[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

1

Wektor zerowy – 0

.

Własności wektora zerowego 𝟎

:

1. Długośd wektora zerowego 0

= 0.

2. Nie ma określonego kierunku i zwrotu.
3. Jest równoległy i prostopadły do każdego wektora, do każdej prostej i do każdej

płaszczyzny.

Dwa wektory są sobie równe gdy mają ten sam kierunek, zwrot i długośd.


Działania na wektorach:

1. Suma wektorów.

Działanie sumy wektorów jest łączne i przemienne:
𝑎

+ 𝑏

= 𝑏

+ 𝑎

2. Wektor przeciwny do wektora 𝑎

oznaczamy −𝑎

.

Mają ten sam kierunek, przeciwny zwrot i tę samą
długośd: 𝑎

= −𝑎

3. Iloczyn wektora przez liczbę.

Jeżeli mamy 𝑎

to iloczyn wektora 𝑎

przez liczbę 𝛼, rozumiemy taki wektor

𝑏

= 𝛼 ∙ 𝑎

.

a) gdy 𝛼 > 0 to wektor

𝛼 ∙ 𝑎

ma ten sam kierunek i zwrot.

b) gdy 𝛼 < 0 to wektor

𝛼 ∙ 𝑎

ma ten sam kierunek ale

przeciwny zwrot.

𝑏

= 𝛼 ∙ 𝑎

= 𝛼 ∙ 𝑎

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

2

4. Różnica wektorów

𝑎

– 𝑏

≝ 𝑎

+ −𝑏

= −𝑏

+ 𝑎

Dodajemy wektor przeciwny do wektora 𝑏

.

5. Prawo trójkąta

a) 𝑎

– 𝑏

≤ 𝑎

+ 𝑏

≤ 𝑎

+ 𝑏

b) 𝑎

– 𝑏

≤ 𝑎

− 𝑏

≤ 𝑎

+ 𝑏

6. Prawo równoległoboku.

Rzut wektora na oś.
𝑎

𝑠

- rzut wektora na oś OS uzyskujemy przez zrzutowanie prostopadłe początku i kooca tego
wektora.

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

3

Współrzędną wektora 𝑎

względem osi OS nazywamy:

𝑎

𝑠

= 𝑠

𝑎

− 𝑠

𝑝

1. 𝜑 = ∡ 𝑎

, 𝑂𝑆 ∈ 0,

𝜋

2

, 𝑎

𝑠

> 0, 𝑏𝑜 𝑠

𝑎

> 𝑠

𝑝

2. 𝜑 = ∡ 𝑎

, 𝑂𝑆 ∈

𝜋

2

, 𝜋 , 𝑎

𝑠

< 0, 𝑏𝑜 𝑠

𝑎

< 𝑠

𝑝

3. 𝜑 =

𝜋

2

, 𝑎

𝑠

= 0, 𝑎

𝑠

= 0

Wygląd współrzędnej:

𝑎

𝑠

=

𝑎

𝑠

, 𝑔𝑑𝑦 𝑎

𝑠

𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑔𝑜𝑑𝑛𝑖𝑒 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑙𝑒𝑔ł𝑦 𝑧 𝑂𝑆

− 𝑎

𝑠

, 𝑔𝑑𝑦 𝑎

𝑠

𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑐𝑖𝑤𝑛𝑖𝑒 𝑟ó𝑤𝑛𝑜𝑙𝑒𝑔ł𝑦 𝑧 𝑂𝑆

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

4

Dla 𝜑 ∈ 0,

𝜋

2

𝑐𝑜𝑠𝜑 =

𝑎

𝑠

𝑎

⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜑 =

𝑎

𝑠

𝑎

𝑔𝑑𝑦 𝑎

≠ 0

Dla 𝜑 ∈

𝜋

2

, 𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝜑 =

𝑎

𝑠

𝑎

=

−𝑎

𝑠

𝑎

⇒ −𝑐𝑜𝑠𝜑 =

−𝑎

𝑠

𝑎

𝑐𝑜𝑠𝜑 =

𝑎

𝑠

𝑎

𝑔𝑑𝑦 𝑎

≠ 0

𝑎

𝑠

= 𝑎

𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑎

𝑐𝑜𝑠 ∡ 𝑎

,

𝑂𝑆

Wniosek:
Jeżeli 𝑎

= 1 𝑎

𝑠

= 𝑐𝑜𝑠 ∡ 𝑎

, 𝑂𝑆 cosinus kierunkowy wektora 𝑎 .

