[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
1
Wektor zerowy – 0
.
Własności wektora zerowego 𝟎
:
1. Długośd wektora zerowego 0
= 0.
2. Nie ma określonego kierunku i zwrotu.
3. Jest równoległy i prostopadły do każdego wektora, do każdej prostej i do każdej
płaszczyzny.
Dwa wektory są sobie równe gdy mają ten sam kierunek, zwrot i długośd.
Działania na wektorach:
1. Suma wektorów.
Działanie sumy wektorów jest łączne i przemienne:
𝑎
+ 𝑏
= 𝑏
+ 𝑎
2. Wektor przeciwny do wektora 𝑎
oznaczamy −𝑎
.
Mają ten sam kierunek, przeciwny zwrot i tę samą
długośd: 𝑎
= −𝑎
3. Iloczyn wektora przez liczbę.
Jeżeli mamy 𝑎
to iloczyn wektora 𝑎
przez liczbę 𝛼, rozumiemy taki wektor
𝑏
= 𝛼 ∙ 𝑎
.
a) gdy 𝛼 > 0 to wektor
𝛼 ∙ 𝑎
ma ten sam kierunek i zwrot.
b) gdy 𝛼 < 0 to wektor
𝛼 ∙ 𝑎
ma ten sam kierunek ale
przeciwny zwrot.
𝑏
= 𝛼 ∙ 𝑎
= 𝛼 ∙ 𝑎
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
2
4. Różnica wektorów
𝑎
– 𝑏
≝ 𝑎
+ −𝑏
= −𝑏
+ 𝑎
Dodajemy wektor przeciwny do wektora 𝑏
.
5. Prawo trójkąta
a) 𝑎
– 𝑏
≤ 𝑎
+ 𝑏
≤ 𝑎
+ 𝑏
b) 𝑎
– 𝑏
≤ 𝑎
− 𝑏
≤ 𝑎
+ 𝑏
6. Prawo równoległoboku.
Rzut wektora na oś.
𝑎
𝑠
- rzut wektora na oś OS uzyskujemy przez zrzutowanie prostopadłe początku i kooca tego
wektora.
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
3
Współrzędną wektora 𝑎
względem osi OS nazywamy:
𝑎
𝑠
= 𝑠
𝑎
− 𝑠
𝑝
1. 𝜑 = ∡ 𝑎
, 𝑂𝑆 ∈ 0,
𝜋
2
, 𝑎
𝑠
> 0, 𝑏𝑜 𝑠
𝑎
> 𝑠
𝑝
2. 𝜑 = ∡ 𝑎
, 𝑂𝑆 ∈
𝜋
2
, 𝜋 , 𝑎
𝑠
< 0, 𝑏𝑜 𝑠
𝑎
< 𝑠
𝑝
3. 𝜑 =
𝜋
2
, 𝑎
𝑠
= 0, 𝑎
𝑠
= 0
Wygląd współrzędnej:
𝑎
𝑠
=
𝑎
𝑠
, 𝑔𝑑𝑦 𝑎
𝑠
𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑔𝑜𝑑𝑛𝑖𝑒 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑙𝑒𝑔ł𝑦 𝑧 𝑂𝑆
− 𝑎
𝑠
, 𝑔𝑑𝑦 𝑎
𝑠
𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑐𝑖𝑤𝑛𝑖𝑒 𝑟ó𝑤𝑛𝑜𝑙𝑒𝑔ł𝑦 𝑧 𝑂𝑆
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
4
Dla 𝜑 ∈ 0,
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑎
𝑠
𝑎
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑎
𝑠
𝑎
𝑔𝑑𝑦 𝑎
≠ 0
Dla 𝜑 ∈
𝜋
2
, 𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝜑 =
𝑎
𝑠
𝑎
=
−𝑎
𝑠
𝑎
⇒ −𝑐𝑜𝑠𝜑 =
−𝑎
𝑠
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑎
𝑠
𝑎
𝑔𝑑𝑦 𝑎
≠ 0
𝑎
𝑠
= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑎
𝑐𝑜𝑠 ∡ 𝑎
,
𝑂𝑆
Wniosek:
Jeżeli 𝑎
= 1 𝑎
𝑠
= 𝑐𝑜𝑠 ∡ 𝑎
, 𝑂𝑆 cosinus kierunkowy wektora 𝑎 .
Wersor – wektor jednostkowy.
Wersor niezerowego wektora 𝑎 jest to wektor zgodnie równoległy z tym wektorem albo z tą
osią i oznaczamy w przypadku wektora: 𝑎
, osi 𝑠
.
