1
Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 20
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
1.
C.
a
zł – cena czekolady (batonika) przed podwyŜką
a
%
105
zł – cena czekolady po podwyŜce
a
%
125
zł – cena batonika po podwyŜce
a
a
a
a
6
,
4
%
460
)
%
105
%
125
(
2
=
=
+
– tyle trzeba zapłacić za
batonik i czekoladę po podwyŜce
%
15
%
100
4
4
6
,
4
=
⋅
−
a
a
a
2.
C.
3
5
2
≤
−
x
3
5
2
3
≤
−
≤
−
x
4
1
8
2
2
≤
≤
≤
≤
x
x
Liczby naturalne naleŜące do zbioru rozwiązań nierówności:
4
,
3
,
2
,
1
. Są więc 4 takie liczby.
3.
B.
0
1
1
0
1
)
4
4
(
)
1
(
)
2
(
3
<
−
=
−
=
−
+
−
=
−
f
f
4.
C.
2
2
)
2
(
4
6
)
2
(
)
(
−
=
−
+
−
=
x
x
x
g
+2
5.
D.
0
3
3
6
2
2
=
−
−
=
−
x
x
0
)
3
)(
3
(
=
+
−
x
x
3
=
x
lub
3
−
=
x
3
=
x
lub
3
−
=
x
6.
C.
1
1
−
⋅
=
n
n
q
b
b
3
,
3
1
=
=
q
b
a
1
1
3
3
3
−
+
−
=
⋅
=
a
n
n
a
n
b
7.
A.
h – wysokość trójkąta
α
tg
h
=
6
α
tg
h
6
=
2
α
α
tg
tg
P
36
6
12
2
1
=
⋅
⋅
=
8.
B.
Współrzędne środka okręgu:
)
2
,
3
(
−
, promień: 4 , równanie
stycznej:
2
4
2
=
+
−
=
y
.
9.
B.
E
– zwycięŜy Emilia
A
– zwycięŜy Aldona
)
(
)
(
)
(
)
(
A
E
P
A
P
E
P
A
E
P
∩
−
+
=
∪
3
,
0
0
1
,
0
2
,
0
)
(
=
−
+
=
∪
A
E
P
10.
A.
1
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
6
1
3
6
1
5
2
=
=
=
⋅
−
a
a
a
a
a
a
a
11.
D.
20
58
4
10
6
4
4
3
10
2
6
=
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
12.
A.
Objętość wylanej wody jest równa objętości kuli.
π
π
π
36
3
3
4
3
4
3
3
=
⋅
=
=
r
V
13.
B.
h – wysokość ostrosłupa
96
6
3
1
2
=
⋅
⋅
h
8
=
h
3
4
6
8
=
=
r
h
14.
D.
1
0
1
>
⇒
>
−
x
x
5
0
5
<
⇒
>
−
x
x
Stąd:
5
1
<
<
x
.
)
5
)(
1
(
)
(
x
x
x
P
−
−
=
– wykresem jest parabola o ramionach
skierowanych do dołu. Wartość największą funkcja przyjmuje w
punkcie
2
2
1
0
x
x
x
+
=
, gdzie
5
,
1
2
1
=
=
x
x
( 5
,
1 – miejsca zerowe
funkcji).
3
2
1
5
0
=
+
=
x
15.
B.
x
x
x
2
,
2
,
– długości krawędź prostopadłościanu,
0
>
x
3
2
6
3
3
9
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
=
=
=
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
Pole podstawy:
8
4
2
=
⋅
.
16.
C.
30
5
6
=
⋅
17.
D.
8
,
2
=
=
b
a
a
b
%
400
=
18.
A.
Obliczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostych.
m
x
y
m
y
x
−
=
=
−
−
0
4
2
0
4
2
+
−
=
=
+
−
−
x
y
y
x
3
4
4
2
+
=
+
−
=
−
m
x
x
m
x
Pierwsza współrzędna ma być liczbą dodatnią.
4
0
3
4
−
>
>
+
m
m
19.
D.
Wykresem funkcji
)
3
)(
5
(
)
(
−
+
−
=
x
x
x
f
jest parabola o
ramionach skierowanych ku dołowi, przecinająca oś OX w
punktach
)
0
,
3
(
),
0
,
5
(
−
. Dodatnie wartości przyjmuje w przedziale
)
3
,
5
(
−
.
Liczbami całkowitymi spełniającymi daną nierówność są więc
liczby:
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
−
−
−
−
. Do zbioru rozwiązań nie naleŜy 3.
20.
C.
Mediana jest równa:
5
2
6
4
+
=
+
+
+
x
x
x
.
Na podstawie treści zdania:
4
9
5
=
⇒
=
+
x
x
.
Najmniejsza liczba to 4 , największa to 24 .
20
4
24
=
−
4
21.
A.
Pierwszą rękawiczkę moŜna włoŜyć do szuflad na 4 sposoby,
podobnie drugą rękawiczkę.
