Kwantowanie momentu pędu

...

3

,

2

,

1

,

0

)

1

(

=

+

=

l

gdzie

l

l

L

l

ℏ

l - orbitalna liczba kwantowa

Dozwolone wartości jakie może przybierać kwadrat momentu pędu

Moment pędu jest wielkością skwantowaną.

dr Jan Szatkowski

1

l - orbitalna liczba kwantowa

Oznacza to, że dowolny obiekt fizyczny może posiadać
moment

pędu

tylko

o

pewnych,

ś

ciśle

określonych

wartościach.

)

1

(

+

=

≤

l

l

L

L

z

ℏ

l

m

l

l

m

≤

⇒

+

≤

)

1

(

ℏ

ℏ

l

m

±

±

±

=

...

,

2

,

1

,

0

Kwantowanie rzutu momentu pędu

ℏ

m

L

z

=

dr Jan Szatkowski

2

l

m

±

±

±

=

...

,

2

,

1

,

0

Momentu pędu

-

podsumowanie

Dozwolone wartości momentu pędu

...

3

,

2

,

1

,

0

)

1

(

=

+

=

l

gdzie

l

l

L

l

ℏ

Dozwolone wartości rzutu momentu pędu na oś OZ

L

m

=

ℏ

dr Jan Szatkowski

3

0,

1,

2,

3...

z

L

m

gdzie

m

l

=

=

± ±

±

±

ℏ

Atom wodoru

2

2

0

4

1

)

(

r

e

r

U

πε

−

=

dr Jan Szatkowski

4

0

4

r

πε

2

2

2

0

2

4

1

32

n

e

E

n

⋅

−

=

ℏ

ε

π

µ

Liczby kwantowe: n

n - liczba naturalna ,numeruje energię
n = 1,2,3,4,5,…;

n- główna liczba kwantowa

dr Jan Szatkowski

5

0

32

n

ℏ

ε

π

2

1

6

.

13

n

eV

E

n

⋅

−

=

µ −

masa zredukowana

N

e

N

e

m

m

m

m

+

=

µ

2

1

i

i

n

n

Ry

E

−

=

2

1

f

f

n

n

Ry

E

−

=













−

−

=

−

=

∆

1

1

1

i

n

n

Ry

E

E

E

Widma emisyjne atomu wodoru

eV

Ry

6

.

13

1

=

dr Jan Szatkowski

6













−

−

=

−

=

∆

2

2

1

i

f

i

n

n

n

n

Ry

E

E

E

f















−

=

i

f

n

n

R

1

1

1

λ

Długość emitowanej fali

R stała Rydberga

R=1.097 10

7

m

-1

• Absorption spectrum of sodium

• Emission spectrum of uranium-238

7000 Å

6000

5000

4000

Seria Balmera

λ

(Å)

k(cm

-1

)

3

n

=

2

f

n

=

dr Jan Szatkowski

7

• Flame spectrum of strontium

7000 Å

6000

5000

4000

(reproduced from Spectroscopy in Chemistry)

λ

(Å)

k(cm

-1

)

H

α

Czerwony

6565

15234

H

β

Zielono-niebieski

4862

20565

H

γ

Niebieski

4342

23033

H

δ

Fioletowy

4103

24374

3

i

n

=

4

i

n

=

5

i

n

=

6

i

n

=

Liczby kwantowe: n, l, m

l - orbitalna liczba kwantowa

-

określa wartości momentu pędu

elektronu na orbicie

l

=

0,1,2,…n-1;

n – główna liczba kwantowa

-

określa wartości energii elektronu

Stan elektronu w atomie określają liczby kwantowe :

dr Jan Szatkowski

8

l

=

0,1,2,…n-1;

m - magnetyczna liczba kwantowa -

określa rzut momentu pędu

elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni

l

m

±

±

±

=

...

,

2

,

1

,

0

Stan podstawowy - radialna gęstość stanów

r

r

V

r

r

P

∆

Ψ

=

∆

Ψ

=

∆

2

2

2

4

)

(

π

2

2

r

r

−

100

3

1

( , , )

o

r

a

o

r

e

a

θ ϕ

π

−

Ψ

=

dr Jan Szatkowski

9

100

2

2

3

0

( )

4

o

a

r

P

r

e

a

r

−

=

Maksimum prawdopodobieństwa

dla r = a

0

0

0

r

a

=

pierwszy stan wzbudzony: n=2, ℓ=0, m

ℓ

=0

200

2

2

3

1

2

8

o

r

a

r

o

o

r

r

P

e

a

a

−





=

−









Atom wodoru

Pierwszy stan wzbudzony - radialna gęstość stanów

dr Jan Szatkowski

10

Pierwszy stan wzbudzony - p orbitale

pierwszy stan wzbudzony: n=2, ℓ=1, m

ℓ

= 0

dr Jan Szatkowski

11

dr Jan Szatkowski

12

Orbitalny moment magnetyczny elektronu

1

2

/

2

e

ev

I

e

T

r v

r

π

π

= =

=

IA

µ

=

2

2

2

2

ev

evr

evr m

r

r

m

µ

π

π

=

⋅

=

=

⋅

2

e

L

m

µ

=

2

e

L

m

µ

= −





Moment magnetyczny elektronu

Podobnie do momentu magnetycznego związanego z orbitalnym

momentem pędu elektron posiada również własny moment magne-
tyczny związany z własnym momentem pędu L

s

.

s

e

e

s

L

m

e

g





2

−

=

µ

s

e

s

L

m

e 



−

=

µ

dr Jan Szatkowski

14

e

m

2

gdzie g

e

jest stałą gyromagnetyczną elektronu.