𝑎
=
𝑎
𝑎
=
1
𝑎
∙ 𝑎
𝑎
=
𝑎
𝑎
= 1
1. 𝑎
𝑠
= 𝑎
𝑠
∙ 𝑠
2. 𝑎
∙ 𝑎
= 𝑎
Przestrzeo trójwymiarowa ℝ
𝟑
- wyróżniamy wersowy
a) Ox ⟶ 𝑖
b) Oy ⟶ 𝑗
c) Oz ⟶ 𝑘
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
5
Wersory osi prostokątnego kartezjaoskiego układu osi:
𝑖
= 𝑘
= 𝑗 = 1
Współrzędna 𝑖
względem Ox
𝑖
= 1,
0, 0
Współrzędna 𝑗
względem Oy
𝑗
= 0,
1,
0
Współrzędna 𝑘
względem Oz
𝑘
= 0, 0, 1
Kombinacja liniowa wektorów 𝑎
𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
𝜆
𝑖
𝑎
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝜆
1
𝑎
1
+ 𝜆
2
𝑎
2
+ ⋯ + 𝜆
𝑛
𝑎
𝑛
𝜆
𝑖
- liczby które nazywamy współczynnikami kombinacji liniowych
Rzutem wektora 𝑎
na oś x jest 𝑎
𝑥
.
Rzutem wektora 𝑎
na oś y jest 𝑎
𝑦
.
Rzutem wektora 𝑎
na oś z jest 𝑎
𝑧
.
𝑎
𝑥
= 𝑎
𝑥
∙ 𝑖
⟶ 𝑎
𝑥
- współrzędna wektora 𝑎
względem Ox
𝑎
𝑦
= 𝑎
𝑦
∙ 𝑗
⟶ 𝑎
𝑦
- współrzędna wektora 𝑎
względem Oy
𝑎
𝑧
= 𝑎
𝑧
∙ 𝑘
⟶ 𝑎
𝑧
- współrzędna wektora 𝑎
względem Oz
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
6
𝑎
= 𝑎
𝑥
+ 𝑎
𝑦
+ 𝑎
𝑧
= 𝑎
𝑥
𝑖
+ 𝑎
𝑦
𝑗
+ 𝑎
𝑧
𝑘
=
= 𝑎
𝑥
1, 0, 0 + 𝑎
𝑦
0, 1, 0 + 𝑎
𝑧
0, 0, 1 =
= 𝑎
𝑥
, 𝑎
𝑦
, 𝑎
𝑧
𝑎
= 𝑎
𝑥
𝑖
+ 𝑎
𝑦
𝑗
+ 𝑎
𝑧
𝑘
- jest kombinacją liniową wektorów 𝑖 , 𝑗 ,
𝑘
, natomiast 𝑎
𝑥
, 𝑎
𝑦
, 𝑎
𝑧
to
współczynniki kombinacji liniowej tych wektorów.
Baza: 𝓑
ℬ = 𝑖 𝑗
𝑘
- jest to baza ortonormalna.
Baza przestrzeni ℝ
3
jest złożona z dowolnych n wektorów 𝑒
𝑖
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 liniowo
niezależnych tzn. spełniających następujący warunek:
𝜆
𝑖
𝑒
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0
⇒ ∀
𝑖=1,2,…,𝑛
𝜆
𝑖
= 0
Wśród baz wyróżniamy bazy:
1. Ortogonalna – baza, w której wektory bazy są parami do siebie prostopadłe.
2. Unormowana – baza, w której wszystkie wektory bazowe mają długośd równą 1.
3. Ortonormalna – baza, która jest ortogonalna i unormowana.
ℬ = 𝑖 𝑗
𝑘
𝑖
⊥ 𝑗
∧ 𝑗
⊥ 𝑘
∧ 𝑖 ⊥ 𝑘
∧ 𝑖 = 𝑗 = 𝑘
= 1
Współrzędne wektora w danej bazie są wyznaczone jednoznacznie.
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
7
Weźmy 𝑎
≠ 0 i układ współrzędnych Ox, Oy, Oz.
𝛼, 𝛽, 𝛾 - kąty kierunkowe wektora 𝑎
.
𝑎
𝑥
= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼
Z tego wynika, że znajomośd długości
wektora i kątów 𝛼, 𝛽, 𝛾 umożliwia
obliczenie współrzędnych wektora
𝑎
𝑦
= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑎
𝑧
= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛾
𝑎
= 𝑎
𝑥
, 𝑎
𝑦
, 𝑎
𝑧
ℬ
𝑎
= 𝑎
𝑥
2
+ 𝑎
𝑦
2
+ 𝑎
𝑧
2
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎
𝑥
𝑎
⇒
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎
𝑥
𝑎
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎
𝑦
𝑎
𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 0,
𝜋
𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎
𝑧
𝑎
Cosinusy kierunkowe niezerowego wektora spełniają daną zależnośd:
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛾 = 1
Uzasadnienie:
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛾 =
𝑎
𝑥
𝑎
2
+
𝑎
𝑦
𝑎
2
+
𝑎
𝑧
𝑎
2
=
=
𝑎
𝑥
2
+ 𝑎
𝑦
2
+ 𝑎
𝑧
2
𝑎
2
=
𝑎
2
𝑎
2
= 1
więc 𝑎
≠ 0
𝑎
= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼,
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛽,
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛾
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 bo 𝑎
= 1
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
8
Zadanie
Obliczyd współrzędne wektora 𝑎
o długości 𝑎
= 3 i kątach kierunkowych:
a) 𝛼 =
𝜋
4
, 𝛽 =
𝜋
3
, 𝛾 =
2
3
𝜋
b) 𝛼 =
𝜋
4
, 𝛽 =
𝜋
3
, 𝛾 =
𝜋
4
O ile taki wektor istnieje.
