

3

2

x −

7

2



+ C

0

.

Przykład 5

Z

ln x dx =

Z

1

|{z}

f

ln x

| {z }

g

dx =

x

|{z}

F

ln x

| {z }

g

−

Z

x

|{z}

F

1

x

|{z}

g

0

dx

= x ln x − x + C

= x(ln x − 1) + C.

Przykład 6

Z

(ln x)

2

dx =

Z

ln x

| {z }

f

ln x

| {z }

g

dx = (x ln x − x)

|

{z

}

F

ln x

| {z }

g

−

Z

(x ln x − x)

|

{z

}

F

1

x

|{z}

g

0

dx

= (x ln x − x) ln x −

Z

(ln x − 1) dx

= (x ln x − x) ln x −

Z

ln x dx +

Z

dx

= (x ln x − x) ln x − (x ln x − x) + x + C

= x(ln x)

2

− 2x ln x + 2x + C

= x

(ln x − 1)

2

+ 1

 + C.

Całkowanie przez podstawianie

Jeżeli g : X

g

→ X

f

jest różniczkowalna w sposób ciągły na X

g

, g(X

g

) = X

f

oraz

f : X

f

→ R to:

Z

f (g(x))g

0

(x) dx =

Z

f (t) dt.

(41)

Dowód:

f (t) = f (g(x)) ⇒



t = g(x)

dt

dx

= g

0

(x) ⇒ dt = g

0

(x) dx



Z

f (t) dt =

Z

f (g(x))

|

{z

}

f (t)

g

0

(x) dx

|

{z

}

dt

.



20

Przykład 7

Z

ln x dx =



ln x = t ⇒ x = e

t

dx

dt

= e

t

⇒ dx = e

t

dt



=

Z

t

|{z}

ln x

e

t

dt

| {z }

dx

=

Z

e

t

t dt

|

{z

}

przez części

= e

t

t −

Z

e

t

dt

= e

t

t − e

t

+ C

= e

t

(t − 1) + C

= x(ln x − 1) + C.

Przykład 8

Z

(ln x)

2

dx =



ln x = t ⇒ x = e

t

dx

dt

= e

t

⇒ dx = e

t

dt



=

Z

t

2

|{z}

(ln x)

2

e

t

dt

| {z }

dx

=

Z

e

t

t

2

dt

|

{z

}

przez części

= e

t

t

2

− 2

Z

e

t

t dt

|

{z

}

Przykład 7

= e

t

t

2

− 2e

t

t + 2e

t

+ C

= e

t

(t

2

− 2t + 2) + C

= x

(ln x)

2

− 2 ln x + 2

 + C.

Przykład 9

Z

sin x cos x dx =



t = sin x

dt = cos x dx



=

Z

t

|{z}

sin x

dt

|{z}

cos x dx

=

1

2

t

2

+ C =

1

2

sin

2

x + C.

Całka oznaczona

Wzór Newtona-Leibniza. Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to:

Z

b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

(42)

F (b) − F (a) oznaczamy jako

F (x)

b

a

lub F (x)





b

a

.

Przykład 10

Z

3

1

x

2

dx =

1

2

Z

3

1

x dx =

1

2

 x

2

2



3

1

=

1

4

h

x

2

i

3

1

=

1

4

(3

2

− 1

2

) = 2.

(43)

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Całka oznaczona

R

b

a

f (x) dx, f (x) ­ 0 jest równa polu powierzchni

obszaru ograniczonego prostymi x = a, x = b, osią OX oraz wykresem funkcji f . Gdy funkcja przyjmuje wartości
niedodatnie w przedziale [a, b], należy obliczyć całkę oznaczoną:

Z

b

a

|f (x)| dx.

(44)

Pole powierzchni obszaru ograniczonego wykresami ciągłych funkcji f i g i prostymi x = a, x = b obliczamy jako:

Z

b

a

(f (x) − g(x)) dx.

(45)

Wartością średnią

ciągłej funkcji f : [a, b] → R nazywamy taki punkt c ∈ [a, b], że:

f (c) =

1

b − a

Z

b

a

f (x) dx.

(46)

Przykład 11 f (x) = sin x + cos x przyjmuje wartość średnią na przedziale [−π, π] w punkcie c:

f (c) =

1

2π

Z

π

−π

(sin x + cos x) dx =

1

2π

h

− cos x + sin x

i

π

−π

= 0.

(47)

Po rozwiązaniu równania sin c + cos c = 0 otrzymujemy: c =

3
4

π lub c = −

π

4

.

21

1.9.1

Zadania

Zadania pochadzą z [2].

Zadanie 68 Obliczyć całki nieoznaczone:

1.

R

x

2

+x

3

2

√

x

dx,

2.

R x

√

x − 1 dx,

3.

R

dx

1+

√

x

,

4.

R x

√

1 + x

2

dx,

5.

R √x − 2 dx,

6.

R

1

√

a

2

+x

2

dx,

7.

R

x

√

x

2

+a

2

dx,

a 6= 0,

8.

R

dx

√

5−x

2

−4x

.

Zadanie 69 Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji wykładniczych:

1.

R x

2

e

−x

dx,

2.

R xe

x

dx,

3.

R

2

x+1

+4

x−1

8

x

dx,

4.

R (2x

2

− x + 3)3

x

dx,

5.

R 2

x

4

x

dx,

6.

R x

2

e

x

dx.

Zadanie 70 Obliczyć całki nieoznaczone:

1.

R ln x dx,

2.

R x

2

ln x dx,

3.

