Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada
nieuporządkowanej parze liczb
6
,
,
2
,
1
,
0
,
),
,
(
K
=
j
i
j
i
.
Mówimy, że klocek B(k,l) możemy dołożyć do klocka A(i,j), jeżeli k=i lub k=j lub l=i
lub l=j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie,
na przykład: A(1,2)B(2,0). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu,
jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w
przykładzie liczba 1 lub 0).
Losujemy kolejno trzy klocki K, L, M bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że klocek M możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków K i L, jeżeli
wiadomo, że klocki K i L pasują do siebie.
(A)
91
41
(B)
2
1
(C)
13
6
(D)
26
11
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o
gęstości
n
Z
Z
Z
,
,
,
2
1
K
≤
>
+
=
+
,
0
0
0
)
(
)
(
1
,
x
dla
x
dla
x
x
p
θ
θ
θ
λ
λ
θ
λ
gdzie 0
,
1
>
>
λ
θ
są ustalonymi liczbami.
Wyznaczyć
)
)
,
,
,
min(
|
(
2
1
2
1
t
Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
n
n
=
+
+
+
K
K
, gdzie t jest ustaloną liczbą
większą od 0.
(A)
1
−
+
+
θ
λ
t
nt
(B)
)
1
(
)
)(
1
(
−
+
−
+
θ
λ
n
t
n
nt
(C)
1
)
1
(
−
+
−
+
θ
λ
t
n
nt
(D)
−
+
+
1
θ
λ
t
t
n
(E)
1
)
1
(
−
−
+
θ
λ
n
nt
.
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i
macierzą kowariancji
)
,
,
(
Z
Y
X
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
1
1
5
,
1
4
.
Obliczyć Var
)
)
((
Z
Y
X
+
.
(A) 12,5
(B) 9,5
(C) 11
(D) 10,25
(E) 8,75
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym
, gdzie wektor
)
,
,
,
(
2
1
k
X
X
X
X
K
=
)
,
,
,
,
2
1
k
p
p
p
n
K
(
Mult
)
,
,
,
(
2
1
k
p
p
p
p
K
=
(
0
p
dla i
oraz
) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji
wektora p przy kwadratowej funkcji straty
≥
i
k
,
,
2
,
1 K
=
1
1
=
i
p
Σ
=
k
i
2
)
ˆ
i
p
−
1
(
1
)
ˆ
,
(
k
i
p
k
p
p
L
=
Σ
=
i
.
Wśród estymatorów wektora p postaci
)
,
,
,
(
ˆ
2
1
b
aX
b
aX
b
aX
p
k
+
+
+
=
K
)
ˆ
,
(
p
p
EL
(gdzie a, b
są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy
) stałym, niezależnym od p,
najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego
(A)
)
1
(
1
,
1
−
−
=
−
=
n
k
b
n
n
a
(B)
)
1
(
2
1
,
1
−
−
=
−
=
n
b
n
n
a
(C)
)
1
(
2
1
,
1
+
=
+
=
n
b
n
n
a
(D)
)
1
(
1
,
1
+
=
+
=
n
k
b
n
n
a
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
≤
>
=
+
,
1
0
1
)
(
1
x
dla
x
dla
x
x
f
θ
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru
θ
postaci
θ
ˆ
,
ˆ
n
c
θ
n
d
na poziomie ufności
α
−
1
, gdzie liczby c i d są dobrane tak, aby
2
ˆ
ˆ
α
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
>
=
<
n
c
P
n
d
P
i jest estymatorem największej wiarogodności parametru
θ
ˆ
θ
.
Przy n
=
i
20
05
,
0
=
α
przedział ufności ma postać:
(A)
[
]
θ
θ
ˆ
394
,
1
,
ˆ
663
,
0
(B)
[
]
θ
θ
ˆ
242
,
1
,
ˆ
812
,
0
(C)
[
]
θ
θ
ˆ
484
,
1
,
ˆ
611
,
0
(D)
[
]
θ
θ
ˆ
709
,
1
,
ˆ
480
,
0
(E)
[
]
θ
θ
ˆ
048
,
2
,
ˆ
325
,
0
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
, gdzie oba parametry są nieznane. Estymując parametr
wyznaczono
dwa estymatory
T
- estymator największej wiarogodności i
T
- estymator
nieobciążony o minimalnej wariancji.
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
)
2
σ
1
,
(
µ
N
2
µ
2
Różnica ryzyk estymatora
T
i estymatora
T
przy kwadratowej funkcji straty jest
równa
1
2
(A)
)
1
(
)
1
(
2
4
−
+
n
n
n
σ
(B)
)
1
(
)
3
(
2
4
−
−
n
n
n
σ
(C)
)
1
(
2
2
4
−
n
n
σ
(D)
2
4
n
σ
(E)
2
4
n
σ
−
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Obserwujemy pary (
zmiennych losowych. Zmienne
są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym
, a zmienne
o rozkładzie normalnym
, gdzie
. Wszystkie zmienne
są niezależne. Rozważamy test najmocniejszy hipotezy:
)
,
(
,
),
,
(
),
,
20
20
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
K
)
,
(
2
σ
y
m
N
20
2
1
,
,
,
X
X
X
K
20
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
K
)
1
,
(
x
m
N
4
2
=
σ
H
0
:
(
)
0
,
0
(
)
,
=
y
x
m
m
przeciw alternatywie:
H
1
:
,
)
1
,
1
(
)
,
(
=
y
x
m
m
na poziomie istotności 01
,
0
=
α
.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju tego testu.
(A)
jest mniejsze niż 0,001
(B) 0,004
(C) 0,048
(D) 0,371
(E) 0,010
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
wykładniczym z wartością oczekiwaną 1, a Y
niezależnymi zmiennymi
losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 2. Niech N będzie
zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 4. Wszystkie zmienne są
niezależne. Niech
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
K
,
,
,
,
2
1
n
Y
Y
=
≥
=
=
≥
=
∑
∑
=
=
0
0
1
0
0
1
1
1
N
gdy
N
gdy
Y
S
N
gdy
N
gdy
X
T
N
i
i
N
i
i
Obliczyć współczynnik korelacji corr(T,S) między zmiennymi T i S.
(A) 0
(B)
3
2
1
(C)
2
1
(D)
4
1
(E)
2
1
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Losujemy niezależnych realizacji zmiennej losowej z rozkładu
jednostajnego na przedziale
)
3
(
≥
n
n
)
,
0
(
θ
o gęstości
( )
( )
∉
<
<
=
θ
θ
θ
,
0
0
0
1
x
dla
x
dla
x
f
.
Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący
tworzymy przedział
.
{
}
n
x
x
x
,
,
,
2
1
K
)
2
,
2
(
1
1
−
n
x
x
Dobrać najmniejsze n, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony
przedział pokrywa wartość parametru
θ
jest większe niż 0,9.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku w łańcuchu Markowa o
dwóch stanach {
jest postaci
}
2
,
1
2
1
2
1
4
3
4
1
Niech
oznacza stan łańcucha w momencie n.
n
X
Obliczyć
.
)
(
lim
1
+
+∞
→
n
n
n
X
X
E
(A)
2
5
(B)
5
13
(C)
8
19
(D) 2
(E) granica
zależy od rozkładu początkowego na przestrzeni stanów.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : ..............................KLUCZ ODPOWIEDZI...................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 D
2 C
3 D
4 D
5 C
6 B
7 B
8 E
9 B
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.