Elektrodynamika

Część 5

Pola magnetyczne w materii

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

Spis treści

6

Pola magnetyczne w materii

3

6.1

Magnetyzacja

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6.2

Pole namagnesowanego ciała

. . . . . . . . . . . . .

14

6.3

Natężenie pola magnetycznego H

. . . . . . . . . . .

22

6.4

Ośrodki liniowe i nieliniowe

. . . . . . . . . . . . . .

26

6 Pola magnetyczne w materii

6.1 Magnetyzacja

6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki

• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji

B

• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora

B

• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują

namagnesowanie

M

nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

6 Pola magnetyczne w materii

6.1 Magnetyzacja

6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki

• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji

B

• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora

B

• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują

namagnesowanie

M

nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

6 Pola magnetyczne w materii

6.1 Magnetyzacja

6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki

• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji

B

• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora

B

• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują

namagnesowanie

M

nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

6 Pola magnetyczne w materii

6.1 Magnetyzacja

6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki

• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji

B

• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie

M

ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora

B

• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują

namagnesowanie

M

nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole

6.1.2 Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne

I

Każdą pętlę z prądem można złożyć z infinitezymalnych

prostokątów. Prądy od „wewnętrznych” boków znoszą się

wzajemnie.

x

y

z

B

m

θ

θ

b

a

I

y

z

B

m

θ

θ

a

F

F

N = aF sin θ ˆ

x,

moment sił

x

y

z

B

m

θ

θ

b

a

I

y

z

B

m

θ

θ

a

F

F

N = aF sin θ ˆ

x,

moment sił

F = IbB,

wartość siły

x

y

z

B

m

θ

θ

b

a

I

y

z

B

m

θ

θ

a

F

F

N = aF sin θ ˆ

x,

moment sił

F = IbB,

wartość siły

N = Iab sin θ ˆ

x = mB sin θ ˆ

x

x

y

z

B

m

θ

θ

b

a

I

y

z

B

m

θ

θ

a

F

F

N = aF sin θ ˆ

x,

moment sił

F = IbB,

wartość siły

N = Iab sin θ ˆ

x = mB sin θ ˆ

x

N = m × B

F = I

I

( dl × B) = I

I

dl



× B = 0

W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z

prądem znika

B

I

I

pole niejednorodne

B

I

I

pole niejednorodne

x

y

z

R

I

I

θ

B

B

F

F

pole ma składową radialną

siła ma składową pionową

F = 2πIRB cos θ

F = ∇(m · B)

Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym

m

umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji

B

.

Modele momentu dipolowego

N

S

+

−

m

m

p

I

dipol magnetyczny

(model Gilberta)

dipol elektryczny

dipol magnetyczny

(model Ampère’a)

6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe

x

y

z

m

−e

v

R

T =

2πR

v

⇒

I =

e

T

=

ev

2πR

ruch elektronu można

potraktować jako prąd stały

6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe

x

y

z

m

−e

v

R

T =

2πR

v

⇒

I =

e

T

=

ev

2πR

ruch elektronu można

potraktować jako prąd stały

m = −IπR

2

ˆ

z = −

1

2

evR ˆ

z

orbitalny moment dipolowy

6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe

x

y

z

m

−e

v

R

T =

2πR

v

⇒

I =

e

T

=

ev

2πR

ruch elektronu można

potraktować jako prąd stały

m = −IπR

2

ˆ

z = −

1

2

evR ˆ

z

orbitalny moment dipolowy

N = m × B

moment siły, mały efekt paramagnetyczny

1

4π

0

e

2

R

2

= m

e

v

2

R

w nieobecności pola magnetycznego siła

dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków

elektrycznych

1

4π

0

e

2

R

2

= m

e

v

2

R

w nieobecności pola magnetycznego siła

dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków

elektrycznych

−e(v × B)

dodatkowa siła w polu magnetycznym;

elektron

przyspiesza i zwalnia

1

4π

0

e

2

R

2

= m

e

v

2

R

w nieobecności pola magnetycznego siła

dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków

elektrycznych

−e(v × B)

dodatkowa siła w polu magnetycznym;

elektron

przyspiesza i zwalnia

x

y

z

+e

−e

v

R

B

B

B

B

zakładamy, że pole

B

jest

prostopadłe do płaszczyzny orbity

1

4π

0

e

2

R

2

= m

e

v

2

R

w nieobecności pola magnetycznego siła

dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków

elektrycznych

−e(v × B)

dodatkowa siła w polu magnetycznym;

elektron

przyspiesza i zwalnia

x

y

z

+e

−e

v

R

B

B

B

B

zakładamy, że pole

B

jest

prostopadłe do płaszczyzny orbity

1

4π

0

e

2

R

2

+ e¯

vB = m

e

¯

v

2

R

nowa wartość prędkości —

¯

v

e¯

vB =

m

e

R

(¯

v

2

− v

2

) =

m

e

R

(¯

v + v)(¯

v − v)

e¯

vB =

m

e

R

(¯

v

2

− v

2

) =

m

e

R

(¯

v + v)(¯

v − v)

