Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1.

Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.

2.

W zadaniach od 1. do 20. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.

3.

Rozwiàzania zadaƒ od 21. do 29. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4.

Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.

5.

Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.

6.

Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.

7.

Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.

8.

Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

ARKUSZ 21

MATURA 2010

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà

ZADANIA ZAMKNI¢TE

W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.

Zadanie 1. (1 pkt)

Wielomiany

( )

(

)(

)(

)

W x

x

x

x

x

2

1

2

=

-

+

+

+

i

( )

(

)

(

)

P x

a

b x

x

a

b x

4

3

2

=

+

+

+

-

-

sà równe. Z tego

wynika, ˝e:
A.

,

a

b

1

2

=

=

B

,

a

b

1

2

= -

= -

C.

,

a

b

1

2

= -

=

D.

,

a

b

2

1

=

= -

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczby

,

,

sin

cos

60

60

2

1

tg

c

c

a w podanej kolejnoÊci sà trzema kolejnymi wyrazami ciàgu

geometrycznego. Kàt

a jest kàtem ostrym. Zatem jego miara jest równa:

A. 30c

B. 60c

C. 45c

D. 15c

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba niewymiernych pierwiastków równania

log

x

x

9

0

3

3

-

=

jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Zadanie 4. (1 pkt)

Uk∏ad równaƒ

x

y

x

y

p

4

5

2

8

10

+

=

+

=

(

dla p

3

=

:

A. ma jedno rozwiàzanie

B. ma dwa rozwiàzania

C. nie ma rozwiàzania

D. ma nieskoƒczenie rozwiàzaƒ

Zadanie 5. (1 pkt)

W turnieju zapaÊniczym rozegrano 36 walk. Ka˝dy walczy∏ z ka˝dym dok∏adnie raz. Liczba
zawodników bioràcych udzia∏ w turnieju to:
A. 9

B. 18

C. 8

D. 12

Zadanie 6. (1 pkt)

Liczb pi´ciocyfrowych, które mo˝na zapisaç tylko za pomocà cyfr 0 i 5, jest:
A. 5

B. 10

C. 16

D. 32

Zadanie 7. (1 pkt)

Liczby

6

7

1

-

i 7

1

+

to liczby:

A. przeciwne

B. równe

C. wymierne

D. b´dàce swoimi odwrotnoÊciami

Zadanie 8. (1 pkt)

Liczba n jest liczbà naturalnà wi´kszà od 1 i

n

n

1

1

-

+

jest liczbà naturalnà. Z tego wynika, ˝e liczbà

naturalnà jest równie˝ liczba:

A.

n

2

3

+

B. n

6

C.

n

n

3

+

D.

n

1

1
+

Matematyka. Poziom podstawowy

3

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 9. (1 pkt)

Suma pierwiastków wielomianu ( )

(

)(

) ... (

)(

)

W x

x

x

x

x

1

2

99

100

$ $

=

-

-

-

-

jest równa:

A. 100

B. 10000

C. 10100

D. 5050

Zadanie 10. (1 pkt)

Punkty

( , )

A

0 4

=

i

( , )

B

6 0

=

sà koƒcami odcinka AB. Prosta y

x

=

przecina odcinek AB w punkcie C.

Wówczas liczba

CB

AC

jest równa:

A.

2

1

B.

2

3

C.

3

2

D.

10

52

Zadanie 11. (1 pkt)

Przedzia∏ przedstawiony na rysunku:

jest zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci:
A.

<

x

1

3

-

B.

<

x

1

3

+

C.

>

x

1

3

-

D.

>

x

1

3

+

Zadanie 12. (1 pkt)

Piàty wyraz ciàgu a

n

_ i

okreÊlonego wzorem a

n

n

2

4

3

1

n

=

+

-

jest równy:

A. 1

B. 5

C. 10

D. ,

0 5

Zadanie 13. (1 pkt)

W puszce w kszta∏cie walca o Êrednicy 10 cm mieÊci si´ 785 cm

3

soku. Przyjmij, ˝e

,

3 14

.

r

. Wtedy

wysokoÊç puszki jest równa oko∏o:
A. ,

2 5

cm

B. 50 cm

C. 25 cm

D. 10 cm

Zadanie 14. (1 pkt)

W trapezie prostokàtnym kàt ostry ma miar´ 60c, a podstawy majà d∏ugoÊci 6 i 9. WysokoÊç tego
trapezu jest równa:

A. 3 3

B. 2 3

C. 6

D.

2

3 3

Zadanie 15. (1 pkt)

Przez kilka dni o godz. 12.00 mierzono temperatur´ powietrza w miejscowoÊci Tkaczewska Góra.
Wyniki pomiarów zapisano w tabelce.

Temperatura w C

c

1

-

2

3

Liczba wskazaƒ

5

m

2

Obliczono, ˝e Êrednia temperatur wynosi ,

0 7

C

c

.

