Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 20
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania
zadania
odpowiedź
1.
C.
a zł – cena czekolady (batonika) przed podwyżką 105% a zł – cena czekolady po podwyżce 125% a zł – cena batonika po podwyżce 2 1
( 25% a + 105% a) = 460% a = , 4 6 a – tyle trzeba zapłacić za
batonik i czekoladę po podwyżce
,
4 6 a − 4 a ⋅100% =15%
4 a
2.
C.
2 x − 5 ≤ 3
− 3 ≤ 2 x − 5 ≤ 3
2 ≤ 2 x ≤ 8
1 ≤ x ≤ 4
Liczby naturalne należące do zbioru rozwiązań nierówności:
,
1 ,
2 ,
3 4 . Są więc 4 takie liczby.
3.
B.
f (2) − f )
1
(
= (−4 + 4) −13 = 0 −1 = −1 < 0
4.
C.
2
2
g( x) = ( x − 2) + 6 − 4 = ( x − 2) +2
5.
D.
2
x − 6 = −3 ( x − 3)( x + 3) = 0
2
x − 3 = 0
x = 3 lub x = − 3 x = 3 lub x = − 3
6.
C.
n 1
−
b
b q
n =
⋅
1
b = 3 a , q = 3
1
a
n 1
−
n+ a 1
b
n = 3
⋅3
= 3 −
7.
A.
h – wysokość trójkąta
h = tgα
6
h = t
6 gα
1
P =
⋅12 ⋅ t
6 gα = 3 t
6 gα
2
8.
B.
Współrzędne środka okręgu:
,
3
(
− 2) , promień: 4 , równanie
stycznej: y = −2 + 4 = 2 .
9.
B.
E – zwycięży Emilia
A – zwycięży Aldona
P( E ∪ )
A = P( E) + P( ) A − P( E ∩ )
A
P( E ∪ )
A = ,
0 2 + 1
,
0 − 0 = 3
,
0
10.
A.
1
1
1
( −2
5
a
⋅ a )
( 3
6
a ) 6
2
=
= a = 1
1
1
a
2
2
a
a
11.
D.
6 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4
58
=
6 + 10 + 4
20
12.
A.
Objętość wylanej wody jest równa objętości kuli.
4
V =
π 3 4
r =
π ⋅33 = 3 π
6
3
3
13.
B.
h – wysokość ostrosłupa
1 ⋅62 ⋅ h = 96
3
h = 8
h
8
4
= =
r
6
3
14.
D.
x − 1 > 0 ⇒ x > 1
5 − x > 0 ⇒ x < 5
Stąd: 1 < x < 5 .
P( x) = ( x − )
1 5
( − x) – wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do dołu. Wartość największą funkcja przyjmuje w x + x
punkcie
1
2
x =
, gdzie x = ,
1 x = 5 ( 5
,
1 – miejsca zerowe
0
2
1
2
funkcji).
5 + 1
x =
= 3
0
2
15.
B.
x, 2 x, 2 x – długości krawędź prostopadłościanu, x > 0
2
x + (2 x)2 + (2 x)2 = 9 2
x = 3 x
3 x = 6
x = 2
Pole podstawy: 2 ⋅ 4 = 8 .
16.
C.
6 ⋅ 5 = 30
17.
D.
a = ,
2 b = 8
b = 400% a
18.
A.
Obliczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostych.
x − y − m = 0
y = x − m
− 2 x − y + 4 = 0
y = −2 x + 4
x − m = 2
− x + 4
m + 4
x =
3
Pierwsza współrzędna ma być liczbą dodatnią.
m + 4 > 0
3
m > −4
19.
D.
Wykresem funkcji f ( x) = −( x + ) 5 ( x − )
3 jest parabola o
ramionach skierowanych ku dołowi, przecinająca oś OX w punktach (− ,
5 0),
,
3
(
0) . Dodatnie wartości przyjmuje w przedziale (−5, )
3 .
Liczbami całkowitymi spełniającymi daną nierówność są więc liczby: − ,
4 − ,
3 − ,
2 − ,
1 ,
0 ,
1 2 . Do zbioru rozwiązań nie należy 3.
20.
C.
Mediana jest równa:
x + 4 + x + 6 = x + 5.
2
Na podstawie treści zdania: x + 5 = 9 ⇒ x = 4 .
Najmniejsza liczba to 4 , największa to 24 .
24 − 4 = 20
3
A.