Dla elektronu swobodnego g

e

=2

Wartość własnego moment pędu elektronu :

)

1

(

+

=

s

s

L

s

ℏ

Liczba spinowa s = ½ s ⇒

2

3

ℏ

=

s

L

Własny moment pędu - spin

Rzut własnego momenty pędu na wybraną oś

dr Jan Szatkowski

15

ℏ

s

sz

m

L

=












−

+

=

2

1

2

1

s

m

Własny moment magnetyczny elektronu

B

e

sz

e

sz

e

sz

m

e

m

e

L

m

e

µ

µ

µ

∓

ℏ

∓

ℏ

=

=













±

⋅

−

=

−

=

2

2

1

L

s

sz

µ

dr Jan Szatkowski

16

2

1

+

=

s

m

2

1

−

=

s

m

L

s

sz

µ

Elektron w polu magnetycznym

B

E

E

sz

µ

−

=

0

2

1

+

=

s

m

dr Jan Szatkowski

17

2

1

−

=

s

m

Stan elektronu charakteryzowany jest poprzez:

energię, wartość momentu pędu, rzut momentu pędu oraz
wartość rzutu własnego momentu pędu

nazwa

symbol

wartość

główna liczba

kwantowa

n

1, 2, 3, ...

dr Jan Szatkowski

18

poboczna liczba

kwantowa

l

0, 1, 2, ... n-1

magnetyczna

liczba kwantowa

m

l

od –

l

do +

l

spinowa

liczba kwantowa

m

s

± 1/2

Zakaz Pauliego

Nie może być dwu elektronów w tym samym stanie kwantowym..

E

NIE

dr Jan Szatkowski

19

E

Zakaz Pauliego

dr Jan Szatkowski

20

Energia wiązania

E = m c

2

Proton: mc

2

= 938.3MeV

dodając do siebie

E

B nuclear

= [

Z

m

H

c

2

+

N

m

n

c

2

] – [ M

A

c

2

]

Neutron: mc

2

= 939.5MeV

Deuteron: mc

2

=1875.6MeV

dodając do siebie
otrzymamy 1877.8MeV

Ró

ż

nica jest energi

ą

wi

ą

zania równ

ą

2.2MeV

Żelazo (Fe) ma najwyższą wartość energii wiązania na jeden
nukleon .

B

IN

D

IN

G

E

N

E

R

G

Y

i

n

92

238

U

10

Energia wiązania

B

IN

D

IN

G

E

N

E

R

G

Y

i

n

M

e

V

/n

u

c

le

o

n

92

238

U

• 3000 znanych izotopów

ale jedynie

266

stabilnych

!

–jądra o Z > 83 nie są

stabilne!

Line of Stability

N

eu

tr

o

n

N

u

m

b

er

N

100

ostatnie stabilne jądro

•Wyjątkowa stabilność

dla „liczb
magicznych”

–Z, N = 2, 8, 20, 28, 50,

82, 126

N = Z

Proton Number Z

N

eu

tr

o

n

N

u

m

b

er

N

100

50

50

0

0

0

t

t

t

N

N e

dN

R

N

e

R e

dt

λ

λ

λ

λ

−

−

−

=

=

=

=

Rozpady promieniotwórcze



R - Szybkość rozpadu



λ

= stała rozpadu

τ

= 1/

λ

=

czas życia

,



t

1/2

= czas połowicznego rozpadu

1/ 2

ln 2

ln 2

T

τ

λ

=

=

Rozpady promieniotwórcze

Aktywność próbki – całkowita szybkość rozpadu w próbce
zawierającej jeden lub więcej nuklidów promieniotwórczych

Jednostka:

1 bekerel = 1 Bq = 1 rozpad na sekundę

( )

1/2

ln 2

0

t

T

N t

N e

−

=

Przed

226

88

Ra

po rozpadzie

αααα

222

86

Rn

Rozpad:

α

( ) (

) ( )

4

4

2

4

4

2

2

Z

2

2

A

A

A

Z

A

Z

Z

X

D

Q

M

X

M

D

M

H

He

e

c

−

−

−

−

→

+





=

−

−





α

4

2

222

86

226

88

+

→

Rn

Ra

Uranium Isotopes

Isotope

Percent Half-life (years)

238

U

99.284 4.46 billions

U

99.284 4.46 billions

235

U

0.711

704 millions

234

U

0.0055 245,000

239

Pu

93/57

24,110

Rozszczepieni jąder uranu

2011-06-04

Q

n

Sr

Xe

U

n

+

+

+

→

+

2

94

38

140

54

235

92

Q

n

Kr

Ba

U

n

+

+

+

→

+

3

91

36

142

56

235

92

MeV

Q

200

≈

W wyniku rozszczepienia

1 kg

Uranu

można otrzymać

22 miliony kWh

energii

można otrzymać

22 miliony kWh

energii

W 2001 roku w USA skonsumowano około 1x10

20

J energii, odpowiada to energii otrzymanej z
rozszczepienia 1300 ton uranu

Reaktor jądrowy