δv =

eRB

2m

e

elektron przyspiesza

e¯

vB =

m

e

R

(¯

v

2

− v

2

) =

m

e

R

(¯

v + v)(¯

v − v)

δv =

eRB

2m

e

elektron przyspiesza

δm = −

1

2

e(δv)R ˆ

z = −

e

2

R

2

4m

e

B

zmiana momentu dipolowego

e¯

vB =

m

e

R

(¯

v

2

− v

2

) =

m

e

R

(¯

v + v)(¯

v − v)

δv =

eRB

2m

e

elektron przyspiesza

δm = −

1

2

e(δv)R ˆ

z = −

e

2

R

2

4m

e

B

zmiana momentu dipolowego

Zmiana momentu magnetycznego

m

ma przeciwny zwrot niż

sama indukcja

B

—

diamagnetyzm

6.1.4 Magnetyzacja

M ≡

magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości

6.1.4 Magnetyzacja

M ≡

magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości

M

—

magnetyzacja, namagnetyzowanie, polaryzacja magnetyczna

6.2 Pole namagnesowanego ciała

6.2.1 Prądy związane

P

R

dτ

′

m

A(r) =

µ

0

4π

m × ˆ

R

R

2

potencjał wektorowy dipola

m

6.2 Pole namagnesowanego ciała

6.2.1 Prądy związane

P

R

dτ

′

m

A(r) =

µ

0

4π

m × ˆ

R

R

2

potencjał wektorowy dipola

m

A(r) =

µ

0

4π

Z

M (r

0

) × ˆ

R

R

2

dτ

0

∇

0

1

R

=

ˆ

R

R

2

∇

0

1

R

=

ˆ

R

R

2

A(r) =

µ

0

4π

Z

"

M (r

0

) ×



∇

0

1

R



#

dτ

0

∇

0

1

R

=

ˆ

R

R

2

A(r) =

µ

0

4π

Z

"

M (r

0

) ×



∇

0

1

R



#

dτ

0

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )

pochodne iloczynów

∇

0

1

R

=

ˆ

R

R

2

A(r) =

µ

0

4π

Z

"

M (r

0

) ×



∇

0

1

R



#

dτ

0

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )

pochodne iloczynów

A(r) =

µ

0

4π







Z

1

R

[∇

0

× M (r

0

)] dτ

0

−

Z

∇

0

×

"

M (r

0

)

R

#

dτ

0







∇

0

1

R

=

ˆ

R

R

2

A(r) =

µ

0

4π

Z

"

M (r

0

) ×



∇

0

1

R



#

dτ

0

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )

pochodne iloczynów

A(r) =

µ

0

4π







Z

1

R

[∇

0

× M (r

0

)] dτ

0

−

Z

∇

0

×

"

M (r

0

)

R

#

dτ

0







Z

V

(∇ × A) dτ = −

I

S

A × da

twierdzenie

A(r) =

µ

0

4π

Z

1

R

[∇

0

× M (r

0

)] dτ

0

+

µ

0

4π

I

1

R

[M (r

0

) × da

0

]

A(r) =

µ

0

4π

Z

1

R

[∇

0

× M (r

0

)] dτ

0

+

µ

0

4π

I

1

R

[M (r

0

) × da

0

]

J

zw

= ∇ × M

K

zw

= M × ˆ

n

A(r) =

µ

0

4π

Z

1

R

[∇

0

× M (r

0

)] dτ

0

+

µ

0

4π

I

1

R

[M (r

0

) × da

0

]

J

zw

= ∇ × M

K

zw

= M × ˆ

n

A(r) =

µ

0

4π

Z

V

J

zw

(r

0

)

R

dτ

0

+

µ

0

4π

I

S

K

zw

(r

0

)

R

da

0

Przykład:

Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli.

x

y

z

M

θ

φ

r

J

zw

= ∇ × M = 0,

K

zw

= M × ˆ

n = M sin θ ˆ

φ

K = σv = σωR sin θ ˆ

φ

dla obracającej się sfery,

patrz wcześniejszy przykład

K = σv = σωR sin θ ˆ

φ

dla obracającej się sfery,

patrz wcześniejszy przykład

Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole

obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu

σRω → M

.

K = σv = σωR sin θ ˆ

φ

dla obracającej się sfery,

patrz wcześniejszy przykład

Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole

obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu

σRω → M

.