16
4
4
=
⋅
22.
B.
l – tworząca stoŜka
2
2
2
12
5
+
=
l
13
=
l
Pole powierzchni bocznej:
π
π
π
156
13
12
=
⋅
⋅
=
rl
.
23.
A.
8
1
log
16
2
log
25
2
log
8
4
5
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
c
c
b
b
a
a
7
49
8
16
25
=
=
+
+
=
+
+
c
b
a
24.
C.
( )
y
x,
– współrzędne punktu leŜącego na symetralnej
(
)
2
2
2
2
)
1
(
)
2
(
)
4
(
3
−
+
−
=
−
+
+
y
x
y
x
1
2
4
4
16
8
9
6
2
2
2
2
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
+
y
y
x
x
y
y
x
x
0
10
3
5
=
+
−
y
x
Dla
0
=
x
3
10
0
10
3
0
=
=
+
−
y
y
25.
B.
a
– długość krawędzi kostki
2
4
2
=
⇒
=
a
a
72
9
8
9
3
=
⋅
=
⋅
a
(g)
Zadania otwarte
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązania
Liczba
punktów
26.
Zapisanie zaleŜności między wysokością drzewa, a jego cieniem:
α
– miara kąta, pod jakim promienie słoneczne padają do
poziomu,
1
5
3
10
10
tg
=
α
.
Podanie miary kąta:
30
3
1
tg
=
⇒
=
α
α
.
1
Obliczenie
a
– pierwszego wyrazu ciągu i róŜnicy r :
,
2
4
,
4
2
,
4
3
r
a
r
a
a
−
=
=
+
=
,
7
3
2
,
14
3
2
=
+
=
+
+
+
+
+
+
r
a
r
a
r
a
r
a
a
,
1
,
7
3
)
2
4
(
2
=
=
+
−
r
r
r
.
2
2
4
=
−
=
a
1
27.
Obliczenie
10
a
:
11
9
2
10
=
+
=
a
.
1
Przekształcenie równania i obliczenie
:
sin x
x
x
x
x
x
sin
2
cos
sin
2
)
sin
(cos
2
=
−
+
,
x
x
x
x
x
x
x
sin
2
cos
sin
2
cos
sin
2
sin
cos
2
2
=
−
+
+
,
.
2
1
sin
,
sin
2
1
=
=
x
x
1
28.
Określenie miary kąta:
30
=
x
.
1
Zapisanie odpowiedniego układu równań:
x
m – długość pociągu,
v
m/s – prędkość pociągu,
=
+
=
v
x
v
x
25
300
5
.
1
29.
Obliczenie prędkości:
,
20
300
,
25
5
300
v
v
v
=
=
+
15
=
v
m/s.
1
6
Obliczenie długości pociągu:
75
15
5
=
⋅
=
x
(m).
1
Obliczenie, jak długo pociąg osobowy będzie mijał pociąg
towarowy:
15
15
225
15
150
75
=
=
+
(s).
1
Zapisanie równania w postaci iloczynowej:
0
)
3
tg
)(
3
tg
(
=
+
−
α
α
.
1
Podanie rozwiązania równania:
60
=
α
.
1
Obliczenie:
5
,
0
60
cos
,
9
,
0
2
3
60
sin
=
≈
=
.
1
30.
Porównanie liczb:
α
α
cos
sin
5
,
0
9
,
0
>
⇒
>
.
1
ZauwaŜenie, Ŝe wartości krosna w poszczególnych latach stanowią
kolejne wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego.
1
Określenie pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu:
w
– początkowa wartość krosna,
r
– kwota, o jaką rocznie maleje wartość krosna,
r
w
a
−
=
1
,
0
=
n
a
.
1
Zapisanie odpowiedniego układu równań:
,
4
0
2
20
=
=
−
a
a
nr
w
.
2
)
20
(
4
0
−
=
−
=
−
r
w
r
w
nr
w
1
Przekształcenie układu równań:
,
78
3
0
=
=
−
r
w
nr
w
,
26
0
=
=
−
r
w
nr
w
=
=
−
r
w
nr
r
26
0
26
.
1
31.
ZauwaŜenie, Ŝe
0
≠
r
i obliczenie
n
:
1
7
r
nr
r
:
/
0
26
=
−
,
26
=
n
.
Określenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania
przy stole:
120
1
2
3
4
5
=
⋅
⋅
⋅
⋅
.
1
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania na
ławie:
720
1
2
3
4
5
6
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
.
1
Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania na ławie:
240
)
1
2
3
4
5
(
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
.
1
Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania przy stole:
48
)
1
2
3
4
(
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
.
1
32.
Obliczenie i porównanie prawdopodobieństw:
4
,
0
120
48
)
(
=
=
S
P
,
3
,
0
720
240
)
(
≈
=
Ł
P
,
)
(
)
(
Ł
P
S
P
>
.
2