R

ln x

x

dx,

4.

R x ln x dx.

Zadanie 71 Obliczyć całki nieoznaczone:

1.

R cos(3x) dx,

2.

R sin(3x) dx,

3.

R tg x dx,

4.

R ctg x dx,

5.

R x sin

2

x dx,

6.

R sin

2

x dx,

7.

R cos

2

x dx,

8.

R ctg

2

x dx,

9.

R

sin x dx

1+cos

2

x

,

10.

R

dx

2+cos x

dx,

11.

R

2+sin x

sin x(1+cos x)

dx,

12.

R cos(3x) cos(2x) dx.

Zadanie 72 Obliczyć całki oznaczone:

1.

R

3

−1

(x

2

− 5) dx,

2.

R

e

1

x ln x dx,

3.

R

π

0

sin x dx,

4.

R

e

2

1

ln(

√

x)

√

x

dx,

5.

R

e

1

sin(ln x)

x

dx,

6.

R

π

0

e

x

sin x dx,

22

7.

R

π

0

cos x

1+sin

2

x

dx,

8.

R

1

0

√

x

2

+ 1 dx,

9.

R

1

0

1

x

2

+x+1

dx,

10.

R

π

2

0

sin

2

x cos x dx,

11.

R

0

−1

1

√

1−3x

dx,

12.

R

π

0

1

1+2 sin

2

x

dx.

Zadanie 73 Wyznaczyć wartośc średnią funkcji f zdefiniowanej na przedziale [a, b], gdzie:

1. f : [0,

π

2

] → R,

f (x) = cos x,

2. f : [−1, 1] → R,

f (x) = arc sin x.

Zadanie 74 Obliczyć pole obszaru A, jeżeli:

1. A = {( x, y) ∈ R

2

:

1 ¬ x ¬ 3

∧

0 ¬ y ¬ x

3

},

2. A = {( x, y) ∈ R

2

:

x ­ 0

∧

x

2

¬ y ¬

√

x},

3. A = {( x, y) ∈ R

2

:

x

2

+ y

2

¬ 4

∧

x ­ 0

∧

y ­ x},

4. A = {( x, y) ∈ R

2

:

x > 0

∧

1

x

¬ y ¬ 4 − x},

5. A = {( x, y) ∈ R

2

:

0 ¬ x ¬ π

∧

0 ¬ y ¬ min{sin x, cos x}},

6. A = {( x, y) ∈ R

2

:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

¬ 1},

a > 0, b > 0.

2

Część statystyczna,

red. Sebastian Michalski

2.1

Miary tendencji centralnej i miary zmienności,

Rafał Wawrzyńczyk

Rozkład empiryczny cechy
n — liczebność populacji.
n

i

— liczba jednostek populacji, dla których cecha przyjmuje wartość x

i

,

w

i

=

n

i

n

— częstość, wskaźnik struktury.

Dystrybuanta empiryczna

to funkcja określona na podstawie danych (x

i

, w

i

), i = 1, 2, . . . , k, w następujący

sposób:

F (x) =







0

dla

x < x

1

,

P

i
s=1

w

s

dla

x

i

¬ x < x

i+1

,

i = 1, 2, . . . , k − 1,

1

dla

x ­ x

k

.

F (x) jest funkcją niemalejacą, przyjmującą wartości z przedziału [0,1].

Formy prezentacji graficznej

rozkładu empirycznego:

• histogram

• wielobok liczebności / skumulowanych liczebności

• krzywa liczebności

Miary tendencji centralnej

Średnia arytmetyczna

w rozkładzie empirycznym:

x =

1

n

n

X

j=1

x

j

,

(48)

gdzie x

j

— indywidualne obserwacje w zbiorze danych.

W przypadku szeregu rozdzielczego:

x =

1

n

k

X

i=1

x

i

n

i

=

k

X

i=1

x

i

w

i

.

(49)

23

Mediana

rozkładu empirycznego to taka wartość cechy, że co najmniej połowa jednostek zbiorowości ma wartość

cechy nie większą od niej i równocześnie co najmniej połowa jednostek ma wartość nie mniejszą od tej wartości. W
przypadku cechy ciągłej wzór przybiera postać:

M

e

= x

0m

+

h

n

2

− n(x

0m

)

i

h

m

n

m

,

(50)

gdzie: x

0m

— dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość mediany,

n(x

0m

) — liczebność skumulowana dla dolnej granicy przedziału mediany,

h

m

, n

m

— odpowiednio: rozpiętość i liczebność przedziału mediany.

Kwantyl

rzędu p (0 < p < 1) to taka wartość cechy, dla której dystrybuanta empiryczna spełnia warunek F (x) ­ p.

Q

p

= x

0p

+ [p − F (x

0p

)]

h

p

w

p

,

(51)

gdzie: x

0p

— dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość kwantyla rzędu p,

F (x

0p

) — skumulowana częstość względna dla dolnej granicy przedziału kwantyla rzędu p,

h

p

, n

p

— odpowiednio: rozpiętość i częstość przedziału kwantyla rzędu p.

Dominanta

to wartość cechy występująca najczęściej w rozkładzie empirycznym, tzn. wartość, której odpowiada

najwyższa liczebność (częstość).

D

0

= x

0d

+

n

d

− n

d−1

(n

d

− n

d−1

) + (n

d

− n

d+1

)

h

d

,

(52)

gdzie: x

0d

— dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta,

h

d

— rozpiętość tego przedziału,

n

d

, n

d−1

, n

d+1

— odpowiednio liczebność przedziału, w którym występuje dominanta, przedziału poprzedniego

i następnego.

