1.

Usuni´cie niewymiernoÊci z mianowników u∏amków liczby

a

: 1

a

2

5 11 15

4

10 11

=

-

-

.

Przekszta∏cenie liczby

a

do postaci:

a

2

15

=-

.

1

Zapisanie liczby

b

w postaci odpowiedniej pot´gi:

b

7

=-

.

1

Obliczenie wartoÊci bezwzgl´dnej liczby

x

:

x

2

1

=

-

r

.

1

2.

Zapisanie uk∏adu warunków:

x

x

x

2

5

0

12

0

2

!

H

+

-

+ +

(

.

1

Rozwiàzanie pierwszego warunku:

x

2

5

!-

.

1

Rozwiàzanie drugiego warunku:

,

x

3 4

! -

.

2

(1 pkt za

metod´

i 1 pkt za

obliczenia)

Wyznaczenie dziedziny funkcji:

,

D

3 4

2

5

= -

-

&

0

.

1

3.

Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej:

y a x

x

3

1

=

-

+

^

^

h

h

.

1

U∏o˝enie równania z niewiadomà

a

:

a

5

2

3 2

1

=

-

+

^

^

h

h

.

1

Obliczenie wspó∏czynnika

a

:

a

3

5

=-

i zapisanie funkcji w postaci iloczynowej:

1

y

x

x

3

5

3

1

=-

-

+

^

^

h

h

.

Obliczenie wartoÊci wspó∏czynników

,

b c

:

1

,

b

c

3

10

5

=

=

.

Wyznaczenie wspó∏rz´dnych wierzcho∏ka paraboli dla danych parametrów:

,

W

1

4

=

-

^

h

.

1

Narysowanie wykresu funkcji dla podanych wspó∏czynników.

1

Wyznaczenie zbioru wartoÊci funkcji dla danych parametrów:

,

D

4 5

1

= -

-

h

.

1

1

w w w. o p e r o n . p l

Modele odpowiedzi

Matematyka

Poziom podstawowy

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

4.

Obliczenie liczby

x

:

x 15

=

.

1

Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej obliczyç

y

:

y

x 4

15

2

$

=

.

1

Rozwiàzanie równania

y

x 4

15

2

$

=

:

y

y

2

15

2

15

0

=

=-

i podanie odpowiedzi:

y

2

15

=

.

1

5.

U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:

1

n

n

48

8 0

14 1

14 2

8 3

4 4

9

2

$

$

$

$

$

+

+

+

+

+

+

=

.

Rozwiàzanie równania i wyznaczenie liczby osób, które by∏y w teatrze

9

razy:

n 2

=

.

1

Wyznaczenie mediany pobytów w teatrze:

2

.

1

6.

Analiza zadania i wprowadzenie oznaczeƒ:

x

to waga roztworu o st´˝eniu

%

6

,

1

y

to waga roztworu o st´˝eniu

%

18

,

x

y

+

to waga roztworu o st´˝eniu

%

15

.

U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:

,

,

,

(

)

x

y

x

y

0 06

0 18

0 15

+

=

+

.

1

Obliczenie stosunku wagowego:

y

x

3

1

=

.

1

7.

Wykorzystanie wzorów skróconego mno˝enia i „jedynki trygonometrycznej”

2

do zapisania:

sin cos

W 4

=

a

a

.

(1 pkt za

wzory i 1 pkt

za redukcj´)

Obliczenie cosinusa kàta:

cos

13

12

=

a

.

1

Obliczenie wartoÊci wyra˝enia:

W

169

240

=

.

1

8.

Podanie pierwiastków wielomianu:

,

,

x

x

m x

13

5

1

2

3

=-

=

=

.

1

U∏o˝enie nierównoÊci wynikajàcej z treÊci zadania:

<

m

13

5 0

-

+

+

.

1

Rozwiàzanie nierównoÊci:

,

m

8 8

! -

^

h

.

1

Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej wyznaczyç liczb´

m

, aby do wykresu

1

wielomianu nale˝a∏ punkt

:

( )

A W 2

45

=

.

Wyznaczenie liczby

m

:

m

m

3

3

0

=

=-

.

1

9.

Obliczenie d∏ugoÊci odcinka:

AB

10

=

.

1

Wyznaczenie wspó∏rz´dnych Êrodka odcinka:

,

S

2 1

AB

= ^

h

.

1

Wyznaczenie równania prostej

AB

:

y

x

4

3

2

5

=-

+

.

2

(1 pkt za

u∏o˝enie

uk∏adu

równaƒ

i 1 pkt za

rozwiàzanie)

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom podstawowy

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

Wyznaczenie równania prostej równoleg∏ej:

y

x

4

3

3

=-

+

.

1

10.

Analiza zadania – wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie

1

dok∏adnie opisanych oznaczeƒ, np:

ABCD

– trapez o d∏u˝szej podstawie

AB

i krótszej

CD

,

,

AB

a CD

b

=

=

,

KL

– odcinek dorysowanej prostej,

KL

x

=

DE

– wysokoÊç trapezu,

DE

h

=

,

M

– punkt przeci´cia si´ wysokoÊci

DE

i odcinka

KL

.

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

AE

:

AE

a

b

2

=

-

.

1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KM

:

KM

a

b

3

=

-

.

2

(1 pkt za

u∏o˝enie

proporcji

i 1 pkt za

wyznaczenie

d∏ugoÊci
odcinka)

Obliczenie d∏ugoÊci szukanego odcinka

:

KL KL

b

a

3

2

=

+

.

1

11.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych

1

oznaczeƒ:

b

– kraw´dê podstawy,

,

H h

– odpowiednio wysokoÊç ostros∏upa i wysokoÊç Êciany bocznej,

a

– kàt nachylenia Êciany bocznej do p∏aszczyzny podstawy.

Obliczenie d∏ugoÊci wysokoÊci ostros∏upa:

H

a

2

3

=

.

1

Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi podstawy:

b

a

2

2

=

.

1

Obliczenie wysokoÊci Êciany bocznej ostros∏upa:

h

a

4

14

=

.

2

(1 pkt za

metod´

i 1 pkt za

obliczenia)

Obliczenie sinusa kàta

a

:

sin

7

42

=

a

.

1

3

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom podstawowy

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów