1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 20

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

1.

C.

a

zł – cena czekolady (batonika) przed podwyżką

a

%

105

zł – cena czekolady po podwyżce

a

%

125

zł – cena batonika po podwyżce

a

a

a

a

6

,

4

%

460

)

%

105

%

125

(

2

=

=

+

– tyle trzeba zapłacić za

batonik i czekoladę po podwyżce

%

15

%

100

4

4

6

,

4

=

⋅

−

a

a

a

2.

C.

3

5

2

≤

−

x

3

5

2

3

≤

−

≤

−

x

4

1

8

2

2

≤

≤

≤

≤

x

x

Liczby naturalne należące do zbioru rozwiązań nierówności:

4

,

3

,

2

,

1

. Są więc 4 takie liczby.

3.

B.

0

1

1

0

1

)

4

4

(

)

1

(

)

2

(

3

<

−

=

−

=

−

+

−

=

−

f

f

4.

C.

2

2

)

2

(

4

6

)

2

(

)

(

−

=

−

+

−

=

x

x

x

g

+2

5.

D.

0

3

3

6

2

2

=

−

−

=

−

x

x

0

)

3

)(

3

(

=

+

−

x

x

3

=

x

lub

3

−

=

x

3

=

x

lub

3

−

=

x

6.

C.

1

1

−

⋅

=

n

n

q

b

b

3

,

3

1

=

=

q

b

a

1

1

3

3

3

−

+

−

=

⋅

=

a

n

n

a

n

b

7.

A.

h – wysokość trójkąta

α

tg

h

=

6

α

tg

h

6

=

2

α

α

tg

tg

P

36

6

12

2

1

=

⋅

⋅

=

8.

B.

Współrzędne środka okręgu:

)

2

,

3

(

−

, promień: 4 , równanie

stycznej:

2

4

2

=

+

−

=

y

.

9.

B.

E

– zwycięży Emilia

A

– zwycięży Aldona

)

(

)

(

)

(

)

(

A

E

P

A

P

E

P

A

E

P

∩

−

+

=

∪

3

,

0

0

1

,

0

2

,

0

)

(

=

−

+

=

∪

A

E

P

10.

A.

1

)

(

)

(

2

1

2

1

2

1

6

1

3

6

1

5

2

=

=

=

⋅

−

a

a

a

a

a

a

a

11.

D.

20

58

4

10

6

4

4

3

10

2

6

=

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

12.

A.

Objętość wylanej wody jest równa objętości kuli.

π

π

π

36

3

3

4

3

4

3

3

=

⋅

=

=

r

V

13.

B.

h – wysokość ostrosłupa

96

6

3

1

2

=

⋅

⋅

h

8

=

h

3

4

6

8

=

=

r

h

14.

D.

1

0

1

>

⇒

>

−

x

x

5

0

5

<

⇒

>

−

x

x

Stąd:

5

1

<

<

x

.

)

5

)(

1

(

)

(

x

x

x

P

−

−

=

– wykresem jest parabola o ramionach

skierowanych do dołu. Wartość największą funkcja przyjmuje w

punkcie

2

2

1

0

x

x

x

+

=

, gdzie

5

,

1

2

1

=

=

x

x

( 5

,

1 – miejsca zerowe

funkcji).

3

2

1

5

0

=

+

=

x

15.

B.

x

x

x

2

,

2

,

– długości krawędź prostopadłościanu,

0

>

x

3

2

6

3

3

9

)

2

(

)

2

(

2

2

2

2

=

=

=

=

+

+

x

x

x

x

x

x

x

Pole podstawy:

8

4

2

=

⋅

.

16.

C.

30

5

6

=

⋅

17.

D.

8

,

2

=

=

b

a

a

b

%

400

=

18.

A.

Obliczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostych.

m

x

y

m

y

x

−

=

=

−

−

0

4

2

0

4

2

+

−

=

=

+

−

−

x

y

y

x

3

4

4

2

+

=

+

−

=

−

m

x

x

m

x

Pierwsza współrzędna ma być liczbą dodatnią.

4

0

3

4

−

>

>

+

m

m

19.

D.

Wykresem funkcji

)

3

)(

5

(

)

(

−

+

−

=

x

x

x

f

jest parabola o

ramionach skierowanych ku dołowi, przecinająca oś OX w

punktach

)

0

,

3

(

),

0

,

5

(

−

. Dodatnie wartości przyjmuje w przedziale

)

3

,

5

(

−

.

Liczbami całkowitymi spełniającymi daną nierówność są więc

liczby:

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

4

−

−

−

−

. Do zbioru rozwiązań nie należy 3.

20.

C.

Mediana jest równa:

5

2

6

4

+

=

+

+

+

x

x

x

.

Na podstawie treści zdania:

4

9

5

=

⇒

=

+

x

x

.

Najmniejsza liczba to 4 , największa to 24 .

20

4

24

=

−

4

21.

A.

Pierwszą rękawiczkę można włożyć do szuflad na 4 sposoby,

podobnie drugą rękawiczkę.

16

4

4

=

⋅

22.

B.

l – tworząca stożka

2

2

2

12

5

+

=

l

13

=

l

Pole powierzchni bocznej:

π

π

π

156

13

12

=

⋅

⋅

=

rl

.

23.

A.

8

1

log

16

2

log

25

2

log

8

4

5

=

⇒

=

=

⇒

=

=

⇒

=

c

c

b

b

a

a

7

49

8

16

25

=

=

+

+

=

+

+

c

b

a

24.

C.

( )

y

x,

– współrzędne punktu leżącego na symetralnej

(

)

2

2

2

2

)

1

(

)

2

(

)

4

(

3

−

+

−

=

−

+

+

y

x

y

x

1

2

4

4

16

8

9

6

2

2

2

2

+

−

+

+

−

=

+

−

+

+

+

y

y

x

x

y

y

x

x

0

10

3

5

=

+

−

y

x

Dla

0

=

x

3

10

0

10

3

0

=

=

+

−

y

y

25.

B.

a

– długość krawędzi kostki

2

4

2

=

⇒

=

a

a

72

9

8

9

3

=

⋅

=

⋅

a

(g)

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązania

Liczba

punktów

26.

Zapisanie zależności między wysokością drzewa, a jego cieniem:

α

– miara kąta, pod jakim promienie słoneczne padają do

poziomu,

1

5

3

10

10

tg

=

α

.

Podanie miary kąta:

30

3

1

tg

=

⇒

=

α

α

.

1

Obliczenie

a

– pierwszego wyrazu ciągu i różnicy r :

,

2

4

,

4

2

,

4

3

r

a

r

a

a

−

=

=

+

=

,

7

3

2

,

14

3

2

=

+

=

+

+

+

+

+

+

r

a

r

a

r

a

r

a

a

,

1

,

7

3

)

2

4

(

2

=

=

+

−

r

r

r

.

2

2

4

=

−

=

a

1

27.

Obliczenie

10

a

:

11

9

2

10

=

+

=

a

.

1

Przekształcenie równania i obliczenie

:

sin x

x

x

x

x

x

sin

2

cos

sin

2

)

sin

(cos

2

=

−

+

,

x

x

x

x

x

x

x

sin

2

cos

sin

2

cos

sin

2

sin

cos

2

2

=

−

+

+

,

.

2

1

sin

,

sin

2

1

=

=

x

x

1

28.

Określenie miary kąta:

30

=

x

.

1

Zapisanie odpowiedniego układu równań:

x

m – długość pociągu,

v

m/s – prędkość pociągu,







=

+

=

v

x

v

x

25

300

5

.

1

29.

Obliczenie prędkości:

,

20

300

,

25

5

300

v

v

v

=

=

+

15

=

v

m/s.

1

6

Obliczenie długości pociągu:

75

15

5

=

⋅

=

x

(m).

1

Obliczenie, jak długo pociąg osobowy będzie mijał pociąg

towarowy:

15

15

225

15

150

75

=

=

+

(s).

1

Zapisanie równania w postaci iloczynowej:

0

)

3

tg

)(

3

tg

(

=

+

−

α

α

.

1

Podanie rozwiązania równania:

60

=

α

.

1

Obliczenie:

5

,

0

60

cos

,

9

,

0

2

3

60

sin

=

≈

=

.

1

30.

Porównanie liczb:

α

α

cos

sin

5

,

0

9

,

0

>

⇒

>

.

1

Zauważenie, że wartości krosna w poszczególnych latach stanowią

kolejne wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego.

1

Określenie pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu:

w

– początkowa wartość krosna,

r

– kwota, o jaką rocznie maleje wartość krosna,

r

w

a

−

=

1

,

0

=

n

a

.

1

Zapisanie odpowiedniego układu równań:

,

4

0

2

20







=

=

−

a

a

nr

w

.

2

)

20

(

4

0







−

=

−

=

−

r

w

r

w

nr

w

1

Przekształcenie układu równań:

,

78

3

0







=

=

−

r

w

nr

w

,

26

0







=

=

−

r

w

nr

w







=

=

−

r

w

nr

r

26

0

26

.

1

31.

Zauważenie, że

0

≠

r

i obliczenie

n

:

1

7

r

nr

r

:

/

0

26

=

−

,

26

=

n

.

Określenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania

przy stole:

120

1

2

3

4

5

=

⋅

⋅

⋅

⋅

.

1

Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania na

ławie:

720

1

2

3

4

5

6

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

.

1

Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania na ławie:

240

)

1

2

3

4

5

(

2

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

.

1

Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania przy stole:

48

)

1

2

3

4

(

2

=

⋅

⋅

⋅

⋅

.

1

32.

Obliczenie i porównanie prawdopodobieństw:

4

,

0

120

48

)

(

=

=

S

P

,

3

,

0

720

240

)

(

≈

=

Ł

P

,

)

(

)

(

Ł

P

S

P

>

.

2