A R K U S Z I I – M O D E L E O D P O W I E D Z I ■

Zakres rozszerzony

Arkusz II

Modele odpowiedzi i schemat punktowania

12.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Rozwa˝enie przypadku m = 0: dla m = 0 dane równanie ma rozwiàzanie.

1

Obliczenie wyró˝nika danego równania w przypadku, gdy m ! 0, i zapisanie nierównoÊci 1

2

wynikajàcej z warunku, ˝e równanie to ma nie mieç rozwiàzaƒ: m 5

- 1 m

8

+ 9 < 0 (I).

3

Rozwiàzanie nierównoÊci (I): m ! b ; 3l.

1

5

13.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

P^ A + B h

Zastosowanie definicji prawdopodobieƒstwa warunkowego: P^ A B h =

.

1

P^ B h

Zapisanie implikacji: A + B 1 A & P^ A + B h G P^ A h.

1

Zastosowanie w∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa zdarzeƒ przeciwnych: P^ A h = 1 - P^ '

A h. 1

1 - P^ '

A h

Wykazanie, ˝e P^ A B h G

.

1

P^ B h

14.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Zapisanie, ˝e 1

- G sin t G 1.

1

r r

Zauwa˝enie i zapisanie, ˝e - ;

1 1 1 b- ;

l.

1

2 2

r r

Zauwa˝enie i zapisanie, ˝e funkcja cosinus w przedziale b-

;

l przyjmuje wartoÊci

1

2 2

dodatnie.

w w w. o p e r o n . p l

■ MATEMATYKA – ZAKRES ROZSZERZONY

15.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Zapisanie, ˝e pierwszy wyraz ciàgu ^ a h jest mniejszy od 1.

1

n

Zapisanie za∏o˝enia indukcyjnego: dla pewnego, ustalonego k ! N / k H 1, a 1

k G

.

1

1 2

3

Wyznaczenie wyrazu a

: a

=

a +

.

1

k + 1

k + 1

4 k

4

Wykazanie, ˝e z warunku a G 1 & a

G 1.

1

k

k + 1

Powo∏anie sińa zasadíndukcji matematycznej i odpowiedê.

1

16.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Wyznaczenie h – d∏ugoÊci wysokoÊci walca, w zale˝noÊci od r – d∏ugoÊci promienia 1

250

podstawy tego walca: h =

i zapisanie pola powierzchni ca∏kowitej walca jako funkcji

2

r

2

500

+

d∏ugoÊci promienia podstawy: P r = 2 r

r

r

^ h

+

r

, r ! R .

500

Obliczenie pochodnej funkcji P: P' r = 4 r r

r

^ h

-

.

1

2

r

Obliczenie miejsc zerowych pochodnej P': r = 5.

1

Wykazanie, ˝e dla r = 5 cm pole powierzchni walca jest najmniejsze.

1

17.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

x

Naszkicowanie rysunku funkcji f ^ x h = 2 .

1

1

Naszkicowanie rysunku funkcji f .

1

x + 1

1

Przekszta∏cenie wyra˝enia

x

do postaci 1 + x.

1

1

Naszkicowanie wykresu funkcji g ^ x h = 1 +

.

1

1

x

Naszkicowanie rysunku funkcji g.

1

OkreÊlenie liczby rozwiàzaƒ równania f ^ x h = g^ x h: to równanie ma dwa rozwiàzania.

1

w w w. o p e r o n . p l

A R K U S Z I I – M O D E L E O D P O W I E D Z I ■

18.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

OkreÊlenie dziedziny danej nierównoÊci: n ! N / n H 3.

1

1

Przekszta∏cenie danej nierównoÊci do postaci:

n ^ n - 1 ^

h n - 2h G n (I).

1

6

Rozwiàzanie nierównoÊci (I): n ! ^- ;

3

1

-

, ;

0 4 .

1

Uwzgl´dnienie dziedziny nierównoÊci i podanie odpowiedzi: n = 4.

1

19.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Wyznaczenie a – pierwszego wyrazu i ilorazu q ciàgu geometrycznego ^ a h, którego 1

1

n

- x

suma jest lewà stronà nierównoÊci: a = q = 2

.

1

Wyznaczenie tych wartoÊci x, dla których istnieje skoƒczona suma ciàgu ^ a h: x > 0.

1

n

1

Wyznaczenie sumy ciàgu ^ a h: S =

.

1

n

x

2 - 1

Zamiana u∏amka okresowego ,

0 9 ^9h na zwyk∏y: ,

0 9 ^9h = 1.

1

1

x

Przekszta∏cenie danego równania do postaci x

= 2 - 1 (I).

1

2 - 1

Rozwiàzanie równania (I): 0 < x < 1.

2

20.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub przyjćie dok∏adnie opisanych oznaczeƒ, 1

np. a, a + r, a + r

2 – d∏ugoÊci boków trójkàta, r – d∏ugoÊç promienia wpisanego w trójkàt, R – d∏ugoÊç promienia opisanego na trójkàcie.

Zapisanie równania wynikajàcego z twierdzenia cosinusów dla trójkàta opisanego 1

2

2

2

w zadaniu: ^ a + r

2 h = a + ^ a + r h - a

2 ^ a + r h cos 120c (I).

2

2

Przekszta∏cenie równania (I) do postaci r

3

- a

2

+ ar = 0 (II).

1

Zapisanie równania wynikajàcego z warunku, ˝e obwód trójkàta opisanego w zadaniu 1

jest równy 30: a + r = 10 (III).

( )

II

Rozwiàzanie uk∏adu równaƒ '

: a = 6, r = 4.

2

▲ ▲

( )

III

w w w. o p e r o n . p l

■ MATEMATYKA – ZAKRES ROZSZERZONY

▲ ▲

14 3

Obliczenie R – d∏ugoÊci promienia opisanego na trójkàcie: R =

.

1

3

Obliczenie r – d∏ugoÊci promienia wpisanego w trójkàt: r =

3.

1

Obliczenie stosunku d∏ugoÊci promienia okr´gu opisanego na danym trójkàcie 1

14

do d∏ugoÊci promienia okr´gu wpisanego w ten trójkàt:

.

3

21.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Analiza zadania i przyjćie oznaczeƒ, np. B – zdarzenie polegajàce na wylosowaniu 1

za pierwszym razem kuli bia∏ej, C – zdarzenie polegajàce na wylosowaniu za pierwszym razem kuli czarnej, A | B – zdarzenie polegajàce na wylosowaniu za drugim razem dwóch kul bia∏ych, je˝eli za pierwszym razem wylosowano kul´ bia∏à, A | C – zdarzenie polegajàce na wylosowaniu za drugim razem dwóch kul bia∏ych, je˝eli za pierwszym razem wylosowano kulćzarnà.

2

3

Obliczenie prawdopodobieƒstw zdarzeƒ B i C: P^ B h =

, P^ C h =

.

1

5

5

2

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zdarzenia A | B: P^ A | B h =

.

1

15

1

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zdarzenia A | C: P^ A | C h =

.

1

6

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zdarzenia A, ˝e obie wylosowane za drugim razem 1

23

kule sà bia∏e: P^ A h =

.

150

w w w. o p e r o n . p l