Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
2.
W zadaniach od 1. do 20. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
3.
Rozwiàzania zadaƒ od 21. do 29. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
6.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
8.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
ARKUSZ 21
MATURA 2010
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
Wielomiany
( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
x
2
1
2
=
-
+
+
+
i
( )
(
)
(
)
P x
a
b x
x
a
b x
4
3
2
=
+
+
+
-
-
sà równe. Z tego
wynika, ˝e:
A.
,
a
b
1
2
=
=
B
,
a
b
1
2
= -
= -
C.
,
a
b
1
2
= -
=
D.
,
a
b
2
1
=
= -
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczby
,
,
sin
cos
60
60
2
1
tg
c
c
a w podanej kolejnoÊci sà trzema kolejnymi wyrazami ciàgu
geometrycznego. Kàt
a jest kàtem ostrym. Zatem jego miara jest równa:
A. 30c
B. 60c
C. 45c
D. 15c
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba niewymiernych pierwiastków równania
log
x
x
9
0
3
3
-
=
jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 4. (1 pkt)
Uk∏ad równaƒ
x
y
x
y
p
4
5
2
8
10
+
=
+
=
(
dla p
3
=
:
A. ma jedno rozwiàzanie
B. ma dwa rozwiàzania
C. nie ma rozwiàzania
D. ma nieskoƒczenie rozwiàzaƒ
Zadanie 5. (1 pkt)
W turnieju zapaÊniczym rozegrano 36 walk. Ka˝dy walczy∏ z ka˝dym dok∏adnie raz. Liczba
zawodników bioràcych udzia∏ w turnieju to:
A. 9
B. 18
C. 8
D. 12
Zadanie 6. (1 pkt)
Liczb pi´ciocyfrowych, które mo˝na zapisaç tylko za pomocà cyfr 0 i 5, jest:
A. 5
B. 10
C. 16
D. 32
Zadanie 7. (1 pkt)
Liczby
6
7
1
-
i 7
1
+
to liczby:
A. przeciwne
B. równe
C. wymierne
D. b´dàce swoimi odwrotnoÊciami
Zadanie 8. (1 pkt)
Liczba n jest liczbà naturalnà wi´kszà od 1 i
n
n
1
1
-
+
jest liczbà naturalnà. Z tego wynika, ˝e liczbà
naturalnà jest równie˝ liczba:
A.
n
2
3
+
B. n
6
C.
n
n
3
+
D.
n
1
1
+
Matematyka. Poziom podstawowy
3
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 9. (1 pkt)
Suma pierwiastków wielomianu ( )
(
)(
) ... (
)(
)
W x
x
x
x
x
1
2
99
100
$ $
=
-
-
-
-
jest równa:
A. 100
B. 10000
C. 10100
D. 5050
Zadanie 10. (1 pkt)
Punkty
( , )
A
0 4
=
i
( , )
B
6 0
=
sà koƒcami odcinka AB. Prosta y
x
=
przecina odcinek AB w punkcie C.
Wówczas liczba
CB
AC
jest równa:
A.
2
1
B.
2
3
C.
3
2
D.
10
52
Zadanie 11. (1 pkt)
Przedzia∏ przedstawiony na rysunku:
jest zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci:
A.
<
x
1
3
-
B.
<
x
1
3
+
C.
>
x
1
3
-
D.
>
x
1
3
+
Zadanie 12. (1 pkt)
Piàty wyraz ciàgu a
n
_ i
okreÊlonego wzorem a
n
n
2
4
3
1
n
=
+
-
jest równy:
A. 1
B. 5
C. 10
D. ,
0 5
Zadanie 13. (1 pkt)
W puszce w kszta∏cie walca o Êrednicy 10 cm mieÊci si´ 785 cm
3
soku. Przyjmij, ˝e
,
3 14
.
r
. Wtedy
wysokoÊç puszki jest równa oko∏o:
A. ,
2 5
cm
B. 50 cm
C. 25 cm
D. 10 cm
Zadanie 14. (1 pkt)
W trapezie prostokàtnym kàt ostry ma miar´ 60c, a podstawy majà d∏ugoÊci 6 i 9. WysokoÊç tego
trapezu jest równa:
A. 3 3
B. 2 3
C. 6
D.
2
3 3
Zadanie 15. (1 pkt)
Przez kilka dni o godz. 12.00 mierzono temperatur´ powietrza w miejscowoÊci Tkaczewska Góra.
Wyniki pomiarów zapisano w tabelce.
Temperatura w C
c
1
-
2
3
Liczba wskazaƒ
5
m
2
Obliczono, ˝e Êrednia temperatur wynosi ,
0 7
C
c
.
Zatem liczba m jest równa:
A. 13
B. 4
C. 10
D. 3
Zadanie 16. (1 pkt)
Liczba dodatnich wyrazów ciàgu a
n
_ i
okreÊlonego wzorem a
n
2
4
1
n
=
-
jest równa:
A. 8
B. 7
C. 4
D. 16
4
–4
2
0
Zadanie 17. (1 pkt)
Prosta y
ax
b
=
+
przecina oÊ OX pod kàtem 60c, a oÊ OY w punkcie ( ,
).
0 2 3
Wska˝ punkt, który le˝y
na tej prostej.
A.
( ,
)
P
1
3
=
B.
(
, )
P
3 3 1
=
C.
(
,
)
P
1
3
= -
D.
(
,
)
P
3
1
= -
-
Zadanie 18. (1 pkt)
Liczba
3
3
64
3
` j
jest liczbà:
A. naturalnà mniejszà od 81
B. niewymiernà mniejszà od 81
C. ca∏kowità wi´kszà od 81
D. niewymiernà wi´kszà do 81
Zadanie 19. (1 pkt)
Kod, który zapisany jest na karcie do bankomatu, sk∏ada si´ z czterech cyfr. Chcemy, aby
prawdopodobieƒstwo odkrycia tego kodu zmniejszy∏o si´ stukrotnie. Ile jeszcze cyfr nale˝y dopisaç
do kodu?
A. 1
B. 2
C. 100
D. 50
Zadanie 20. (1 pkt)
Cyfra jednoÊci liczby 2015
2015
jest taka sama jak cyfra jednoÊci liczby:
A. 5 10
2015
$
B.
5
10
2015
C. 10
5
2015
+
D. 10
10
2015
2015
+
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 21. do 29. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 21. (2 pkt)
Wierzcho∏kami trójkàta ABC sà Êrodki okr´gów okreÊlonych równaniami: (
)
(
)
,
x
y
1
4
7
2
2
+
+
-
=
(
)
(
)
x
y
1
1
3
2
2
+
+
+
=
, (
)
(
)
x
y
2
1
9
2
2
-
+
+
=
. Oblicz pole tego trójkàta.
Matematyka. Poziom podstawowy
5
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 22. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e
997
999
997 998
2
1
2
$
+
+
=
.
Zadanie 23. (2 pkt)
Powierzchnia boczna sto˝ka po rozwini´ciu na p∏aszczyzn´ jest pó∏kolem. Oblicz miar´ kàta
rozwarcia sto˝ka.
6
Zadanie 24. (2 pkt)
Pani Ela zamierza za∏o˝yç lokat´, wp∏acajàc do banku 10000 z∏ na okres jednego roku. Bank
proponuje oprocentowanie kapita∏u %
8
w stosunku rocznym, z kapitalizacjà odsetek co kwarta∏.
Oblicz, jakà kwot´ (nie uwzgl´dniajàc podatku) b´dzie mog∏a wyp∏aciç pani Ela po roku.
Zadanie 25. (2 pkt)
January kopnà∏ pi∏k´, która zakreÊli∏a w powietrzu fragment toru opisanego równaniem
( )
p x
x
x
12
5
2
2
=
-
. Oblicz, na jakà najwi´kszà wysokoÊç wznios∏a si´ pi∏ka.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 26. (4 pkt)
Wyka˝, ˝e
(
)
>
x
y
z
x
y
z
2
3
2
2
2
+ +
+
+
, gdy , ,
x y z
sà d∏ugoÊciami boków dowolnego trójkàta.
8
Zadanie 27. (6 pkt)
Liczby ,
x y
sà liczbami naturalnymi, wi´kszymi od zera. OkreÊl liczb´ rozwiàzaƒ równania
(
) x
y
1
3
2
3
3
-
+
+
=
`
j
.
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 28. (4 pkt)
Kraw´dê boczna ostros∏upa prawid∏owego trójkàtnego jest dwa razy d∏u˝sza od kraw´dzi podstawy.
Kraw´dê podstawy jest równa a. Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus po∏owy kàta mi´dzy Êcia-
nami bocznymi ostros∏upa.
10
Zadanie 29. (6 pkt)
Pos∏aniec codziennie przebywa tras´ w kszta∏cie trójkàta równobocznego, którego wierzcho∏ki sta-
nowià miejscowoÊci , ,
A B C
. Z miejscowoÊci A do miejscowoÊci B pos∏aniec jedzie z pr´dkoÊcià
40
km/h. Z miejscowoÊci B do miejscowoÊci C jedzie z pr´dkoÊcià dwukrotnie wi´kszà. Ârednia pr´d-
koÊç na ca∏ej trasie jest równa 55
13
5 km/h. Oblicz, z jakà pr´dkoÊcià jedzie pos∏aniec z miejscowoÊci
C
do miejscowoÊci A.
Matematyka. Poziom podstawowy
11