Miary zróżnicowania cechy

Wariancja

zbioru danych x

1

, . . . , x

n

określona jest jako:

S

2

=

1

n − 1

n

X

j=1

(x

j

− x)

2

=

1

n − 1





n

X

j=1

x

2
j

− n(x)

2





.

(53)

W przypadku szeregu rozdzielczego:

S

2

=

1

n − 1

k

X

i=1

(x

i

− x)

2

n

i

=

1

n − 1





k

X

i=1

x

2
i

n

i

−

1

n

k

X

i=1

x

i

n

i

!

2





.

(54)

Odchylenie standardowe

to pierwiastek z wariancji interpretowany jako średnie odchylenie od średniej:

S =

√

S

2

.

(55)

Współczynnik zmienności

to udział (stosunek) odchylenia standardowego w średniej (reguła 50%):

V =

S

x

.

(56)

Rozstęp

to różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością cechy w zbiorze

Rozstęp (przedział) ćwiartkowy

to różnica pomiędzy kwartylem trzecim i pierwszym.

Miary asymetrii

24

Trzeci moment centralny

M

3

=

1

n − 1

n

X

j=1

(x

j

− x)

3

.

(57)

Dla danych pogrupowanych (szereg rozdzielczy):

M

3

=

1

n − 1

k

X

i=1

(x

i

− x)

3

n

i

.

(58)

Współczynnik asymetrii

A =

M

3

S

3

.

(59)

Współczynnik skośności

A

1

=

x − D

0

S

.

(60)

2.1.1

Zadania

Zadania pochodzą z [10].

Zadanie 75 Dzienne zużycie energii elektrycznej w kWh przez lokatorów pewnego budynku było następujące: 15, 12,
10, 18, 6, 13, 41, 25. Oblicz na podstawie tego zbioru danych średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, rozstęp,
wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie 76 Notowania trzech akcji (A, B, C) w ciągu jednego tygodnia były następujące:

A: 6,30; 6,55; 5,00; 5,60; 5,65,

B: 52,5; 56,0; 55,0; 54,5; 55,5,

C: 102; 106; 110; 108; 104.

Jeżeli ryzyko gracza giełdowego będziemy mierzyć zróżnicowaniem kursów, to jak należy uszeregować akcje pod tym
względem na podstawie: a) rozstępu kursów, b) odchylenia standardowego, c) współczynników zmienności. Które kryte-
rium należy uznać za najlepsze?

Zadanie 77 Dwudziestu palaczy zapytano o liczbę paczek papierosów wypalanych tygodniowo. Uzyskano następujące
odpowiedzi: 2, 7, 3, 6, 5, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 5, 6, 7; a) przedstaw te dane w postaci szeregu rozdzielczego,
b) oblicz kwartyl drugi i trzeci, c) ile wynosi wartość dystrybuanty empirycznej dla x = 3?

Zadanie 78 W firmie Z&K pracuje 10 pracowników administracyjno-biurowych, 17 pracowników nadzoru technicznego
i 23 pracowników bezpośrednio produkcyjnych. Średnie miesięczne wynagrodzenie pracownika administracyjno-biurowego
wynosi 1600 zł, średnie wynagrodzenie pracownika nadzoru technicznego wynosi 1500 zł, natomiast pracownika bezpo-
średnio produkcyjnego 1050 zł. Oblicz średnią płacę ogółu pracowników.

Zadanie 79 Dzienny przebieg taksówek w pewnym mieście charakteryzuje szereg rozdzielczy:

Przebieg (km)

0-40

40-80

80-120

120-160

160-200

Liczba taksówek

26

82

56

28

8

Oblicz miary tendencji centralnej (średnią arytmetyczną, medianę i dominantę) oraz wariancję i odchylenie standardowe
przebiegu taksówek.

Zadanie 80 Na podstawie poniższych danych o wydatkach grupy emerytów na książki i czasopisma w zł oblicz medianę
i średnią arytmetyczną tych wydatków:

Wydatki (zł)

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

Liczba osób

4

10

8

6

1

Wyznacz kwartale pierwszy i trzeci i rozstęp ćwiartkowy. Obliczenie kwartyli zilustruj na podstawie wykresu dystrybu-
anty.

Zadanie 81 Zarejestrowano liczbę widzów na 10 poniedziałkowych seansach filmu „Nie lubię poniedziałku”, otrzymując
wyniki: 10, 16, 4, 15, 6, 12, 22, 31, 8, 20. Oblicz na podstawie tego zbioru danych (bez uprzedniego grupowania) klasyczne
miary zróżnicowania i asymetrii.

25

Zadanie 82 Rozkład opłat za naprawy samochodów wykonane w ciągu miesiąca w pewnym warsztacie ustalony na
podstawie 120 obserwacji był następujący:

Opłaty (zł)

0-100

100-200

200-300

300-400

400-500

Liczba napraw

20

42

22

20

16

Sporządź wielobok liczebności rozkładu opłat i oceń jego asymetrię za pomocą: a) współczynnika skośności; b) współ-
czynnika asymetrii.

Zadanie 83 W pewnej miejscowości zbadano zużycie wody przez rodziny, uzyskując wyniki:

Zużycie wody (l)

30-50

50-70

70-100

100-150

150-250

Odsetek rodzin

10

30

25

20

15

Sporządź wykres dystrybuanty empirycznej lub wieloboku liczebności skumulowanych, zaznaczając na nim kółkiem: a)
wartość mediany; b) wartość dystrybuanty empirycznej lub skumulowanej liczebności rodzin dla zużycia wynoszącego
100 litrów.

