A R K U S Z I – M O D E L E O D P O W I E D Z I ■

Zakres podstawowy

Arkusz I

Modele odpowiedzi i schemat punktowania

1.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

6

Obliczenie miejsca zerowego funkcji g: x =

.

1

6

6

1

6

1

Porównanie liczb

i

oraz udzielenie odpowiedzi:

< .

1

6

2

6

2

3

Podanie równania rodziny prostych prostopad∏ych do wykresu funkcji g: y = -

x + b.

1

6

3 - 12

Wyznaczenie wspó∏czynnika przesunićia i podanie wzoru funkcji f : b =

, 1

6

3

3 - 12

y = -

x +

.

6

6

2.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Z c = 1

]

]

Zapisanie uk∏adu warunków pozwalajàcych wyznaczyç wzór funkcji g: [ a - b + c = -4 (I).

1

]

] a + b + c = 2

\

Z a =-2

]

]

Rozwiàzanie uk∏adu równaƒ (I): [ b = 3 .

2

]

] c = 1

\

(W przypadku b∏´du rachunkowego nale˝y przyznaç jeden punkt za to kryterium.) Uzupe∏nienie pierwszej kolumny tabeli: g^-2h = 1

- 3.

1

Uzupe∏nienie ostatniej kolumny tabeli: x = 2 (Uwaga! Argumenty mia∏y byç podane 1

w kolejnoÊci rosnàcej.).

Przekszta∏cenie nierównoÊci do postaci x ^- x 2 + 3h G 0 (II).

1

3

Rozwiàzanie nierównoÊci (II): x ! b- ; 3 0 ,

; +3l.

1

2

w w w. o p e r o n . p l

■ MATEMATYKA – ZAKRES PODSTAWOWY

3.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Obliczenie liczby wszystkich wyników doÊwiadczenia polegajàcego na wylosowaniu 1

30

czterech uczniów z klasy: X = d

n.

4

Obliczenie liczby uczniów, którzy nie çwiczà w klubach: 21.

1

Obliczenie liczby wyników, które sprzyjajà zdarzeniu A, polegajàcemu na wylosowaniu 1

21

ucznia nieçwiczàcego w klubie: A = e o.

4

19

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zdarzenia A: P^ A h =

.

1

87

4.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

1

Wyznaczenie równania prostej l – symetralnej odcinka AC: y = -

x + 3.

1

2

Wyznaczenie równania prostej m – symetralnej odcinka AB: y = - x 3 + 8.

1

Wyznaczenie wspó∏rz´dnych punktu O – Êrodka okr´gu, do którego nale˝à dane 1

punkty: O = ^ ;

2 2h.

Obliczenie d∏ugoÊci r – promienia okr´gu: r =

5.

1

Obliczenie d∏ugoÊci a – boku trójkàta równobocznego opisanego na okr´gu: a = 2 15.

1

Obliczenie pola trójkàta równobocznego o boku d∏ugoÊci równej a: P = 15 3.

1

5.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Zauwa˝enie, ˝e liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach to wyrazy ciàgu 1

arytmetycznego, i przyjćie oznaczeƒ, np. – a liczba stron przeczytanych w pierwszym 1

dniu, r – ró˝nica liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach.

a + r

2 = 28

1

U∏o˝enie uk∏adu równaƒ pozwalajàcego wyznaczyç a i r: *

(I).

1

1

a +

r

12 = 68

1

a = 20

Rozwiàzanie uk∏adu równaƒ (I):

1

)

.

1

r = 4

Obliczenie liczby stron ksià˝ki: 572.

1

w w w. o p e r o n . p l

A R K U S Z I – M O D E L E O D P O W I E D Z I ■

6.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Przedstawienie wielomianu W ^ x h w postaci iloczynowej: W ^ x h = a ^ x + 2 ^

h x - 1 ^

h x - 2h.

1

U∏o˝enie równania wynikajàcego z warunku W ^ 1

- h = 3: 3 = a _ 1

- + 2i_ 1

- - 1i_ 1

- - 2i (I).

1

1

Rozwiàzanie równania (I): a =

.

1

2

7.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Obliczenie liczby kilogramów ca∏kowicie suchego siana (z zerowà zawartoÊcià wody), 1

które mo˝na otrzymaç z 2 ton Êwie˝o skoszonej trawy: 800 kg.

Zapisanie równania pozwalajàcego wyznaczyç liczb´ kilogramów wody w 800 kilogramach 1

siana zawierajàcego

%

15

wody: ,

0 15 ^800 + x h = x (I).

Rozwiàzanie równania (I): x . 142.

1

Obliczenie liczby kilogramów siana z

%

15

zawartoÊcià wody i podanie odpowiedzi:

1

942 kg – tego ∏adunku nie mo˝na przewieêç wózkiem o noÊnoÊci 900 kg.

8.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Wyznaczenie elementów zbioru A: A = " , 0

,

1

,

2

,

3 f, 15,.

1

Wyznaczenie elementów zbioru B: B = " , 5 1 ,

0 1 ,

5 20,.

1

Wyznaczenie zbioru A + B: A + B = " , 5 1 ,

0 15,.

1

Wyznaczenie zbioru B A: B A = "20,.

1

9.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Zauwa˝enie, ˝e na trapezie mo˝na opisaç okràg tylko wtedy, gdy jest to trapez 1

równoramienny.

Zapisanie równania wynikajàcego z warunku, ˝e w trapez ABCD mo˝na wpisaç okràg: 1

c + c = 3 + 12, gdzie c – d∏ugoÊç ramienia trapezu.

▲ ▲

Obliczenie c = ,

7 5 cm.

1

w w w. o p e r o n . p l

■ MATEMATYKA – ZAKRES PODSTAWOWY

▲ ▲

Zapisanie równania pozwalajàcego obliczyç d∏ugoÊç h wysokoÊci trapezu: 1

2

2

2

h + ^ ,

4 5h = ^ ,

7 5h (I).

Rozwiàzanie równania (I): 6 cm.

1

2

Obliczenie pola trapezu: 45 cm .

1

10.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

Ocenienie wartoÊci logicznej zdania p 0 q: prawda.

1

Ocenienie wartoÊci logicznej zdania ~ ^ p 0 q h: fa∏sz.

1

Ocenienie wartoÊci logicznej zdania ~ ^ p 0 q h / p: fa∏sz.

1

11.

Liczba

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

punktów

3

Obliczenie obj´toÊci sto˝ka: V = 96 dm .

1

2

Obliczenie pola powierzchni podstawy ostros∏upa: P = 48 dm .

1

Obliczenie d∏ugoÊci wysokoÊci ostros∏upa: H = 6 dm.

1

Wyznaczenie jednej z funkcji trygonometrycznych kàta nachylenia Êciany bocznej 1

ostros∏upa do jego podstawy: tg a = 3.

Wyznaczenie kàta nachylenia Êciany bocznej ostros∏upa do jego podstawy: a = 60c.

1

w w w. o p e r o n . p l