Figura geometryczna – dowolny zbiór punktów

z przestrzeni euklidesowej, np. linia prosta, kula,

kwadrat.

Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą

nazwę figur płaskich, w przestrzeni

trójwymiarowej – brył geometrycznych.

Dział geometrii dotyczący figur płaskich to

planimetria; dotyczący brył to stereometria.

Słowa figura używa się też czasem wyłącznie

w znaczeniu figury płaskiej.

FIGURY GEOMETRYCZNE

FIGURA GEOMETRYCZNA TO ZBIÓR PUNKTÓW

PŁASZCZYZNY

CO TO JEST FIGURA GEOMETRYCZNA

Figury

geometryczne



Kwadrat



Prostokąt



Trójkąt



Romb



Równoległobok



Deltoid

PUNKTY

zaznaczamy kropkami i

oznaczamy dużymi literami

alfabetu

.

A

.

K

.

W

.

Z

.

RR

Prosta

Prosta

lub

linia prosta

- jedno z najważniejszych pojęć geometrii.

Potocznie:

nie zakrzywiona, nie ograniczona z obydwu

stron linia o zerowej grubości.

Opis ten pasuje do prostych w zwyczajnej geometrii, tzw. geometrii

euklidesowej. Jej nazwa pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który

w III wieku p.n.e. w wielkim dziele Elementy po raz pierwszy opisał

podstawowe pojęcia geometryczne, w tym prostą. Więcej na temat prostych

w geometrii euklidesowej podano w sekcji Geometria euklidesowa.

W matematyce rozważane są także inne geometrie. Przykładowo geometria

powierzchni kuli (tzw. geometria sferyczna) była od I wieku n.e

.

rozwijana na

potrzeby podróżników i astronomów. Pojęcie prostej można uogólnić na

przestrzenie nieeuklidesowe. Jeśli tylko jest określona odległość między

punktami danej przestrzeni matematycznej, odpowiednikiem prostych w tej

przestrzeni są tzw. linie geodezyjne czyli linie określające najkrótsze drogi
między punktami. Według tej ogólnej definicji,

prosta to taka, nie

posiadająca końców krzywa, która dla

każdych dwóch swoich punktów zawiera w

całości najkrótszą drogę pomiędzy nimi.

PROSTA

PROSTA NIE MA

ANI

POCZĄTKU,

ANI

KOŃCA

!

A

B

a

JAK NAZWAĆ PROSTĄ ?

.

.

a

C

D

prosta a

prosta CD

Półprosta

Półprosta to jednowymiarowa figura

geometryczna powstała przez
przecięcie prostej w dowolnie
wybranym punkcie, nazywanym
początkiem półprostej.
Punkt ten, oraz wszystkie punkty
prostej leżące po jednej jego stronie
tworzy półprostą.

PÓŁPROSTA

.

Półprosta ma początek, ale nie ma końca

…...

Półprostą

o początku A nazywamy każdą

z części prostej AB (AB), na jakie dzieli

ją punkt A. Półprostą, do której należy
punkt B, nazywamy półprostą AB

A

B

JAK NAZWAĆ PÓŁPROSTĄ?

.

.

C

D

.

.

półprosta CD

.

K

L

półprosta KL

.

półprosta a

a

Odcinek

Odcinek - w geometrii część prostej

zawarta pomiędzy dwoma jej
punktami
z tymi punktami włącznie.

Odcinek w całości zawiera się

wewnątrz tej prostej.

A

B

Odcinkiem

o końcach A i B

nazywamy część prostej AB
zawartą między punktami A,B
wraz z tymi punktami.

ODCINEK

.

.

A

B

odcinek AB

ZAPAMIĘTAJ

: odcinek ma dwa końce

!

ŁAMANA

.

.

.

.

.

.

.

.

.