Pierwszą rękawiczkę można włożyć do szuflad na 4 sposoby, podobnie drugą rękawiczkę.
4 ⋅ 4 = 16
22.
B.
l – tworząca stożka
2
2
2
l = 5 + 12
l = 13
Pole powierzchni bocznej:
π rl = π ⋅12 ⋅13 = 15 π
6 .
23.
A.
log a = 2 ⇒ a = 25
5
log b = 2 ⇒ b = 16
4
log c = 1 ⇒ c = 8
8
a + b + c = 25 + 16 + 8 = 49 = 7
24.
C.
( x, y) – współrzędne punktu leżącego na symetralnej ( x + )2
2
2
2
3
+ ( y − )
4
= ( x − )
2
+ ( y − )
1
2
x + 6 x + 9
2
+ y − 8 y +16
2
= x − 4 x + 4
2
+ y − 2 y +1
5 x − 3 y + 10 = 0
Dla x = 0
0 − 3 y + 10 = 0
10
y = 3
25.
B.
a – długość krawędzi kostki
2
a = 4 ⇒ a = 2
3
a ⋅ 9 = 8 ⋅ 9 = 72 (g)
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązania
zadania
punktów
26.
Zapisanie zależności między wysokością drzewa, a jego cieniem: 1
α – miara kąta, pod jakim promienie słoneczne padają do poziomu,
4
tgα =
.
10 3
1
1
Podanie miary kąta:
tgα =
⇒ α = 30 .
3
27.
Obliczenie a – pierwszego wyrazu ciągu i różnicy r : 1
a = ,
4
3
a + 2 r = ,
4
a = 4 − 2 r,
a + a + r + a + 2 r + a + 3 r = 1 , 4
2 a + 3 r = ,
7
2(4 − 2 r) + 3 r = 7,
r = ,
1
a = 4 − 2 = 2.
Obliczenie a : a
= 2 + 9 = 11.
1
10
10
28.
Przekształcenie równania i obliczenie sin x : 1
(cos x + sin x)2 − 2sin x cos x = 2sin x , cos2 x + sin 2 x + 2 sin x cos x − 2sin x cos x = 2sin x , 1 = 2sin x,
1
sin x = .
2
Określenie miary kąta:
x = 30 .
1
29.
Zapisanie odpowiedniego układu równań:
1
x m – długość pociągu,
v m/s – prędkość pociągu,
x = v
5
.
300 + x = 2 v
5
Obliczenie prędkości:
1
300 + 5 v = 25 v,
300 = 20 v,
v = 15 m/s.
5
1
x = 5 ⋅15 = 75 (m).
Obliczenie, jak długo pociąg osobowy będzie mijał pociąg 1
towarowy:
75 + 150
225
=
= 15 (s).
15
15
30.
Zapisanie równania w postaci iloczynowej:
1
(tgα − 3)(tgα + 3) = 0 .
Podanie rozwiązania równania:
α = 60 .
1
3
1
Obliczenie: sin 60 =
≈
,
9
,
0
cos 60 = 5
,
0 .
2
Porównanie liczb: 9
,
0
> 5
,
0
⇒ sinα > cosα .
1
31.
Zauważenie, że wartości krosna w poszczególnych latach stanowią 1
kolejne wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego.
Określenie pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu: 1
w – początkowa wartość krosna,
r – kwota, o jaką rocznie maleje wartość krosna, a
,
1 = w − r
a
.
n = 0
Zapisanie odpowiedniego układu równań:
1
w − nr = 0
,
4 a = a
20
2
w − nr = 0
.
4( w − 20 r) = w − 2 r Przekształcenie układu równań:
1
w − nr = 0
,
3
w = 78 r
w − nr = 0
,
w = 26 r
26 r − nr = 0
.
w = 26 r
Zauważenie, że r ≠ 0 i obliczenie n : 1
6
26 r − nr = 0 / : r , n = 26 .
32.
Określenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania 1
przy stole: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120 .
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych w przypadku siadania na 1
ławie: 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720 .
Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania na ławie: 1
2 ⋅ 5
( ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ )
1 = 240 .
Liczba zdarzeń sprzyjających w przypadku siadania przy stole: 1
2 ⋅ (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ )
1 = 48 .
Obliczenie i porównanie prawdopodobieństw:
2
48
P( S ) =
= ,
0 4 ,
120
240
P( Ł) =
≈ 3
,
0 ,
720
P( S ) > P( Ł) .
7