Ad.a)
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛾 =
2
2
2
+
1
2
2
+ −
1
2
2
=
2
4
+
1
4
+
1
4
= 1
Wektor istnieje.
𝑎
= 3 ∙
2
2
, 3 ∙
1
2
, −3 ∙
1
2
=
3 2
2
,
3
2
, −
3
2
Ad.b)
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛾 =
2
2
2
+
1
2
2
+
2
2
2
=
5
4
≠ 1
Wektor nie istnieje.
Jeżeli wektor 𝑎
ma współrzędne 𝑎
= 𝑎
𝑥
𝑎
𝑦
𝑎
𝑧
i 𝑏
= 𝑏
𝑥
𝑏
𝑦
𝑏
𝑧
to:
𝑎
+ 𝑏
= 𝑎
𝑥
+ 𝑏
𝑥
, 𝑎
𝑦
+ 𝑏
𝑦
, 𝑎
𝑧
+ 𝑏
𝑧
𝜆 ∙ 𝑎
= 𝜆 ∙ 𝑎
𝑥
, 𝜆 ∙ 𝑎
𝑦
, 𝜆 ∙ 𝑎
𝑧
Wektory kolinearne (współliniowe) są to wektory o tym samym kierunku, a więc wektory równoległe
do jednej prostej lub też leżące na jednej prostej.
Wektory komplanarne (współpłaszczyznowe)– wektory równoległe do tej samej
płaszczyzny.
Wektory 𝑎
, 𝑏
, 𝑐
są komplanarne, gdy jeden z nich jest zerowy lub dwa są kolinearne lub
gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
9
𝑎
= 𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
𝑏
= 𝑏
1
𝑏
2
𝑏
3
𝑐
= 𝑐
1
𝑐
2
𝑐
3
Warunek kolinearności dwóch wektorów 𝑎
, 𝑏
(niezerowych).
𝑎
∥ 𝑏
⇔
𝑎
1
𝑏
1
=
𝑎
2
𝑏
2
=
𝑎
3
𝑏
3
czyli
𝑎
∥ 𝑏
⇔ ∃
𝑡
𝑏
1
= 𝑡𝑎
1
∧ 𝑏
2
= 𝑡𝑎
2
∧ 𝑏
3
= 𝑡𝑎
3
Jeżeli w mianowniku pojawi się zero to licznik też jest wtedy zerem.
Warunek komplanarności trzech wektorów:
𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
𝑏
1
𝑏
2
𝑏
3
𝑐
1
𝑐
2
𝑐
3
= 0
Uzasadnienie:
𝜆
1
𝑎
+ 𝜆
2
𝑏
+ 𝜆
3
𝑐
= 0
𝜆
1
𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
+ 𝜆
2
𝑏
1
𝑏
2
𝑏
3
+ 𝜆
3
𝑐
1
𝑐
2
𝑐
3
= 0 0 0
𝜆
1
𝑎
1
+ 𝜆
2
𝑏
1
+ 𝜆
3
𝑐
1
= 0
𝜆
1
𝑎
2
+ 𝜆
2
𝑏
2
+ 𝜆
3
𝑐
2
= 0
𝜆
1
𝑎
3
+ 𝜆
2
𝑏
3
+ 𝜆
3
𝑐
3
= 0
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 1 , 2
]
1 marca 2010
Stron
a
10
ILOCZYN SKALARNY
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów niezerowych nazywamy liczbę (skalar) okresloną
wzorem:
𝑎
° 𝑏
= 𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜑 = ∡ 𝑎
𝑏
Jeżeli 𝑎
= 0
lub 𝑏
= 0 to 𝑎
° 𝑏
= 0.
Wniosek:
𝑎
° 𝑏
= 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑏𝑜 𝑎
= 1 𝑖 𝑏
= 1
Własności iloczynu skalarnego:
1. 𝑎
° 𝑎
≥ 0 , przy czym 𝑎
° 𝑎
= 0 ⇔ 𝑎
= 0
2. 𝑎
° 𝑏
= 𝑏
° 𝑎
- przemiennośd
3. 𝜆𝑎
° 𝑏
= 𝑎
° 𝜆𝑏
= 𝜆 𝑎
° 𝑏
, 𝜆 ∈ ℝ
4. 𝑎
+ 𝑏
° 𝑐
= 𝑎
° 𝑐
+ 𝑏
° 𝑐
rozdzielnośd iloczynu skalarnego względem
dodawania wektorów.
Jeżeli 𝑎
≠ 0 , 𝑏
≠ 0 to 𝑎
⊥ 𝑏
⇔ 𝑎
° 𝑏
= 0