1

Geometrayczna definicja prawdopodobieństwa

Załóżmy, że w przestrzei zdażeń elementarnych Ω na σ-ciele F podzbiorów będących zdażeniami losowymi,
określona jest pewna miara µ : F → R przy czym 0 < µ(Ω) < ∞, załóżmy ponadto, że szanse otrzymania
elementarnego ]omega należącego do zbioru A ∈ F niezależną od kształtu ani położenia zbiory A w przestrzeni
Ω tylko jego miary. Wtedy jego prawdopodobieństwo zajścia zdażenia jest równe

P [A] =

µ(A)

µ(Ω)

(1.1)

W praktycznych zastosowaniach tej definicji najczęśćiej Ω jest podzbiorem ograniczonym przestrzeniami

R

1

, R

2

, R

3

, a miara µ jest długością zbioru, polem powierzchni lub objętością.

Przykład

Strzelamy do kwadratowej tarczy o boku a, 0 < a < ∞ Jako wynik strzału przyjmujemy współrzędne punktu
w którym pocisk uderzył w tarczę w prostokątnym układzie współrzędnych wprowadzonym w środku tarczy.
Jakie jest prawdopodobieńśtwo zdażenia, że pocisk trafi w koło stuczne do wszystkich krawędzi tarczy?
Ω = {(x, y) ∈ R

2

: −

a
2

¬ y ¬

a
2

}

A = {(x, y) ∈ Ω : x

2

+ y

2

¬ (

a
2

)

2

}

Stosujemy def. geometryczną prawdopodobieństwa z miarą µ równą polu powierzchni zbiorów.
µ(Ω) = a

2

pole powierzchni kwadratu

µ(A) = π(

a
2

)

2

=

πa

2

4

P [A] =

µ(A)
µ(Ω)

=

πa

2

a

2

=

π

4

1