Zadanie 84 W badaniu gospodarstw domowych otrzymano następujące charakterystyki rozkładu dochodów i oszczęd-
ności (obie cechy w tys. zł):

Kategoria

Średnia arytmetyczna

dominanta

Wariancja

Dochód

12

10

9

Oszczędności

8

9

16

Porównaj zróżnicowanie i asymetrię obu kategorii. Naszkicuj na jednym układzie współrzędnych krzywe rozkładów obu
kategorii, zaznaczając wartości odpowiednich miar.

Zadanie 85 Analizie opisowej poddano dane o wieku grupy 25 osób, otrzymując następujące wartości odpowiednich
miar:

średnia 35

mediana 32

minimalna wartość 21

kwartyl pierwszy 26

wariancja 121

dominanta 28

maksymalna wartość 63

kwartyl trzeci 43

a) oceń zróżnicowanie i asymetrię rozkładu wieku,
b) naszkicuj przybliżony kształt krzywej częstości, zaznaczając na osi odciętych miary tendencji centralnej i położenia,
c) narysuj, z maksymalna możliwą dokładnością, dystrybuantę empiryczną rozkładu wieku pracowników.

2.2

Zmienne losowe, rozkład normalny, średnia i różnica dwóch średnich,

Piotr Ciż-

kowicz

Zmienna losowa

Oznaczmy Ω zbiór zdarzeń elementarnych doświadczenia. Zmienną losową nazywamy funkcję X(ω),

która każdemu zdarzeniu elementarnemu ω ∈ Ω przyporządkowuje dokładnie jedna liczbę X(ω) = x.

Zmienna losowa jest zmienną typu

1. skokowego, jeśli może przyjmować przeliczalną liczbę wartości (skończona lub nieskończoną),

2. ciągłego, jeśli jej wartości należą do przedziału z liczb rzeczywistych.

Rozkład zmiennej losowej typu skokowego

1. Funkcją prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X typu skokowego o wartościach x

i

, i = 1, 2, . . . nazywamy

funkcję postaci:

P(X = x

i

) = p

i

(61)

gdzie: p

i

spełnia równanie

P

n
i=1

p

i

= 1 lub

P

∞
i=1

p

i

= 1.

26

2. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję

F (x) = P(X ¬ x)

(62)

określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach:

(a) 0 ¬ F (x) ¬ 1,

(b) lim

x→−∞

F (x) = 0,

(c) lim

x→+∞

F (x) = 1,

(d) F (x) jest funkcją niemalejącą i przedziałami stałą,

(e) F (x) jest prawostronnie ciągła.

Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego przyjmuje postać:

F (x) =

X

x

i

¬x

p

i

,

x ∈ (−∞, +∞).

(63)

Dla skończonego zbioru wartości zmiennej losowej typu skokowego X dystrybuantę można zapisać alternatywnie
jako:

F (x) =



































0

dla

x < x

1

p

1

dla

x

1

¬ x < x

2

p

1

+ p

2

dla

x

2

¬ x < x

3

..

.
p

1

+ p

2

+ · · · + p

n−1

dla

x

n−1

¬ x < x

n

1

dla

x ­ x

n

(64)

Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego

1. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f (x) o własno-

ściach:

(a) f (x) ­ 0,

(b)

R

b

a

f (x) dx = P(a < X ¬ b).

2. Dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję

F (x) =

Z

x

−∞

f (t) dt,

(65)

gdzie: f (t) — funkcja gęstości zmiennej X.

Parametry rozkładu zmiennej losowej

(1) zmienna skokowa, (2) zmienna ciągła

1. Wartość oczekiwana zmiennej losowej

(1)

E(X) =

X

i

p

i

x

i

(66)

(2)

E(X) =

Z

∞

−∞

xf (x) dx

(67)

gdzie: p

i

— funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach x

i

, i =1,2,. . .

f (x) — funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej.

2. Wariancja zmiennej losowej

(1)

D

2

(X) = E



X − E(X)



2

=

X

i



x

i

− E(X)



2

p

i

(68)

(2)

D

2

(X) = E



X − E(X)



2

=

Z

+∞

−∞



x − E(X)



2

f (x) dx

(69)

27

Próba losowa i statystyki z próby

• Próba losowa prosta to ciąg niezależnych zmiennych losowych (X

1

, X

2

, ..., X

n

) o jednakowych rozkładach

odpowiadających rozkładowi w populacji generalnej.

• Statystyka z próby to zmienna losowa Z

n

będąca funkcją zmiennych stanowiących próbę losową.

• Rozkładem z próby nazywamy rozkład statystyki Z

n

= z(X

1

, X

2

, . . . , X

n

).

Rozkład normalny

Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m i σ, co zapisujemy X ∼ N (m, σ) w

przypadku, gdy jej funkcja gęstości ma postać:

f (x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−m)2

2σ2

,

(70)

gdzie: −∞ < x < ∞ oraz σ > 0. Parametry rozkładu oznaczają odpowiednio wartość średnią i odchylenie standardowe
zmiennej X:

E(X) =

1

σ

√

2π

Z

∞

−∞

xe

−

(x−m)2

2σ2

dx = m,

(71)

D

2

(X) =

1

σ

√

2π

Z

∞

−∞

(x − m)

2

e

−

(x−m)2

2σ2

dx = σ

2

.

