Modele odpowiedzi do przyk∏adowego arkusza egzaminacyjnego Matematyka
Poziom rozszerzony
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
zadania
punktów
1.
Zapisanie nierównoÊci w postaci: x - 2 G 5 - 3 x - 2 .
1
3
1
Rozwiàzanie nierównoÊci w zbiorze liczb rzeczywistych: x ! c , 3 m.
1
4
4
Zapisanie wszystkich liczb ca∏kowitych spe∏niajàcych podanà nierównoÊç: 1
x ! # ,
1
,
2 3-.
2
2.
Zapisanie wielomianu w postaci W _ x i = a _ x + 1i_ x - 3i .
1
Wykorzystanie informacji W _0i = 9 do podania wartoÊci wspó∏czynnika d 1
i obliczenia wartoÊci wspó∏czynnika a: d = , 9 a = 1.
2
Przekszta∏cenie wielomianu W _ x i = _ x + 1i_ x - 3i do postaci umo˝liwiajàcej 1
odczytanie wartoÊci pozosta∏ych wspó∏czynników i zapisanie: b = - , 5 c = 3.
3.
Narysowanie wykresu funkcji w zbiorze liczb rzeczywistych: 3
(po 1 pkt
za
Y
narysowanie
wykresu
w ka˝dym
z przedzia-
f
∏ów)
1
0
1
X
Zapisanie rozwiàzania nierównoÊci f _ x i H 2: x ! 1
# - , ,
4 + 3i.
1
Narysowanie wykresu funkcji g: np. przesunićie wykresu funkcji o 2 jednostki 2
w prawo y = f _ x - 2i i przekszta∏cenie otrzymanego wykresu w symetrii (po 1 pkt
za ka˝de
wzgl´dem osi OX g _ x i = - f _ x - 2i.
przekszta∏-
cenie)
w w w. o p e r o n . p l
1
Matematyka. Poziom rozszerzony Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
zadania
punktów
4.
Przedstawienie liczb m i n w postaci np. m = k 7 + r, n = l
7 + r, 1
gdzie k, l, r ! N i r < 7.
2
2
2
2
Wyznaczenie m - n = 7 ( k 7
- l
7 + kr
2
- 2 )
lr .
1
Stwierdzenie, ˝e iloczyn liczb ca∏kowitych, w którym jednym z czynników jest 1
liczbà 7 jest podzielny przez 7.
5.
Zapisanie za∏o˝eƒ: x
tg ! 0 i sin x ! 0 lub cos x ! 0 i sin x ! 0.
1
sin a
Zastosowanie wzoru tga = cos a i przekszta∏cenie równania do postaci: 1
2 cos x - 2 cos x sin x = 1 - sin x.
Przekszta∏cenie równania do postaci iloczynowej: _2 cos x - 1i 1
_ - sin x i = 0.
1
r
Rozwiàzanie równania sin x = 1 dla x ! _ , 0 2ri, x =
i zapisanie, ˝e to
1
2
rozwiàzanie nie spe∏nia za∏o˝eƒ.
1
Rozwiàzanie równania cos x =
dla x ! _ ,
0 2ri i zapisanie rozwiàzania
1
2
1
1 - sin x
r
5r
równania
- cos
:
.
x
x
tg
=
x =
lub x =
2 sin x
3
3
6.
Wyznaczenie ró˝nicy ciàgu ( a ): r = 2.
1
n
Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciàgu ( a ): a = - 11.
1
n
1
Wyznaczenie jedenastego wyrazu ciàgu ( a ): a = 9, a = 27.
1
n
11
20
Zapisanie za pomocà równania warunku, ˝e ciàg _ a , a , a i jest ciàgiem 1
8
11
20
2
geometrycznym i podanie wniosku: np. a = a $ a , ciàg _ a , a , a i jest 11
8
20
8
11
20
geometryczny.
Podanie wzoru na wyraz ogólny ciàgu ( a ): a = n 2 - 13.
1
n
n
2
Zapisanie wzoru na sumćz´Êciowà: S = n -
n
12 .
1
n
Wyznaczenie wartoÊci n, dla której S osiàga wartoÊç najmniejszà: n = 6.
1
n
1
7.
Zapisanie logarytmów o podstawach 8 i
za pomocà logarytmu o podstawie 2:
1
4
1
1
log 3 -
log 27 -
log 9
2 2
3
2
2
2
.
- log 3
Zastosowanie w∏asnoÊci logarytmów do zapisania wyra˝enia w postaci: 2
2 .
1
log 3 - log 27 + log 1 9
1
Obliczenie wartoÊci wyra˝enia 2
2
8
4
: .
1
3
log 3 - log 27 + log 1 9
2
8
1
Zapisanie wniosku: 2
4
=
> ,
0 33.
1
3
n
8.
Zapisanie mocy zbioru wszystkich zdarzeƒ elementarnych X: X = e o, n H 5 .
1
2
w w w. o p e r o n . p l
2
Matematyka. Poziom rozszerzony Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
zadania
punktów
Zapisanie mocy zbioru zdarzeƒ elementarnych sprzyjajàcych zdarzeniu A: 1
5
A = e o.
2
Zapisanie równania wynikajàcego z treÊci zadania: 1
5
e o
2
2
=
.
n
21
e o
2
Przekszta∏cenie równania do postaci równania kwadratowego, np.: 1
2
n - n - 210 = 0.
Rozwiàzanie równania kwadratowego z uwzgl´dnieniem za∏o˝enia: n = 15. 1
1
1
9.
Wyznaczenie równania prostej AC: y =
x -
.
1
2
2
Wyznaczenie wspó∏rz´dnych punktu S, b´dàcego Êrodkiem odcinka AC: 1
S = _ ,
1 0 i.
Wyznaczenie równania prostej BD: y = - x 2 + 2.
1
Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej wyznaczyç wspó∏rz´dne pozosta∏ych 1
2
2
wierzcho∏ków rombu: np. _ x + 3i + _- x 2 + 4i = 5.
Zapisanie wspó∏rz´dnych wierzcho∏ków B i D: B = _ , 2 -2i i D = _ ,
0 2i.
1
10.
Wyznaczenie wysokoÊci h trapezu: h = 6.
1
Obliczenie d∏ugoÊci ramion c i d trapezu: c = 4 3, d = 12.
1
Wykorzystanie warunku opisywalnoÊci czworokàta na okr´gu do obliczenia 1
sumy d∏ugoÊci podstaw a i b trapezu: a + b = 4 3 + 12.
Obliczenie pola trapezu: P = 12 ` 3 + 3j.
1
11.
Wykonanie rysunku pomocniczego i zaznaczenie na nim przekroju p∏aszczyznà 1
równoleg∏à do p∏aszczyzny podstawy.
Obliczenie promienia przekroju sto˝ka p∏aszczyznà równoleg∏à do p∏aszczyzny 1
podstawy: r = 3.
Obliczenie wysokoÊci sto˝ka, którego przekrój osiowy jest trójkàtem 1
równobocznym o boku d∏ugoÊci 6: h = 3 3.
Obliczenie obj´toÊci sto˝ka, którego przekrój osiowy jest trójkàtem 1
równobocznym o boku d∏ugoÊci 6: V = 9r 3.
Zapisanie, ˝e obj´toÊç sto˝ka jest nie mniejsza od obj´toÊci sto˝ka, którego 1
przekrój osiowy jest trójkàtem równobocznym o boku d∏ugoÊci 6, czyli jest wi´ksza od 48, bo 48 < 9r 3.
w w w. o p e r o n . p l
3