2004 06 07 pra

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.
Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada
nieuporządkowanej parze liczb

6

,

,

2

,

1

,

0

,

),

,

(

K

=

j

i

j

i

.

Mówimy, że klocek B(k,l) możemy dołożyć do klocka A(i,j), jeżeli k=i lub k=j lub l=i
lub l=j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie,
na przykład: A(1,2)B(2,0). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu,
jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w
przykładzie liczba 1 lub 0).
Losujemy kolejno trzy klocki K, L, M bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że klocek M możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków K i L, jeżeli
wiadomo, że klocki K i L pasują do siebie.

(A)

91

41

(B)

2

1

(C)

13

6

(D)

26

11


(E)

żadna z powyższych odpowiedzi.

1

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o

gęstości

n

Z

Z

Z

,

,

,

2

1

K



>

+

=

+

,

0

0

0

)

(

)

(

1

,

x

dla

x

dla

x

x

p

θ

θ

θ

λ

λ

θ

λ

gdzie 0

,

1

>

>

λ

θ

są ustalonymi liczbami.

Wyznaczyć

)

)

,

,

,

min(

|

(

2

1

2

1

t

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

n

n

=

+

+

+

K

K

, gdzie t jest ustaloną liczbą

większą od 0.

(A)

1

+

+

θ

λ

t

nt

(B)

)

1

(

)

)(

1

(

+

+

θ

λ

n

t

n

nt

(C)

1

)

1

(

+

+

θ

λ

t

n

nt

(D)

+

+

1

θ

λ

t

t

n

(E)

1

)

1

(

+

θ

λ

n

nt

.

2

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.
Zmienna losowa

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i

macierzą kowariancji

)

,

,

(

Z

Y

X

1

5

,

0

1

5

,

0

1

5

,

1

1

5

,

1

4

.

Obliczyć Var

)

)

((

Z

Y

X

+

.


(A) 12,5

(B) 9,5

(C) 11

(D) 10,25

(E) 8,75

3

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Niech będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym

, gdzie wektor

)

,

,

,

(

2

1

k

X

X

X

X

K

=

)

,

,

,

,

2

1

k

p

p

p

n

K

(

Mult

)

,

,

,

(

2

1

k

p

p

p

p

K

=

(

0

p

dla i

oraz

) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji

wektora p przy kwadratowej funkcji straty

i

k

,

,

2

,

1 K

=

1

1

=

i

p

Σ

=

k

i

2

)

ˆ

i

p

1

(

1

)

ˆ

,

(

k

i

p

k

p

p

L

=

Σ

=

i

.

Wśród estymatorów wektora p postaci

)

,

,

,

(

ˆ

2

1

b

aX

b

aX

b

aX

p

k

+

+

+

=

K

)

ˆ

,

(

p

p

EL

(gdzie a, b

są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy

) stałym, niezależnym od p,

najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego

(A)

)

1

(

1

,

1

=

=

n

k

b

n

n

a

(B)

)

1

(

2

1

,

1

=

=

n

b

n

n

a

(C)

)

1

(

2

1

,

1

+

=

+

=

n

b

n

n

a

(D)

)

1

(

1

,

1

+

=

+

=

n

k

b

n

n

a

(E)

żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna


4

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K



>

=

+

,

1

0

1

)

(

1

x

dla

x

dla

x

x

f

θ

θ

θ

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru

θ

postaci



θ

ˆ

,

ˆ

n

c



θ

n

d

na poziomie ufności

α

1

, gdzie liczby c i d są dobrane tak, aby

2

ˆ

ˆ

α

θ

θ

θ

θ

θ

θ

=

 >

=

 <

n

c

P

n

d

P

i jest estymatorem największej wiarogodności parametru

θ

ˆ

θ

.

Przy n

=

i

20

05

,

0

=

α

przedział ufności ma postać:


(A)

[

]

θ

θ

ˆ

394

,

1

,

ˆ

663

,

0


(B)

[

]

θ

θ

ˆ

242

,

1

,

ˆ

812

,

0


(C)

[

]

θ

θ

ˆ

484

,

1

,

ˆ

611

,

0


(D)

[

]

θ

θ

ˆ

709

,

1

,

ˆ

480

,

0


(E)

[

]

θ

θ

ˆ

048

,

2

,

ˆ

325

,

0

5

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego

, gdzie oba parametry są nieznane. Estymując parametr

wyznaczono

dwa estymatory

T

- estymator największej wiarogodności i

T

- estymator

nieobciążony o minimalnej wariancji.