(72)

Dystrybuanta rozkładu normalnego

F (x) =

1

σ

√

2π

Z

x

−∞

e

−

(t−m)2

2σ2

dt.

(73)

Standardowy rozkład normalny

to rozkład normalny o wartości średniej równej 0 i odchyleniu standardowym

równym 1, co zapisujemy jako N (0, 1).

Standaryzacja rozkładu

Jeśli zmienna X ma rozkład N (m, σ), to zmienna U postaci

U =

X − m

σ

(74)

ma standardowy rozkład normalny N (0, 1).

Rozkład średniej arytmetycznej z próby dla populacji normalnej

1. Przy znanym odchyleniu stnadardowym

Zakładamy, że cecha X ma w populacji generalnej rozkład N (m, σ). Z populacji tej losujemy n-elementową próbę
losową prostą (X

1

, X

2

, . . . , X

n

). Dla takich założeń średnia arytmetyczna z próby, czyli zmienna losowa

X =

1

n

n

X

i=1

X

i

(75)

ma rozkład normalny ze średnią i odchyleniem standardowym danymi wzorami:

E(X) = m,

D(X) =

σ

√

n

|

{z

}

X∼N m,

σ

√

n

.

(76)

2. Przy nieznanym odchyleniu standardowym

W przypadku, gdy odchylenie standardowe nie jest znane do wnioskowania o średniej m korzystamy ze statystyki
o rozkładzie t − Studenta postaci

t =

X − m

s

√

n,

(77)

gdzie: s =

q

1

n−1

P

n
i=1

X

i

− X

2

.

28

Rozkład różnicy średnich arytmetycznych z prób dla dwóch populacji normalnych

1. Przy znanych odchyleniach standardowych

Dla dwóch danych populacji normalnych o rozkładach N (m

1

, σ

1

) oraz N (m

2

, σ

2

) pobieramy dwie próby liczące

odpowiednio n

1

i n

2

. Statystyka postaci X

1

− X

2

ma rozkład

X

1

− X

2

∼ N





m

1

− m

2

,

s

σ

2

1

n

1

−

σ

2

2

n

2





.

(78)

2. Przy nieznanych odchyleniach standardowych

Dla dwóch danych populacji normalnych o rozkładach N (m

1

, σ) oraz N (m

2

, σ) (gdzie odchylenia standardowe są

równe, ale nieznane) pobieramy dwie próby liczące odpowiednio n

1

i n

2

. Statystyka postaci X

1

− X

2

ma rozkład

t − Studenta postaci:

t =

(X

1

− X

2

) − (m

1

− m

2

)

r

s

2

p



1

n

1

−

1

n

2



,

(79)

gdzie: s

2

p

=

(n

1

−1)s

2
1

+(n

2

−1)s

2
2

n

1

+n

2

−2

,

s

2

1

i s

2

2

— wariancje z pierwszej i drugiej próby.

2.2.1

Zadania

Zadanie 86 Określ prawdopodobieństwo następujących zdarzeń elementarnych:

1. w rzucie kostką szóstka wypada w 4 rzucie,

2. w rzucie kostką szóstka wypada w n-tym rzucie,

3. w trzech rzutach monetą wyrzucono 2 orły,

4. w dwóch rzutach monetą wyrzucono jedną reszkę,

5. rzut monetą do czasu wypadnięcia 2 orłów.

Zadanie 87 Określ zbiór zdarzeń elementarnych, zmienną losową X oraz jej funkcję prawdopodobieństwa w następu-
jących doświadczeniach:

1. rzut monetą,

2. 2 rzuty monetą,

3. rzut monetą do czasu wyrzucenia orła,

4. rzut kostką,

5. 2 rzuty kostką,

6. rzut monetą do czasu wyrzucenia trójki.

Zadanie 88 Do tarczy oddaje się trzy niezależne strzały. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę wynosi 0,5. Zmienna
X została zdefiniowana jako liczba trafień w tarczę w trzech strzałach.

1. Przedstaw zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia.

2. Określ, jakie wartości może przyjąć zmienna losowa.

3. Przedstaw funkcję prawdopodobieństwa dla tej zmiennej.

4. Przedstaw dystrybuantę dla tej zmiennej.

Zadanie 89 Rzucamy dwa razy czterościenną kostką do gry. Zmienna X została zdefiniowana jak łączna liczba wyrzu-
conych oczek.

1. Przedstaw zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia.

2. Określ, jakie wartości może przyjąć zmienna losowa.

3. Przedstaw funkcję prawdopodobieństwa dla tej zmiennej.

4. Przedstaw dystrybuantę dla tej zmiennej.

Zadanie 90 Autobus kursuje regularnie co 5 minut. Pasażer przychodzi na przystanek w danym momencie nie kie-
rując się rozkładem jazdy. Dla zmiennej losowej X zdefiniowanej jako czas oczekiwania na autobus (w min.) określ i
narysuj funkcję gęstości oraz dystrybuantę oraz prawdopodobieństwo tego, że czas oczekiwania na autobus będzie liczbą
z przedziału (1; 3]

29

Zadanie 91 Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennych losowych określonych w zadaniu 3,4 i 5.

Zadanie 92 Dla zmiennej losowej o rozkładzie prawdopodobieństwa

x

10

20

30

40

p

i

0,1

0,3

0,4

?

oblicz wartość oczekiwaną i wariancję.

