Autorzy: Ma∏gorzata Ludwikowska, Marcin Krawczyk
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
(dla poziomu rozszerzonego)
Arkusz II
ARKUSZ II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1. Proszśprawdziç, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13
stron. Ewentualny brak nale˝y zg∏osiç przewodniczàcemu zespo∏u nadzorujàcego egzamin.
2. Rozwiàzania i odpowiedzi nale˝y zapisaç czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy ka˝dym zadaniu.
3. Prosz´ pisaç tylko w kolorze czarnym; nie pisaç o∏ówkiem.
4. W rozwiàzaniach zadaƒ trzeba przedstawiç tok rozumo-wania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno u˝ywaç korektora.
6. B∏´dne zapisy trzeba wyraênie przekreÊliç.
7. Brudnopis nie b´dzie oceniany.
8. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którà mo˝na uzyskaç za jego poprawne rozwiàzanie.
9. Podczas egzaminu mo˝na korzystaç z za∏àczonego zesta-Za rozwiàzanie
wu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkula-wszystkich zadaƒ
tora. Nie mo˝na korzystaç z kalkulatora graficznego.
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów
˚yczymy powodzenia!
Arkusz przygotowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON na wzór oryginalnego arkusza maturalnego.
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 12. ( 3 pkt) 2
Dane jest równanie mx - 3 ^ m + 1h x + m = 0 z niewiadomà x i parametrem m ! R. Wyznacz wszystkie wartoÊci parametru m, dla których dane równanie nie ma rozwiàzania.
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 13. ( 4 pkt) 1 - P^ A'h
A i B sà zdarzeniami zbioru X i P^ B h > 0. Sprawdê, czy P^ A B h jest mniejsze ni˝
.
P^ B h
Zadanie 14. (3 pkt)
Udowodnij twierdzenie: Dla wszystkich wartoÊci rzeczywistych zmiennej t wyra˝enie cos ^sin t h przyjmuje wartoÊci dodatnie.
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 15. ( 5 pkt) Ciàg ^ a h zdefiniowany jest wzorem rekurencyjnym: n
Z
3
] a =
] 1 4
[
.
1 2
3
]
] a =
a
+
dla
n H 2
n
4 n - 1
4
\Stosujàc zasadíndukcji matematycznej, wyka˝, ˝e ˝aden wyraz tego ciàgu nie jest wi´kszy ni˝ 1.
Zadanie 16. ( 4 pkt) 3
Obj´toÊç walca jest równa 250r cm . Przedstaw pole powierzchni ca∏kowitej tego walca jako funkcj´
d∏ugoÊci promienia podstawy. Dla jakiej d∏ugoÊci promienia na wykonanie siatki walca zu˝yje sińajmniejszà iloÊç materia∏u?
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 17. ( 6 pkt) x + 1
x + 1
Naszkicuj w jednym uk∏adzie wspó∏rz´dnych wykresy funkcji f ^ x h = 2
oraz g^ x h =
x
. Na
podstawie wykonanego rysunku okreÊl liczbŕozwiàzaƒ równania f ^ x h = g^ x h.
Zadanie 18. ( 4 pkt) n
Rozwià˝ nierównoÊç c
m n
n
3 G
-
.
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 19. ( 7 pkt) 1
1
1
x
Rozwià˝ nierównoÊç:
^ h
x +
x +
x + f > 2
- ,
0 9 9 , gdzie lewa strona tej nierównoÊci jest sumà 2
4
8
nieskoƒczonego ciàgu geometrycznego.
Zadanie 20. ( 9 pkt) W trójkàcie jeden z kàtów ma miar´ 120c, a d∏ugoÊci boków tego trójkàta tworzà ciàg arytmetyczny.
Obwód trójkàta jest równy 30. Wyznacz stosunek d∏ugoÊci promienia okr´gu opisanego na tym trójkàcie do d∏ugoÊci promienia okr´gu wpisanego w ten trójkàt.
Matematyka. Arkusz II
Zadanie 21. ( 5 pkt) W pude∏ku umieszczono 6 kul czarnych i 4 kule bia∏e. Losujemy jednà kulź pude∏ka. Je˝eli b´dzie to kula bia∏a, to wrzucamy jà z powrotem do pude∏ka, je˝eli czarna, to zatrzymujemy. Nast´pnie losujemy z pude∏ka jednoczeÊnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieƒstwo zdarzenia, ˝e obie wylosowane za drugim razem kule sà bia∏e.
Brudnopis