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

)

2

σ

1

,

(

µ

N

2

µ

2

Różnica ryzyk estymatora

T

i estymatora

T

przy kwadratowej funkcji straty jest

równa

1

2

(A)

)

1

(

)

1

(

2

4

+

n

n

n

σ

(B)

)

1

(

)

3

(

2

4

n

n

n

σ

(C)

)

1

(

2

2

4

n

n

σ

(D)

2

4

n

σ

(E)

2

4

n

σ

6

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 7.
Obserwujemy pary (

zmiennych losowych. Zmienne

są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym

, a zmienne

o rozkładzie normalnym

, gdzie

. Wszystkie zmienne

są niezależne. Rozważamy test najmocniejszy hipotezy:

)

,

(

,

),

,

(

),

,

20

20

2

2

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

K

)

,

(

2

σ

y

m

N

20

2

1

,

,

,

X

X

X

K

20

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

K

)

1

,

(

x

m

N

4

2

=

σ

H

0

:

(

)

0

,

0

(

)

,

=

y

x

m

m

przeciw alternatywie:

H

1

:

,

)

1

,

1

(

)

,

(

=

y

x

m

m

na poziomie istotności 01

,

0

=

α

.

Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju tego testu.

(A)

jest mniejsze niż 0,001


(B) 0,004

(C) 0,048

(D) 0,371

(E) 0,010


7

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 8.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie

wykładniczym z wartością oczekiwaną 1, a Y

niezależnymi zmiennymi

losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 2. Niech N będzie
zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 4. Wszystkie zmienne są
niezależne. Niech

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

K

K

,

,

,

,

2

1

n

Y

Y



=

=



=

=

=

=

0

0

1

0

0

1

1

1

N

gdy

N

gdy

Y

S

N

gdy

N

gdy

X

T

N

i

i

N

i

i

Obliczyć współczynnik korelacji corr(T,S) między zmiennymi T i S.

(A) 0

(B)

3

2

1

(C)

2

1

(D)

4

1

(E)

2

1


8

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 9.
Losujemy niezależnych realizacji zmiennej losowej z rozkładu
jednostajnego na przedziale

)

3

(

n

n

)

,

0

(

θ

o gęstości

( )

( )



<

<

=

θ

θ

θ

,

0

0

0

1

x

dla

x

dla

x

f

.

Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący

tworzymy przedział

.

{

}

n

x

x

x

,

,

,

2

1

K

)

2

,

2

(

1

1

n

x

x

Dobrać najmniejsze n, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony
przedział pokrywa wartość parametru

θ

jest większe niż 0,9.


(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10


9

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 10.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku w łańcuchu Markowa o
dwóch stanach {

jest postaci

}

2

,

1

2

1

2

1

4

3

4

1

Niech

oznacza stan łańcucha w momencie n.

n

X

Obliczyć

.

)

(

lim

1

+

+∞

n

n

n

X

X

E

(A)

2

5

(B)

5

13

(C)

8

19


(D) 2

(E) granica

zależy od rozkładu początkowego na przestrzeni stanów.

10

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka

7.06.2004 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka


Arkusz odpowiedzi

*




Imię i nazwisko : ..............................KLUCZ ODPOWIEDZI...................................

Pesel ...........................................



Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

1 D

2 C

3 D

4 D

5 C

6 B

7 B

8 E

9 B

10 A




*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Egzamin 2004.06.07, rozwiazania zadań aktuarialnych matematyka finansowa
2004.06.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 06 07 prawdopodobie stwo i statystykaid 25163
Rothkegel (06 07 2004)
2004 06 21
ZU ZP 06 07 WIL
Program nauczania Technik Informatyk 312[01] 2004 06 04
test b - odpowiedzi ostateczne 30[1].06.07, Fizjologia Pracy Prof.Łaszczyca
2004 06 próbny mapa
mięso egz zestawy zrobione z terminu 06 i 07 2013 ściąga, weterynaria, Higiena zwierząt rzeźnych
06 07 87
2013 06 07 10 04id 28349 Nieznany (2)
2004[1].06 schizofrenia, Kliniczna
sta zag zycia 11 06 07
R-06-07, Programowanie, ! HTML, HTML 4 - Vademecum

więcej podobnych podstron