Zadanie 93 W przedsiębiorstwie zaplanowano średnią podwyżkę wynagrodzeń o 10 % z odchyleniem standardowym 5
%. Ilu spośród 200 pracowników zatrudnionych w tym przedsiębiorstwie otrzyma więcej niż 15 % podwyżki?

Zadanie 94 Cecha ma w populacji generalnej rozkład dwupunktowy: P(X = 1) = 0, 25, P(X = 0) = 0, 75. Z po-
pulacji wylosowano 3-elementową próbę losową. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dla statystyki będącej średnią
arytmetyczną z próby.

Zadanie 95 Waga skupowanych jaj (w gramach) ma rozkład N (50, 3). Pakowane są one losowo po 10 sztuk. Określić
rozkład średniej arytmetycznej wagi jaj w pojedynczych opakowaniach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że średnia
waga jaj w opakowaniu będzie większa od 52 gramów? Zinterpretuj otrzymany wynik.

Zadanie 96 Wzrost wśród 15-letnich chłopców ma rozkład N (170, 5), zaś dziewcząt N (166, 4). Wybrano dwie próby
liczące 8 chłopców i 10 dziewcząt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obliczana na podstawie prób średnia arytmetyczna
wzrostu dziewcząt będzie większa od średniej wzrostu chłopców?. Zinterpretuj otrzymany wynik.

2.3

Estymacja parametrów. Przedziały ufności,

Anna Staszewska

Estymacja

(szacowanie wartości parametru rozkładu cechy w populacji generalnej na podstawie rozkładu empirycz-

nego, uzyskanego z próby):

• punktowa,

• przedziałowa.

W estymacji punktowej za ocenę parametru przyjmuje się jedną konkretną wartość uzyskaną na podstawie wyników

próby. Statystyki, na podstawie których wyznaczamy te wartości nazywamy estymatorami. W estymacji przedziałowej
wyznacza się pewien liczbowy przedział, który z określonym prawdopodobieństwem pokrywa prawdziwą wartość sza-
cowanego parametru. Przedział ten nazywamy przedziałem ufności a ustalone prawdopodobieństwo poziomem ufności.
Poziom ufności zapisuje się zwykle jako 1 − α.

Własności estymatorów

Zwykle wymaga się, by estymator T

n

parametru θ posiadał własności:

1. nieobciążoności: E(T

n

) = θ,

2. zgodności: lim

n→∞

P

n

|T

n

− θ| < 

o

= 1,

dla

 > 0,

3. największej efektywności (najmniejszej wariancji spośród wszystkich nieobciążonych estymatorów).

Istnieje kilka metod uzyskiwania estymatorów o pożądanych własnościach.

Estymatory punktowe dla próby

(X

1

, X

2

, . . . , X

n

):

• estymator wartości oczekiwanej w populacji generalnej o dowolnym rozkładzie:

X =

1

n

n

X

i=1

X

i

,

(80)

• estymator wariancji w populacji generalnej o dowolnym rozkładzie:

s

2

=

1

n − 1

n

X

i=1

(X

i

− X)

2

,

(81)

• estymator prawdopodobieństwa „sukcesu” w populacji generalnej o rozkładzie zero-jedynkowym:

ω =

X

n

,

(82)

gdzie: X — liczba „sukcesów” (jedynek), jakie wystąpiły w próbie.

30

Przykład

Niech (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N (m, σ). Pokaż, że X jest

nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej m.

Estymacja przedziałowa

1. Estymacja przedziałowa średniej m

(a) Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny ze znanym odchyleniem standardowym σ

X − u

α

σ

√

n

< m < X + u

α

σ

√

n

,

(83)

gdzie: u

α

— wartość z tablic rozkładu normalnego, dla której Φ(u

α

) = 1 −

α

2

,

Φ(·) — dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.

(b) Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny z nieznanym odchyleniem standardowym

X − t

α,n−1

s < m < X + t

α,n−1

s,

(84)

gdzie: t

α,n−1

— wartość krytyczna rozkładu t dla poziomu istotności α i n − 1 stopni swobody.

(c) Cecha ma w populacji generalnej dowolny rozkład (ten przedział ufności stosować można tylko dla odpo-

wiednio dużej próby – odpowiednio dużego n)

X − u

α

s

√

n

< m < X + u

α

s

√

n

(85)

2. Estymacja przedziałowa prawdopodobieństwa „sukcesu” p w rozkładzie dwumianowym:

Dla dużej próby n ­ 100:

ω − u

α

r

ω(1 − ω)

n

< p < ω + u

α

r

ω(1 − ω)

n

.

(86)

2.3.1

Zadania

Zadanie 97 Zakładając, że rozkład zmiennej X oznaczającej wzrost kobiet w wieku 25-29 lat jest normalny i wiedząc,
że dla n=25 otrzymano x = 165cm wyznacz 99% przedziały ufności dla średniej przyjmując, że:

1. odchylenie standardowe zmiennej X jest znane i wynosi 5 cm,

2. odchylenie standardowe zmiennej X nie jest znane i jego ocena wynosi 5 cm.

Zadanie 98 [9] Na podstawie próby losowej, obejmującej 100 kwitów kasowych na stoisku kosmetycznym w domu
towarowym „Centrum”, otrzymano średnią arytmetyczną kwoty zakupu, wynoszącą 15,4 zł oraz odchylenie standardowe
kwoty zakupu wynoszące 4 zł.

1. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku.

2. Ile kwitów powinno się wylosować do próby, aby na poziomie ufności (1 − α) = 0, 95 zbudować przedział ufności

dla wartości przeciętnej o rozpiętości co najwyżej 2 zł?

