Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 180 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zada-

nia 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.

2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to

przeznaczonym.

3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania prowa-

dzàcy do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym

tuszem/atramentem.

5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba

punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.

8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór oryginalnego arkusza maturalnego

2

3

Zadanie 1. (5 pkt)

Dany jest ciàg arytmetyczny a

n

^ h

, w którym

,

a

a

9

15

4

7

=

=

oraz ciàg geometryczny b

n

^ h

taki, ˝e a

b

1

1

= .

Ró˝nica ciàgu arytmetycznego a

n

^ h

jest równa ilorazowi ciàgu geometrycznego b

n

^ h

. Ile co najmniej

kolejnych poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego a

n

^ h

nale˝y dodaç, aby ich suma przekro-

czy∏a sum´ 10 poczàtkowych wyrazów ciàgu geometrycznego b

n

^ h

?

Matematyka. Poziom rozszerzony

4

Matematyka. Poziom rozszerzony

Zadanie 2. (3 pkt)

W trójkàcie ABC najd∏u˝szy bok ma d∏ugoÊç 21, a jeden z kàtów ma miar´ 120c. Oblicz obwód tego
trójkàta, je˝eli jeden z pozosta∏ych boków ma d∏ugoÊç 4.

5

Zadanie 3. (5 pkt)

Dana jest funkcja ( )

f x

m

x

x

m

3

3

2

=

-

+

+

^

h

.

a) Naszkicuj wykres funkcji dla parametru m

4

=- i podaj jej zbiór wartoÊci.

b) Wyznacz wartoÊci parametru m, dla których istnieje wartoÊç najwi´ksza.
c) Wyznacz wartoÊci parametru m, dla których wykresem funkcji jest linia prosta przecinajàca oÊ OY
poni˝ej punktu

,

O

0 0

= ^

h.

Matematyka. Poziom rozszerzony

6

Matematyka. Poziom rozszerzony

Zadanie 4. (3 pkt)

Wyka˝, ˝e jeÊli miary kolejnych kàtów wewn´trznych czworokàta wpisanego w okràg tworzà ciàg
geometryczny, to ten czworokàt jest prostokàtem.

7

Zadanie 5. (4 pkt)

Dane sà przedzia∏y

,

,

,

x

x

13

12

3

3

3

-

-

+

`

^

j

h. Wyznacz liczby rzeczywiste x, dla których cz´Êç wspól-

na tych przedzia∏ów jest zbiorem pustym.

Matematyka. Poziom rozszerzony

8

Matematyka. Poziom rozszerzony

Zadanie 6. (6 pkt)

Ze zbioru 6 kul bia∏ych i 4 czarnych wylosowano 3 kule i okreÊlono zdarzenia: A – wylosowanie co
najmniej dwóch kul bia∏ych, B – wylosowanie kul w jednym kolorze. Oblicz prawdopodobieƒstwo
sumy tych zdarzeƒ.

9

Zadanie 7. (6 pkt)

Punkty , , ,

A B C D sà kolejnymi wierzcho∏kami prostokàta, w którym jeden z boków jest dwa razy d∏u˝-

szy od drugiego. Z wierzcho∏ka D tego prostokàta poprowadzono prostà prostopad∏à do przekàtnej
AC, która przecina jà w punkcie E. Oblicz stosunek pola trójkàta ADE do pola prostokàta ABCD.

Matematyka. Poziom rozszerzony

10

Matematyka. Poziom rozszerzony

Zadanie 8. (3 pkt)

Wyka˝, ˝e równanie:

sin

cos

x

x

1

0

- = nie ma rozwiàzania dla

,

x

0 2

!

r .

11

Zadanie 9. (3 pkt)

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi OX pod kàtem 150c i przechodzi
przez punkt

,

A

6

2

= -

-

^

h. Znajdê miejsce zerowe tej funkcji.

Matematyka. Poziom rozszerzony

12

Matematyka. Poziom rozszerzony

Zadanie 10. (5 pkt)

Dany jest ostros∏up prawid∏owy trójkàtny o kraw´dzi podstawy d∏ugoÊci a i kraw´dzi bocznej nachy-
lonej do p∏aszczyzny podstawy pod kàtem a. Ostros∏up ten przeci´to p∏aszczyznà przechodzàcà przez
kraw´dê podstawy i nachylonà do niej pod kàtem b. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

13

Zadanie 11. (7 pkt)

Punkt

,

P

2

7

2

9

=

-

b

l

jest Êrodkiem boku AB kwadratu ABCD wpisanego w okràg o równaniu

x

y

x

y

6

2

15

2

2

+

-

+

=

.

a) Wyznacz wspó∏rz´dne wierzcho∏ków ,

A B tego kwadratu.

b) Wyznacz pole kwadratu ABCD.

Matematyka. Poziom rozszerzony

14

Matematyka. Poziom rozszerzony

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

15

Matematyka. Poziom rozszerzony

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)