Zatem liczba m jest równa:
A. 13

B. 4

C. 10

D. 3

Zadanie 16. (1 pkt)

Liczba dodatnich wyrazów ciàgu a

n

_ i

okreÊlonego wzorem a

n

2

4

1

n

=

-

jest równa:

A. 8

B. 7

C. 4

D. 16

4

–4

2

0

Zadanie 17. (1 pkt)

Prosta y

ax

b

=

+

przecina oÊ OX pod kàtem 60c, a oÊ OY w punkcie ( ,

).

0 2 3

Wska˝ punkt, który le˝y

na tej prostej.
A.

( ,

)

P

1

3

=

B.

(

, )

P

3 3 1

=

C.

(

,

)

P

1

3

= -

D.

(

,

)

P

3

1

= -

-

Zadanie 18. (1 pkt)

Liczba

3

3

64

3

` j

jest liczbà:

A. naturalnà mniejszà od 81

B. niewymiernà mniejszà od 81

C. ca∏kowità wi´kszà od 81

D. niewymiernà wi´kszà do 81

Zadanie 19. (1 pkt)

Kod, który zapisany jest na karcie do bankomatu, sk∏ada si´ z czterech cyfr. Chcemy, aby
prawdopodobieƒstwo odkrycia tego kodu zmniejszy∏o si´ stukrotnie. Ile jeszcze cyfr nale˝y dopisaç
do kodu?
A. 1

B. 2

C. 100

D. 50

Zadanie 20. (1 pkt)

Cyfra jednoÊci liczby 2015

2015

jest taka sama jak cyfra jednoÊci liczby:

A. 5 10

2015

$

B.

5

10

2015

C. 10

5

2015

+

D. 10

10

2015

2015

+

ZADANIA OTWARTE

Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 21. do 29. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod

treÊcià zadania.

Zadanie 21. (2 pkt)

Wierzcho∏kami trójkàta ABC sà Êrodki okr´gów okreÊlonych równaniami: (

)

(

)

,

x

y

1

4

7

2

2

+

+

-

=

(

)

(

)

x

y

1

1

3

2

2

+

+

+

=

, (

)

(

)

x

y

2

1

9

2

2

-

+

+

=

. Oblicz pole tego trójkàta.

Matematyka. Poziom podstawowy

5

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 22. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e

997

999

997 998

2

1

2

$

+

+

=

.

Zadanie 23. (2 pkt)

Powierzchnia boczna sto˝ka po rozwini´ciu na p∏aszczyzn´ jest pó∏kolem. Oblicz miar´ kàta
rozwarcia sto˝ka.

6

Zadanie 24. (2 pkt)

Pani Ela zamierza za∏o˝yç lokat´, wp∏acajàc do banku 10000 z∏ na okres jednego roku. Bank
proponuje oprocentowanie kapita∏u %

8

w stosunku rocznym, z kapitalizacjà odsetek co kwarta∏.

Oblicz, jakà kwot´ (nie uwzgl´dniajàc podatku) b´dzie mog∏a wyp∏aciç pani Ela po roku.

Zadanie 25. (2 pkt)

January kopnà∏ pi∏k´, która zakreÊli∏a w powietrzu fragment toru opisanego równaniem

( )

p x

x

x

12

5

2

2

=

-

. Oblicz, na jakà najwi´kszà wysokoÊç wznios∏a si´ pi∏ka.

Matematyka. Poziom podstawowy

7

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 26. (4 pkt)

Wyka˝, ˝e

(

)

>

x

y

z

x

y

z

2

3

2

2

2

+ +

+

+

, gdy , ,

x y z

sà d∏ugoÊciami boków dowolnego trójkàta.

8

Zadanie 27. (6 pkt)

Liczby ,

x y

sà liczbami naturalnymi, wi´kszymi od zera. OkreÊl liczb´ rozwiàzaƒ równania

(

) x

y

1

3

2

3

3

-

+

+

=

`

j

.

Matematyka. Poziom podstawowy

9

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 28. (4 pkt)

Kraw´dê boczna ostros∏upa prawid∏owego trójkàtnego jest dwa razy d∏u˝sza od kraw´dzi podstawy.
Kraw´dê podstawy jest równa a. Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus po∏owy kàta mi´dzy Êcia-
nami bocznymi ostros∏upa.

10

Zadanie 29. (6 pkt)

Pos∏aniec codziennie przebywa tras´ w kszta∏cie trójkàta równobocznego, którego wierzcho∏ki sta-
nowià miejscowoÊci , ,

A B C

. Z miejscowoÊci A do miejscowoÊci B pos∏aniec jedzie z pr´dkoÊcià

40

km/h. Z miejscowoÊci B do miejscowoÊci C jedzie z pr´dkoÊcià dwukrotnie wi´kszà. Ârednia pr´d-

koÊç na ca∏ej trasie jest równa 55

13

5 km/h. Oblicz, z jakà pr´dkoÊcià jedzie pos∏aniec z miejscowoÊci

C

do miejscowoÊci A.

Matematyka. Poziom podstawowy

11