Wersor – wektor jednostkowy.

Wersor niezerowego wektora 𝑎 jest to wektor zgodnie równoległy z tym wektorem albo z tą
osią i oznaczamy w przypadku wektora: 𝑎

, osi 𝑠

.

𝑎

=

𝑎

𝑎

=

1

𝑎

∙ 𝑎

𝑎

=

𝑎

𝑎

= 1

1. 𝑎

𝑠

= 𝑎

𝑠

∙ 𝑠

2. 𝑎

∙ 𝑎

= 𝑎

Przestrzeo trójwymiarowa ℝ

𝟑

- wyróżniamy wersowy

a) Ox ⟶ 𝑖

b) Oy ⟶ 𝑗

c) Oz ⟶ 𝑘

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

5

Wersory osi prostokątnego kartezjaoskiego układu osi:

𝑖

= 𝑘

= 𝑗 = 1

Współrzędna 𝑖

względem Ox

𝑖

= 1,

0, 0

Współrzędna 𝑗

względem Oy

𝑗

= 0,

1,

0

Współrzędna 𝑘

względem Oz

𝑘

= 0, 0, 1

Kombinacja liniowa wektorów 𝑎

𝑖

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

𝜆

𝑖

𝑎

𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝜆

1

𝑎

1

+ 𝜆

2

𝑎

2

+ ⋯ + 𝜆

𝑛

𝑎

𝑛

𝜆

𝑖

- liczby które nazywamy współczynnikami kombinacji liniowych

Rzutem wektora 𝑎

na oś x jest 𝑎

𝑥

.

Rzutem wektora 𝑎

na oś y jest 𝑎

𝑦

.

Rzutem wektora 𝑎

na oś z jest 𝑎

𝑧

.

𝑎

𝑥

= 𝑎

𝑥

∙ 𝑖

⟶ 𝑎

𝑥

- współrzędna wektora 𝑎

względem Ox

𝑎

𝑦

= 𝑎

𝑦

∙ 𝑗

⟶ 𝑎

𝑦

- współrzędna wektora 𝑎

względem Oy

𝑎

𝑧

= 𝑎

𝑧

∙ 𝑘

⟶ 𝑎

𝑧

- współrzędna wektora 𝑎

względem Oz

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

6

𝑎

= 𝑎

𝑥

+ 𝑎

𝑦

+ 𝑎

𝑧

= 𝑎

𝑥

𝑖

+ 𝑎

𝑦

𝑗

+ 𝑎

𝑧

𝑘

=

= 𝑎

𝑥

1, 0, 0 + 𝑎

𝑦

0, 1, 0 + 𝑎

𝑧

0, 0, 1 =

= 𝑎

𝑥

, 𝑎

𝑦

, 𝑎

𝑧

𝑎

= 𝑎

𝑥

𝑖

+ 𝑎

𝑦

𝑗

+ 𝑎

𝑧

𝑘

- jest kombinacją liniową wektorów 𝑖 , 𝑗 ,

𝑘

, natomiast 𝑎

𝑥

, 𝑎

𝑦

, 𝑎

𝑧

to

współczynniki kombinacji liniowej tych wektorów.

Baza: 𝓑

ℬ = 𝑖 𝑗

𝑘

- jest to baza ortonormalna.