łamana otwarta ABCD

łamana zamknięta KLMNO

A

B

C

D

K

L

M

N

O

DEFINICJA

Kąt-to część płaszczyzny ograniczona

dwiema półprostymi o wspólnym początku.

wierzchoł
ek

rami
ę

ramię

KĄT - DEFINICJA

* WYRÓŻNIAMY KĄTY

a) wklęsłe

b) wypukłe

wypukły

wklęsł
y

RODZJE KĄTÓW

* ZE WZGLĘDU NA MIARY

Ostry – od 1 - 89

Prosty - 90

Rozwarty- od 91 - 179

Półpełny - 180

Pełny - 360

Wklęsły – od 181 do 359

PODZIAŁ KĄTÓW

Jest to kąt płaski, którego obszar zawiera wszystkie
punkty płaszczyzny; jego ramiona pokrywają się.
 

                                             

KĄT PEŁNY

Jest to kąt płaski stworzony przez półproste
uzupełniające się, czyli taki, którego ramiona tworzą
linię prostą.
 

                                             

KĄT PÓŁPEŁNY

Jest to kąt płaski będący połową kąta półpełnego.

 

 

                             

 

             

KĄT PROSTY

Jest to taki kąt płaski, który jest mniejszy niż kąt
prosty i większy niż kąt zerowy.

 

                             

 

             

KĄT OSTRY

Jest to kąt płaski, który jest większy od kąta
prostego i mniejszy od kąta półpełnego.

 

 

                              

 

               

KĄT ROZWARTY

Jest to para kątów płaskich, które mają jedno ramię
wspólne, a dwa ich pozostałe ramiona tworzą prostą.

 

 

                             

 

               

KĄTY PRZYLEGŁE

Kątami przyległymi

nazywamy takie dwa kąty,

które mają jedno ramę

wspólne, a pozostałe

ramiona są półprostymi

dopełniającymi się.

Suma miar kątów

przyległych równa się 180

Kąty wypukłe, których ramiona

wzajemnie się przedłużają,

nazywamy kątami

wierzchołkowymi.

Kąty wierzchołkowe mają

równe miary.

KĄTY PRZYLEGŁE I WIERZCHOŁKOWE

Nazwy i własności kątów powstających

przez przecinające się proste.

*

Suma kątów przyległych wynosi 180

o

Nazwy i własności kątów

powstających przez przecinające się

proste.

Jakie miary mają kąty  ?

Zadanie

Z trzech odcinków można

zbudować trójkąt tylko wtedy,

gdy suma dwóch krótszych

odcinków jest większa od

najdłuższego.

Suma miar kątów

trójkąta wynosi

180

MIARY KĄTÓW W TRÓJKĄTACH

Ostrokątny

Prostokątny

Rozwartokątn
y

Równoramienny

Równobocz
ny

KLASYFIKACJA TRÓJKĄTÓW

Rodzaje trójkątów

a) trójkąt ostrokątny, który ma wszystkie kąty ostre

b) trójkąt prostokątny, który ma kąt prosty i dwa ostre

c) trójkąt rozwartokątny, który ma kat rozwarty i dwa

ostre

Ze względu na miarę tego największego
kąta rozróżniamy trzy rodzaje trójkątów:

Ze względu na boki wyróżniamy

także trzy rodzaje trójkątów:

a) trójkąt równoboczny
b) trójkąt równoramienny
c) trójkąt różnoboczny

czworokąty

jedna para
boków

równoległyc
h

nie mają
boków

równoległyc
h

trapezy

dwie pary boków

równoległych

równoległobo
ki

wszystki
e

wszystki
e

kąty
przystające

prostokąt
y

boki
równe
romby

wszystki
e

wszystki
e

boki równe

kąty
przystające

kwadraty

trapezoidy

dwie pary boków
sąsiednich
równych

deltoidy

Czworokąty to:

Symetria w czworokątach -

KWADRAT

• wszystkie boki
równe

• przeciwległe boki

równoległe

• wszystkie kąty
proste

• przekątne są
równe, dzieląc się
na połowy
i są prostopadłe

• symetria osiowa

• symetria
środkowa

Symetria w czworokątach -

PROSTOKĄT

• przeciwległe boki
równe i równoległe

• wszystkie kąty
proste

• przekątne są
równe
i dzielą się na
połowy

• symetria osiowa

• symetria
środkowa

Symetria w czworokątach -

ROMB

• wszystkie boki równe

• przeciwległe boki równoległe

• przeciwległe kąty równe

• przekątne dzielą się na połowy
i są prostopadłe

• symetria osiowa

• symetria środkowa

Symetria w czworokątach -

DELTOID

• dwie pary sąsiednich
boków równych

• przekątne są
prostopadłe

• symetria osiowa

Symetria w czworokątach –

TRAPEZ

RÓWNORAMIENNY

• podstawy równoległe

• symetria osiowa

Symetria w czworokątach -

RÓWNOLEGŁOBOK

• przeciwległe boki
równe
i równoległe

• przeciwległe kąty
równe

• przekątne dzielą się
na
połowy

• symetria środkowa

*

*

Każdy równoległobok ma oś

Każdy równoległobok ma oś

symetrii.

symetrii.

Jest nim punkt przecięcia

Jest nim punkt przecięcia

przekątnych.

przekątnych.

Kwadrat

Kwadrat to czworokąt

foremny

o równych bokach i

przystających kątach

(wszystkie kąty są proste).

Kwadrat to szczególny

przypadek prostokąta o

wszystkich bokach równych a

także rombu

o wszystkich kątach równych.

Każde dwa kwadraty są do

siebie podobne.

Kwadrat

Kwadrat to czworokąt foremny o

równych bokach i przystających kątach

(wszystkie kąty w kwadracie są proste).

Kwadrat to szczególny przypadek

prostokąta o wszystkich bokach

równych a także rombu o wszystkich

kątach równych.

Przekątne kwadratu są wzajemnie

prostopadłe oraz mają jednakową

długość. Ich punkt przecięcia dzieli

każdą z nich na dwie równe części.

Punkt ten jest także środkiem symetrii

kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte

są w dwusiecznych jego kątów.

Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery

osie symetrii: dwie z nich to proste

zawierające przekątne, drugie dwie to

symetralne boków.

Trójkąt

Trójkąt - figura geometryczna o trzech niewspółliniowych

wierzchołkach.
Boki trójkąta to odcinki łączące wszystkie trzy pary
wierzchołków.
W przestrzeni płaskiej

(euklidesowej)

suma kątów

wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu .

ProstokĄt

• Prostokąt to figura geometryczna - czworokąt o

wszystkich kątach prostych.

• Szczególnym przypadkiem prostokąta jest

kwadrat.

Romb

• Romb to równoległobok, którego wszystkie cztery

boki mają równą długość. Szczególnym
przypadkiem rombu jest kwadrat. Przekątne tego
wielokąta przecinają się w połowie pod kątem
prostym.

Równoległobok

• Równoległobok to figura geometryczna - czworokąt, który

ma dwie pary boków równoległych. Przekątne
równoległoboku przecinają się w połowie. Przeciwległe kąty
są równej miary. Suma miar kątów sąsiednich wynosi 180
stopni. Szczególnymi przypadkami równoległoboku są romb
i prostokąt.

Trapez

Trapez (ang

.

Trapezium ,

US trapezoid) –

czworokąt, który

posiada dwa równoległe

boki zwane

podstawami. Dwa

pozostałe boki zwane

są ramionami. Wśród

trapezów wyróżniamy:

trapezy równoramienne

– ramiona tej samej

długości

trapezy prostokątne –

dwa kąty proste.

Deltoid

• Deltoid ("latawiec") to czworokąt, który ma oś symetrii

przechodzącą przez dwa jego wierzchołki. Równoważnym

warunkiem jest istnienie dwóch par przylegających boków o

równych długościach.

• Przekątne deltoidu są wzajemnie prostopadłe, jedna

przekątna zawarta jest w osi symetrii i jest symetralną

drugiej przekątnej. Deltoid ma parę przeciwległych kątów .

• Szczególnymi przypadkami deltoidu są romb oraz kwadrat..