B =

2

3

µ

0

M

wewnątrz sfery,

pole jednorodne

K = σv = σωR sin θ ˆ

φ

dla obracającej się sfery,

patrz wcześniejszy przykład

Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole

obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu

σRω → M

.

B =

2

3

µ

0

M

wewnątrz sfery,

pole jednorodne

m =

4

3

πR

3

M

na zewnątrz sfery,

pole dipola

m

K = σv = σωR sin θ ˆ

φ

dla obracającej się sfery,

patrz wcześniejszy przykład

Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole

obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu

σRω → M

.

B =

2

3

µ

0

M

wewnątrz sfery,

pole jednorodne

m =

4

3

πR

3

M

na zewnątrz sfery,

pole dipola

m

Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu

mamy

2
3

zamiast

−

1
3

.

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

I

I

I

M

t

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

I

I

I

M

t

I

I

M

ˆn

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

I

I

I

M

t

I

I

M

ˆn

I

a

M

t

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

I

I

I

M

t

I

I

M

ˆn

I

a

M

t

m = M at = Ia

⇒

I = M t

⇒

K

zw

= I/t = M

6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych

I

I

I

M

t

I

I

M

ˆn

I

a

M

t

m = M at = Ia

⇒

I = M t

⇒

K

zw

= I/t = M

K

zw

= M × ˆ

n

z

y

x

I

dy

M

z

(y)

M

z

(y + dy)

dz

magnetyzacja niejednorodna

z

y

x

I

dy

M

z

(y)

M

z

(y + dy)

dz

z

y

x

dz

M

y

(z)

M

y

(z + dz)

dy

magnetyzacja niejednorodna

I

x

= [M

z

(y + dy) − M

z

(y)] dz =

∂M

z

∂y

dy dz

z

y

x

I

dy

M

z

(y)

M

z

(y + dy)

dz

z

y

x

dz

M

y

(z)

M

y

(z + dz)

dy

magnetyzacja niejednorodna

I

x

= [M

z

(y + dy) − M

z

(y)] dz =

∂M

z

∂y

dy dz

(J

zw

)

x

=

∂M

z

∂y

podobnie

(J

zw

)

x

= −

∂M

y

∂z

(J

zw

)

x

=

∂M

z

∂y

−

∂M

y

∂z

(J

zw

)

x

=

∂M

z

∂y

−

∂M

y

∂z

J

zw

= ∇ × M

ogólnie

(J

zw

)

x

=

∂M

z

∂y

−

∂M

y

∂z

J

zw

= ∇ × M

ogólnie

∇ · J

zw

= ∇ · (∇ × M ) = 0

równanie ciągłości

(J

zw

)

x

=

∂M

z

∂y

−

∂M

y

∂z

J

zw

= ∇ × M

ogólnie

∇ · J

zw

= ∇ · (∇ × M ) = 0

równanie ciągłości

6.2.3 Pole magnetyczne w materii

Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli

pole

makroskopowe

(uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by

zawierał bardzo wiele atomów)

6.3 Natężenie pola magnetycznego H

6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych

J = J

zw

+ J

sw

6.3 Natężenie pola magnetycznego H

6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych

J = J

zw

+ J

sw

1

µ

0

(∇ × B = J = J

sw

+ J

zw

= J

sw

+ (∇ × M )

6.3 Natężenie pola magnetycznego H

6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych

J = J

zw

+ J

sw

1

µ

0

(∇ × B = J = J

sw

+ J

zw

= J

sw

+ (∇ × M )

∇ ×

1

µ

0

B − M

!

= J

sw

6.3 Natężenie pola magnetycznego H

6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych

J = J

zw

+ J

sw

1

µ

0

(∇ × B = J = J

sw

+ J

zw

= J

sw

+ (∇ × M )

∇ ×

1

µ

0

B − M

!

= J

sw

H ≡

1

µ

0

B − M

6.3 Natężenie pola magnetycznego H

6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych

J = J

zw

+ J

sw

1

µ

0

(∇ × B = J = J

sw

+ J

zw

= J

sw

+ (∇ × M )

∇ ×

1

µ

0

B − M

!