Baza przestrzeni ℝ

3

jest złożona z dowolnych n wektorów 𝑒

𝑖

, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 liniowo

niezależnych tzn. spełniających następujący warunek:

𝜆

𝑖

𝑒

𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0

⇒ ∀

𝑖=1,2,…,𝑛

𝜆

𝑖

= 0

Wśród baz wyróżniamy bazy:

1. Ortogonalna – baza, w której wektory bazy są parami do siebie prostopadłe.
2. Unormowana – baza, w której wszystkie wektory bazowe mają długośd równą 1.
3. Ortonormalna – baza, która jest ortogonalna i unormowana.

ℬ = 𝑖 𝑗

𝑘

𝑖

⊥ 𝑗

∧ 𝑗

⊥ 𝑘

∧ 𝑖 ⊥ 𝑘

∧ 𝑖 = 𝑗 = 𝑘

= 1

Współrzędne wektora w danej bazie są wyznaczone jednoznacznie.

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

7

Weźmy 𝑎

≠ 0 i układ współrzędnych Ox, Oy, Oz.

𝛼, 𝛽, 𝛾 - kąty kierunkowe wektora 𝑎

.

𝑎

𝑥

= 𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛼

Z tego wynika, że znajomośd długości

wektora i kątów 𝛼, 𝛽, 𝛾 umożliwia

obliczenie współrzędnych wektora

𝑎

𝑦

= 𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑎

𝑧

= 𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛾

𝑎

= 𝑎

𝑥

, 𝑎

𝑦

, 𝑎

𝑧

ℬ

𝑎

= 𝑎

𝑥

2

+ 𝑎

𝑦

2

+ 𝑎

𝑧

2

𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑎

𝑥

𝑎

⇒

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠

𝑎

𝑥

𝑎

𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠

𝑎

𝑦

𝑎

𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 0,

𝜋

𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠

𝑎

𝑧

𝑎

Cosinusy kierunkowe niezerowego wektora spełniają daną zależnośd:

𝑐𝑜𝑠

2

𝛼 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛽 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛾 = 1

Uzasadnienie:

𝑐𝑜𝑠

2

𝛼 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛽 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛾 =

𝑎

𝑥

𝑎

2

+

𝑎

𝑦

𝑎

2

+

𝑎

𝑧

𝑎

2

=

=

𝑎

𝑥

2

+ 𝑎

𝑦

2

+ 𝑎

𝑧

2

𝑎

2

=

𝑎

2

𝑎

2

= 1

więc 𝑎

≠ 0

𝑎

= 𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛼,

𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛽,

𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛾

𝑎

= 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 bo 𝑎

= 1

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

8

Zadanie
Obliczyd współrzędne wektora 𝑎

o długości 𝑎

= 3 i kątach kierunkowych:

a) 𝛼 =

𝜋

4

, 𝛽 =

𝜋

3

, 𝛾 =

2

3

𝜋

b) 𝛼 =

𝜋

4

, 𝛽 =

𝜋

3

, 𝛾 =

𝜋

4

O ile taki wektor istnieje.

Ad.a)

𝑐𝑜𝑠

2

𝛼 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛽 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛾 =

2

2

2

+

1
2

2

+ −

1
2

2

=

2
4

+

1
4

+

1
4

= 1

Wektor istnieje.

𝑎

= 3 ∙

2

2

, 3 ∙

1
2

, −3 ∙

1
2

=

3 2

2

,

3
2

, −

3
2

Ad.b)

𝑐𝑜𝑠

2

𝛼 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛽 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝛾 =

2

2

2

+

1
2

2

+

2

2

2

=

5
4

≠ 1

Wektor nie istnieje.

