Prawdopodobieństwo geometryczne

Zad. 1. Pan X dojeżdża do pracy tramwajem lub autobusem, w zależności od tego, co

przyjedzie pierwsze. Autobus przyjeżdża zawsze o pełnej godzinie, tramwaj 20 minut
po nim. Jakie jest prawdopodobieństwo, że X pojedzie tramwajem?

Zad. 2. Dwie osoby mogą przyjść na spotkanie w każdej chwili z przedziału [0, T ]. Obliczyć

prawdopodobieństwo, że jedna z tych osób nie będzie musiała czekać na drugą dłużej
niż t.

Zad. 3. Na okręgu wybrano losowo 3 punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzy-

many trójkąt jest ostrokątny?

Zad. 4. Losujemy 3 liczby a, b, c z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

a < b < c?

Zad. 5. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Wyznaczyć praw-

dopodobieństwo, że jej długość nie przekracza boku trójkąta równobocznego wpisa-
nego w to koło.

Prawdopodobieństwo geometryczne – zadania na kolokwium

Zad. 1. W dwóch losowych momentach t

x

i t

y

z przedziału [0, T ] powinny pojawić się

niezależnie od siebie zdarzenia X i Y . Zdarzenia te uważamy za pokrywające się,
jeżeli −a ¬ t

x

− t

y

¬ b, a > 0, b > 0. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:

a) X pojawi się wcześniej niż Y ,
b) X i Y pokrywają się,
c) Y pojawi się wcześniej niż X przy założeniu, że X i Y pokrywają się.

Zad. 2. Wybieramy losowo punkt kwadratu jednostkowego 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1.

Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że:

a) x ­

1
2

przy x + y ­

1
3

,

b) x ­ y przy xy ­

1
4

,

c) y ¬

1
2

przy x =

1
2

,

d) x

2

+ y

2

¬

1
4

przy xy ¬

1

16

.

Zad. 3. Na odcinek AB rzucono w sposób losowy trzy punkty. Obliczyć prawdopodobień-

stwo, że z trzech odcinków o długościach równych odległościom tych punktów od A
można utworzyć trójkąt.

Zad. 4. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania kwadratowego

x

2

+ 2ax + b = 0 są rzeczywiste, jeśli współczynniki mogą przyjąć z jednakowym

prawdopodobieństwem każdą z wartości w prostokącie −k ¬ a ¬ k, −l ¬ b ¬ l.

Zad. 5. Na płaszczyźnie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą

ją na prostokąty o bokach a i b, a ¬ b. Na płaszczyznę tą rzucono w sposób losowy
monetę o średnicy 2r < a. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej
z prostych.