Zadanie 99 [9] Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie N (m, σ), wylosowano
do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:

Kwartalne wydatki (w tys. zł)

0-5

5-10

10-15

15-20

Liczba zakładów

10

20

40

30

1. Wyznaczyć na poziomie ufności 1−α = 0, 96 przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę.

2. Jaka będzie dokładność oszacowania, gdy poziom ufności będzie równy 0,9?

Zadanie 100 W celu oszacowania wyniku referendum przeprowadzono ankietę wśród 552 losowo wybranych osób
uprawnionych do głosowania. Odpowiedź na pytanie: „Czy zagłosuje Pani/Pan za. . . ?” zaklasyfikowana została do
kategorii „tak” bądź kategorii „inna” („inna” obejmuje „nie”, „nie wiem” itp.). Wiedząc, że 239 osób odpowiedziało
„tak” wyznaczyć 95% przedział ufności dla frakcji populacji, która zagłosuje za.

Zadanie 101 [9] W zakładzie Z dla 16 wybranych losowo pracowników otrzymano następujące informacje o zatrud-
nionych:

Wiek pracowników

20-24

24-28

28-32

32-36

Liczba pracowników

4

6

4

2

31

1. Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego

zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.

2. Traktując powyższe dane jako wyniki wstępnej próby, obliczyć, jaka powinna być właściwa liczebność próby, aby

oszacować przeciętny wiek pracownika, z dopuszczalnym błędem oceny 2 lata – na poziomie ufności 0,98. Jaka
powinna być liczebność próby, jeżeli założymy dopuszczalny błąd oceny 1 rok?

3. Jaki przedział otrzymamy zakładając, że wiek ma rozkład normalny N (m, 3) i poziom ufności wynosi 0,98?

Zadanie 102 [9] Rozkład wagi uczniów pierwszych klas szkół podstawowych jest N (m, 3kg). Ilu uczniów powinno się
wylosować do próby, aby oszacować przeciętną wagę ucznia I klasy z maksymalnym błędem szacunku 0,5 kg na poziomie
ufności 1 − α = 0, 98?

Zadanie 103 W większości narodowych wyborów w Australii około 50% głosów oddaje się na liberałów i 50% na partię
pracy. Jak dużej próby potrzeba, by oszacować wynik wyborów z dokładnością do ± 3% na poziomie ufności 0.95?

2.4

Weryfikacja hipotez statystycznych – testy istotności dla pojedynczej próby,

Bar-

tosz Witkowski

Procedura przeprowadzania testów

1. sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej,

2. dobór odpowiedniej postaci statystyki testowej,

3. obliczenie wartości statystyki dla posiadanej próby,

4. wyznaczenie przedziału krytycznego na przyjętym poziomie istotności,

5. wnioskowanie o odrzuceniu hipotezy zerowej gdy wartość obliczonej statystyki należy do przedziału krytycznego

bądź o braku podstaw do jej odrzucenia w przeciwnym wypadku.

Dobór odpowiedniej postaci statystyki testowej i wyznaczanie przedziałów krytycznych w poszczegól-
nych sytuacjach

Testy dla średniej w populacji generalnej

Schemat 1

Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny ze znanym odchyleniem standardowym σ, n < 30

H

0

: m = m

0

,

H

1

: m 6= m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

α

] ∪ [u

α

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ¬ m

0

),

H

1

: m > m

0

,

obszar krytyczny:

K = [u

2α

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ­ m

0

),

H

1

: m < m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

2α

].

U =

x − m

0

σ

√

n.

(87)

Jeżeli U ∈ K odrzucamy H

0

na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie – brak podstaw do jej odrzucenia.

Schemat 2

Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny z nieznanym odchyleniem standardowym, n < 30

H

0

: m = m

0

,

H

1

: m 6= m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −t

α,n−1

] ∪ [t

α,n−1

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ¬ m

0

),

H

1

: m > m

0

,

obszar krytyczny:

K = [t

2α,n−1

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ­ m

0

),

H

1

: m < m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −t

2α,n−1

],

t =

x − m

0

ˆ

S

√

n.

(88)

Jeżeli t ∈ K odrzucamy H

0

na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie – brak podstaw do jej odrzucenia.

Schemat 3

Cecha ma w populacji generalnej dowolny rozkład, n > 30

H

0

: m = m

0

,

H

1

: m 6= m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

α

] ∪ [u

α

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ¬ m

0

),

H

1

: m > m

0

,

obszar krytyczny:

K = [u

2α

; ∞),

H

0

: m = m

0

(m ­ m

0

),

H

1

: m < m

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

2α

],

U =

x − m

0

S

√

n.

(89)

Jeżeli U ∈ K odrzucamy H

0

na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie – brak podstaw do jej odrzucenia.

32

Testy dla frakcji w populacji generalnej

H

0

: p = p

0

,

H

1

: p 6= p

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

α

] ∪ [u

α

; ∞),

H

0

: p = p

0

(p ¬ p

0

),

H

1

: p > p

0

,

obszar krytyczny:

K = [u

2α

; ∞),

H

0

: p = p

0

(p ­ p

0

),

H

1

: p < p

0

,

obszar krytyczny:

K = (−∞; −u

2α

],

U =

w

i

− p

0

q

p

0

(1−p

0

)

n

.

(90)

Jeżeli U ∈ K odrzucamy H

0

na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie – brak podstaw do jej odrzucenia.