Jeżeli wektor 𝑎

ma współrzędne 𝑎

= 𝑎

𝑥

𝑎

𝑦

𝑎

𝑧

i 𝑏

= 𝑏

𝑥

𝑏

𝑦

𝑏

𝑧

to:

𝑎

+ 𝑏

= 𝑎

𝑥

+ 𝑏

𝑥

, 𝑎

𝑦

+ 𝑏

𝑦

, 𝑎

𝑧

+ 𝑏

𝑧

𝜆 ∙ 𝑎

= 𝜆 ∙ 𝑎

𝑥

, 𝜆 ∙ 𝑎

𝑦

, 𝜆 ∙ 𝑎

𝑧

Wektory kolinearne (współliniowe) są to wektory o tym samym kierunku, a więc wektory równoległe
do jednej prostej lub też leżące na jednej prostej.

Wektory komplanarne (współpłaszczyznowe)– wektory równoległe do tej samej
płaszczyzny.
Wektory 𝑎

, 𝑏

, 𝑐

są komplanarne, gdy jeden z nich jest zerowy lub dwa są kolinearne lub

gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

9

𝑎

= 𝑎

1

𝑎

2

𝑎

3

𝑏

= 𝑏

1

𝑏

2

𝑏

3

𝑐

= 𝑐

1

𝑐

2

𝑐

3

Warunek kolinearności dwóch wektorów 𝑎

, 𝑏

(niezerowych).

𝑎

∥ 𝑏

⇔

𝑎

1

𝑏

1

=

𝑎

2

𝑏

2

=

𝑎

3

𝑏

3

czyli

𝑎

∥ 𝑏

⇔ ∃

𝑡

𝑏

1

= 𝑡𝑎

1

∧ 𝑏

2

= 𝑡𝑎

2

∧ 𝑏

3

= 𝑡𝑎

3

Jeżeli w mianowniku pojawi się zero to licznik też jest wtedy zerem.

Warunek komplanarności trzech wektorów:

𝑎

1

𝑎

2

𝑎

3

𝑏

1

𝑏

2

𝑏

3

𝑐

1

𝑐

2

𝑐

3

= 0

Uzasadnienie:

𝜆

1

𝑎

+ 𝜆

2

𝑏

+ 𝜆

3

𝑐

= 0

𝜆

1

𝑎

1

𝑎

2

𝑎

3

+ 𝜆

2

𝑏

1

𝑏

2

𝑏

3

+ 𝜆

3

𝑐

1

𝑐

2

𝑐

3

= 0 0 0

𝜆

1

𝑎

1

+ 𝜆

2

𝑏

1

+ 𝜆

3

𝑐

1

= 0

𝜆

1

𝑎

2

+ 𝜆

2

𝑏

2

+ 𝜆

3

𝑐

2

= 0

𝜆

1

𝑎

3

+ 𝜆

2

𝑏

3

+ 𝜆

3

𝑐

3

= 0

[

GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2

]

1 marca 2010

Stron

a

10

ILOCZYN SKALARNY
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów niezerowych nazywamy liczbę (skalar) okresloną
wzorem:

𝑎

° 𝑏

= 𝑎

𝑏

𝑐𝑜𝑠𝜑

𝜑 = ∡ 𝑎

𝑏

Jeżeli 𝑎

= 0

lub 𝑏

= 0 to 𝑎

° 𝑏

= 0.

Wniosek:

𝑎

° 𝑏

= 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑏𝑜 𝑎

= 1 𝑖 𝑏

= 1

Własności iloczynu skalarnego:

1. 𝑎

° 𝑎

≥ 0 , przy czym 𝑎

° 𝑎

= 0 ⇔ 𝑎

= 0

2. 𝑎

° 𝑏

= 𝑏

° 𝑎

- przemiennośd

3. 𝜆𝑎

° 𝑏

= 𝑎

° 𝜆𝑏

= 𝜆 𝑎

° 𝑏

, 𝜆 ∈ ℝ

4. 𝑎

+ 𝑏

° 𝑐

= 𝑎

° 𝑐

+ 𝑏

° 𝑐

rozdzielnośd iloczynu skalarnego względem

dodawania wektorów.

Jeżeli 𝑎

≠ 0 , 𝑏

≠ 0 to 𝑎

⊥ 𝑏

⇔ 𝑎

° 𝑏

= 0