Kąt

Kąt

- to część płaszczyzny, ograniczona dwiema

- to część płaszczyzny, ograniczona dwiema

pół prostymi wychodzącymi z jednego punktu wraz

pół prostymi wychodzącymi z jednego punktu wraz

z tymi pół prostymi. Dwie pół proste o wspólnym

z tymi pół prostymi. Dwie pół proste o wspólnym

początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty:

początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty:

Kat

Kat

wklęsły

wklęsły

Kąt wypukły

Kąty wierzchołkowe-

Kąty wierzchołkowe-

to takie dwa kąty, które

mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego
kąta są przedłużeniami ramion kąta drugiego np.
alfa i gamma, beta i delta. Dwie przecinające się
proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych.
Kąty wierzchołkowe mają taką samą rozwartość:
= , = .

 





Kąty przyległe

Kąty przyległe

-

-

to takie dwa kąty, które mają

jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona
tworzą prostą. Dwa kąty przyległe tworzą kąt
półpełny, np. i ( + = 180

o

), i (

+ = 180

o

).

















Jeżeli dwie proste przetniemy trzecią prostą. To

otrzymamy następujące kąty równe:

-kąty naprzemianległe wewnętrznie:

-kąty naprzemianległe zewnętrznie:

-kąty odpowiadające: np.

2

1







2

1







2

1







2

1







2

1







2

1







Dwusieczna kąta-

Dwusieczna kąta-

jest to pół prosta dzieląca

kąt na dwa kąty przystające. Punkty leżące na
dwusiecznej są równoodległe od obu ramion
kąta.

Stosunek długości przyprostokątnej, przeciwległej do
kąta alfa, do długości przyprostokątnej, przyległej do
tego kąta nazywa się:



tangensem

tg



b

a

=

Stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do kąta
alfa, do długości przyprostokątnej, przeciwległej do kąta
nazywa się:



ctg

=

b

a

cotangensem



Stosunek długości przyprostokątnej, przeciwległej do
kąta alfa, do długości przeciwprostokątnej nazywa się:



sinusem

sin



=

b

c

Stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do kąta
alfa, do długości przeciwprostokątnej nazywa się: 



cosinusem

cos



=

a

c

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360

o

o

Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt

Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt

można opisać na okręgu.

można opisać na okręgu.

Wielokąt jest wpisany w okrąg

Wielokąt jest wpisany w okrąg

, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy

, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy

wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.

wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.

Środek okręgu opisanego na

Środek okręgu opisanego na

wielokącie

wielokącie

znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360

o

o

Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt

Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt

można opisać na okręgu.

można opisać na okręgu.

Wielokąt jest wpisany w okrąg

Wielokąt jest wpisany w okrąg

, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy

, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy

wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.

wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.

Środek okręgu opisanego na

Środek okręgu opisanego na

wielokącie

wielokącie

znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

Wielokąt foremny

Wielokąt foremny

to taki wielokąt, który ma wszystkie

to taki wielokąt, który ma wszystkie

kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.

kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.

Suma

Suma

miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego

miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego

wynosi

wynosi

(n-2)*180

(n-2)*180

o

o

.

.

W każdy wielokąt foremny można wpisać

W każdy wielokąt foremny można wpisać

w koło i można opisać na nim koło

w koło i można opisać na nim koło

Dwa wielokąty są przystające,

Dwa wielokąty są przystające,

jeżeli odpowiednie kąty

jeżeli odpowiednie kąty

są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.

są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.

Dwa wielokąty są podobne,

Dwa wielokąty są podobne,

jeżeli odpowiednie kąty są

jeżeli odpowiednie kąty są

równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne

równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne

Wielokąt foremny

Wielokąt foremny

to taki wielokąt, który ma wszystkie

to taki wielokąt, który ma wszystkie

kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.

kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.

Suma

Suma

miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego

miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego

wynosi

wynosi

(n-2)*180

(n-2)*180

o

o

.

.

W każdy wielokąt foremny można wpisać

W każdy wielokąt foremny można wpisać

w koło i można opisać na nim koło

w koło i można opisać na nim koło

Dwa wielokąty są przystające,

Dwa wielokąty są przystające,

jeżeli odpowiednie kąty

jeżeli odpowiednie kąty

są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.

są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.

Dwa wielokąty są podobne,

Dwa wielokąty są podobne,

jeżeli odpowiednie kąty są

jeżeli odpowiednie kąty są

równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne

równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów

długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

2

a

+

2

b

= c

2

Przeciwprostoką

tna

Przyprostokątna

P

rz

yp

ro

st

o

k

ą

tn

a

a

b

c

Przeciwprostoką

tna

P

rz

yp

ro

st

o

k

ą

tn

a

Przyprostokątna

b

a

c

Jeżeli w trójkącie długości boków: a,b,c są takie, że c

2

= a

2

+

b

2

, to trójkąt jest prostokątny oraz a i b są przyprostokątnymi,

a bok c jest przeciwprostokątną.

2

a

+

2

b

= c

2

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi,

to stosunek dwóch odcinków

wyznaczonych

na jednym z

ramion kąta jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków

wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.

o

A’

A

B

B

’

OA

AB

=

OA’

A’B

’