Wzory na pola figur:

- kwadrat

- prostokąt

- trójkąt

- trapez

- równoległobok

- koło

POLE KWADRATU

P=a

.

a=

a

2

Pola figur płaskich –

WZORY -

KWADRAT

POLE PROSTOKĄTA

P=a

.

b

Pola figur płaskich –

WZORY -

PROSTOKĄT

POLE TRÓJKĄTA

h

a

2

1

P







Pola figur płaskich –

WZORY -

TRÓJKĄT

POLE TRAPEZU

h

2

b)

(a

P







Pola figur płaskich –

WZORY -

TRAPEZ

POLE RÓWNOLEGŁOBOKU

P=a

.

h

Pola figur płaskich –

WZORY -

RÓWNOLEGŁOBOK

POLE KOŁA

P=

.

r

2

Pola figur płaskich –

WZORY -

KOŁO

Kąty przyległe mają

w sumie 180

o

.

Kąty wierzchołkowe są

równe.

Kąty odpowiadające

wyznaczone przez proste

równoległe są równe.

Kąty naprzemianległe

wyznaczone przez proste

są równe.

Rodzaje kątów

ostrokątny

prostokątny

rozwartokątny

równoboczny

(dowolny)

                                  

           

α < 90°

β < 90°

δ < 90°

                                    

            

     

  C = 90°

α + β = 90°

                                   

    

        

90° < α < 180°

α < 90° i β < 90°

równoramienny

                                  

             

α = β, α < 90°

β < 90°, δ < 90°

                                    

                

    

α = β = 45°

       C = 90°

                                   

                   

α = β, α < 90°

β < 90°

90° < δ < 180°

równoboczny

                                  

     

          

α = 60°

Nie ma

takiego

trójkąta

Nie ma

takiego

trójkąta

Trójkąty

kąty

boki

przekątne

Równoległobok

Przeciwległe kąty

równe

Przeciwległe boki

równe i równoległe

Przekątne dzielą się na

połowy

Romb

Przeciwległe kąty

równe

Wszystkie boki równe,

przeciwległe boki

równoległe

Przekątne dzielą się na

połowy i są

prostopadłe

Prostokąt

Wszystkie kąty proste

Przeciwległe boki

równe i równoległe

Przekątne są równe i

dzielą się na połowy

Kwadrat

Wszystkie kąty proste

Wszystkie boki równe,

przeciwległe boki

równoległe

Przekątne są równe,

dzielą się na połowy i

są prostopadłe

Deltoid

X

Dwie pary sąsiednich

boków równych

Przekątne są

prostopadłe.

Opis wielokątów

Wzór na pole

Wzór na obwód

Rysunek

Kwadrat

a

2

4a

Prostokąt

a · b

2· (a + b)

Równoległobok

a·h1

2· (a + b)

Romb

a·h

4a

Trapez

a + b + c +d

Trójkąt

a + b + c

b

a

a

a

a

a

a

c

d

b

a

c

b

a

b

h

1

h

b

a




2

2

h

a

Wzory

Odszukaj wśród figur trójkąty
prostokątne

.

Zadanie 1

Wybierz figury, które są
trapezami.

Zadanie 2

Który z kątów jest kątem ostrym ? Pokaż właściwą
strzałkę.

Zadanie 4.

Który z kątów jest kątem rozwartym ? Pokaż właściwą
strzałkę.

Zadanie 3

Co wskazuje strzałka ? Wybierz właściwą
odpowiedź.

wierzchołe

k

bok

podstawę

Zadanie 4

Co wskazuje strzałka ? Wybierz właściwą
odpowiedź.

wierzchołe

k

przekątną

bok

kąt

Zadanie 5

Połącz nazwę z figurą.

kwadrat

romb

prostoką

t

trójkąt

równoramienny

trójkąt

prostokątny

pięciokąt

sześciok

ąt

czworok

ąt

trapez

prostokątny

trapez

równoramienn

y

Zadanie 7

Połącz nazwę z figurą.

trapez

prostokątny

trapez

równoramienn

y

trójkąt

prostokątny

trójkąt

równoramienny

prostokąt

kwadrat

równoległobok

równoległobok

romb

prostokąt

Zadanie 8