2.4.1

Zadania

Zadanie 104 Na paczce paluszków napisane jest, że jej masa wynosi 100g, podczas gdy wśród zakupionych 4 paczek
znalazły się paczki ważące kolejno 102, 98, 105 i 103 gramy. Wiadomo, że rozkład masy paczki jest normalny.

1. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia masa paczki paluszków jest równa 100g, jeżeli wiadomo,

że odchylenie standardowe w rozkładzie masy paczki wynosi 3 gramy.

2. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia masa paczki paluszków jest równa 100g, jeżeli odchylenie

w rozkładzie masy nie jest znane.

Zadanie 105 Zenon zakupił 100 butelek piwa Dragon i osobiście przetestował zawartość alkoholu w każdej z nich
stwierdzając, na podstawie wprawionego zmysłu smaku, że średnia zawartość alkoholu w butelce wyniosła 5,2 procenta
z odchyleniem standardowym 0,5 punktu procentowego. Na etykietce doczytał się jednak, że producent deklaruje jedynie
5% alkoholu w butelce. Czy na poziomie istotności 0,02 można stwierdzić, że napis na butelce wprowadza w błąd?

Zadanie 106 Stefan zakupił 50 ryb akwariowych, z których niestety 4 zdechły już na drugi dzień. Sprzedawca zarzekał
się, że w ciągu pierwszych dwóch dni zdycha średnio 10% ryb. Czy, na poziomie istotności 0,1 można uznać, że nie
kłamał?

Zadanie 107 Grzegorz nabył 4 tubki pasty do zębów i zmierzył zawartość pasty w tubce. W kolejnych tubkach było
odpowiednio 98, 96, 100 i 98 ml, podczas gdy producent twierdził, że w każdej jest 100 ml. Wiedząc, że rozkład zawartości
pasty w tubce jest normalny z odchyleniem standardowym 1 ml zweryfikuj na poziomie istotności 0,05 prawdziwość
twierdzeń:

1. średnia zawartość pasty w tubce nie jest równa 100 ml,

2. średnia zawartość pasty w tubce jest mniejsza niż 100 ml.

Zadanie 108 Jak zmieni się postępowanie z poprzedniego punktu, jeżeli nie będzie znane odchylenie standardowe w
rozkładzie zawartości pasty w tubce?

Zadanie 109 Kleofas jada na śniadanie wyłącznie dżem i twierdzi, że średnio zjada 50g dżemu. Tymczasem jego matka
sprawdziła, że w ciągu ostatnich 81 dni Kleofas zjadał średnio 55 gramów dżemu z wariancją równą 25g

2

. Na poziomie

istotności 0,03 zweryfikuj stwierdzenia:

1. Kleofas średnio zjada na śniadanie 50g dżemu,

2. Kleofas średnio zjada na śniadanie więcej niż 50g dżemu,

3. Kleofas średnio zjada na śniadanie nie mniej niż 50g dżemu.

Zadanie 110 Debiutujący aktor, Bogusław Limba, obliczył, że w ciągu ostatnich 49 dni jego średnie dzienne zarobki
wynosiły 20 złotych z odchyleniem standardowym 5 złotych.

1. Czy na poziomie istotności 0,04 należy uznać stwierdzenie, że Bogusław L. zarabia dziennie średnio 19 złotych za

fałszywe?

2. Czy na poziomie istotności 0,02 należy uznać stwierdzenie, że Bogusław L. Zarabia dziennie średnio więcej niż 21

złotych za fałszywe?

Zadanie 111 Marian, najprzystojniejszy chłopak w mieście, często chodzi na wagary. W ciągu ostatniego miesiąca
nauczycielka sprawdziła, że na 30 kolejnych lekcji Marian był nieobecny na sześciu, podczas gdy sam Marian twierdzi,
że średnio nie ma go nie częściej niż na co ósmej lekcji. Zweryfikuj prawdziwość stwierdzenia Mariana przy α = 0, 1.

Zadanie 112 Z badań wynika, że po zastosowaniu pewnej niezwykłej pasty do zębów, wśród 100 dzieci 80 miało zęby
zdrowe na siódemkę. Czy na poziomie istotności 0,05 twierdzenie producenta, że w ponad 90% przypadków pasta ma
zbawienne działanie na zęby należy uznać za fałszywe?

33

Literatura

[1] J. Borowski, R. Golański, K. Kasprzyk, L. Melon, M. Podgórska, Matematyka finansowa (przykłady, zadania, testy,

rozwiązania), Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. IV, 2003.

[2] S. Dorosiewicz (red.), J. Kłopotowski, D. Kołatkowski, Matematyka I, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Han-

dlowej, 2002.

[3] M. Gruszczyński, S. Kluza, D. Winek, Ekonometria, Wyższa Szkoła Handlu i Finansów Międzynarodowych, 2003.

[4] M. Gruszczyński, M. Podgórska (red.), Ekonometria, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. VI,

2003.

[5] Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz, Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo

Naukowe PWN, wyd. V, 2004.

[6] J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, wyd. V, 2001.

[7] M Kolupa, J. Plebaniak, Metody ilościowe dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa, Warszawa.

[8] J. Kłopotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski, Matematyka dla ekonomicznych

studiów zaocznych i wieczorowych, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. VI, 2004.

[9] S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekono-

micznej im. Oskara Lanego we Wrocławiu, Wrocław 1997.

[10] J. Podgórski, Statystyka dla studiów licencjackich, PWE, Warszawa 2001.

[11] E. Siwek, Szkolny Słownik Matematyczny, Videograf II, Katowice 2002.

34