= J

sw

H ≡

1

µ

0

B − M

∇ × H = J

sw

prawo Ampère’a

I

H · dl = I

swc

prawo Ampère’a w postaci całkowej

I

H · dl = I

swc

prawo Ampère’a w postaci całkowej

I

swc

— całkowite natężenie prądu

swobodnego

płynącego przez

kontur Ampère’a

6.3.2 Myląca analogia

∇ × H = J

sw

6.3.2 Myląca analogia

∇ × H = J

sw

∇ · H = −∇ · M 6= 0

dywergencja różna od zera

6.3.2 Myląca analogia

∇ × H = J

sw

∇ · H = −∇ · M 6= 0

dywergencja różna od zera

Natężenie pola

H

nie musi być zerem, kiedy

J

sw

= 0

6.3.3 Warunki brzegowe

W języku natężenia pola magnetycznego

H

i gęstości prądów

swobodnych:

H

⊥

nad

− H

⊥

pod

= −(M

⊥

nad

− M

⊥

pod

)

6.3.3 Warunki brzegowe

W języku natężenia pola magnetycznego

H

i gęstości prądów

swobodnych:

H

⊥

nad

− H

⊥

pod

= −(M

⊥

nad

− M

⊥

pod

)

H

k

nad

− H

k

pod

= K

sw

× ˆ

n

6.3.3 Warunki brzegowe

W języku natężenia pola magnetycznego

H

i gęstości prądów

swobodnych:

H

⊥

nad

− H

⊥

pod

= −(M

⊥

nad

− M

⊥

pod

)

H

k

nad

− H

k

pod

= K

sw

× ˆ

n

B

⊥

nad

− B

⊥

pod

= 0

6.3.3 Warunki brzegowe

W języku natężenia pola magnetycznego

H

i gęstości prądów

swobodnych:

H

⊥

nad

− H

⊥

pod

= −(M

⊥

nad

− M

⊥

pod

)

H

k

nad

− H

k

pod

= K

sw

× ˆ

n

B

⊥

nad

− B

⊥

pod

= 0

B

k

nad

− B

k

pod

= µ

0

(K × ˆ

n)

6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe

6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna

M =

1

µ

0

χ

m

B

(niepoprawnie!)

6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe

6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna

M =

1

µ

0

χ

m

B

(niepoprawnie!)

M = χ

m

H

ośrodki liniowe

6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe

6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna

M =

1

µ

0

χ

m

B

(niepoprawnie!)

M = χ

m

H

ośrodki liniowe

χ

m

—

podatność magnetyczna

, dodatnia dla paramagnetyków,

ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu

10

−5

6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe

6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna

M =

1

µ

0

χ

m

B

(niepoprawnie!)

M = χ

m

H

ośrodki liniowe

χ

m

—

podatność magnetyczna

, dodatnia dla paramagnetyków,

ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu

10

−5

B = µ

0

(H + M ) = µ

0

(1 + χ

m

)H

6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe

6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna

M =

1

µ

0

χ

m

B

(niepoprawnie!)

M = χ

m

H

ośrodki liniowe

χ

m

—

podatność magnetyczna

, dodatnia dla paramagnetyków,

ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu

10

−5

B = µ

0

(H + M ) = µ

0

(1 + χ

m

)H

B = µH,

µ ≡ µ

0

(1 + χ

m

)

przenikalność magnetyczna

Przykład:

Nieskończenie długi solenoid (o

n

zwojach na jednostkę długości, przez

który płynie prąd o natężeniu

I

) wypełniony jest substancją liniową o

podatności

χ

m

. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.

Przykład:

Nieskończenie długi solenoid (o

n

zwojach na jednostkę długości, przez

który płynie prąd o natężeniu

I

) wypełniony jest substancją liniową o

podatności

χ

m

. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.

ˆz

φ

Przykład:

Nieskończenie długi solenoid (o

n

zwojach na jednostkę długości, przez

który płynie prąd o natężeniu

I

) wypełniony jest substancją liniową o

podatności

χ

m

. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.

ˆz

φ

Nie możemy wprost obliczyć

B

, bo nie znamy prądów

związanych, ale ze względu na symetrię możemy

obliczyć

H

ze znajomości prądów swobodnych

H = nI ˆ

z

B = µ

0

(1 + χ

m

)nI ˆ

z

K

zw

= M × ˆ

n = χ

m

(H × ˆ

n) = χ

m

nI ˆ

φ

M

M = 0

próżnia

paramagnetyk

powierzchnia Gaussa

I

M · da 6= 0

dla powierzchni Gaussa

M

M = 0

próżnia

paramagnetyk

powierzchnia Gaussa

I

M · da 6= 0

dla powierzchni Gaussa

∇ · M

nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa

M

M = 0

próżnia

paramagnetyk

powierzchnia Gaussa

I

M · da 6= 0

dla powierzchni Gaussa

∇ · M

nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa

J

zw

= ∇ × M = ∇ × (χ

m

H) = χ

m

J

sw

Jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany

płynie jedynie na powierzchni.

6.4.2 Ferromagnetyzm

M

I

a

b

c

d

e

f

g

(trwały magnes)

(nasycenie)

(trwały magnes)

(nasycenie)

Pętla histerezy