Kąt
Kąt
- to część płaszczyzny, ograniczona dwiema
- to część płaszczyzny, ograniczona dwiema
pół prostymi wychodzącymi z jednego punktu wraz
pół prostymi wychodzącymi z jednego punktu wraz
z tymi pół prostymi. Dwie pół proste o wspólnym
z tymi pół prostymi. Dwie pół proste o wspólnym
początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty:
początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty:
Kat
Kat
wklęsły
wklęsły
Kąt wypukły
Kąty wierzchołkowe-
Kąty wierzchołkowe-
to takie dwa kąty, które
mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego
kąta są przedłużeniami ramion kąta drugiego np.
alfa i gamma, beta i delta. Dwie przecinające się
proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych.
Kąty wierzchołkowe mają taką samą rozwartość:
= , = .
Kąty przyległe
Kąty przyległe
-
-
to takie dwa kąty, które mają
jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona
tworzą prostą. Dwa kąty przyległe tworzą kąt
półpełny, np. i ( + = 180
o
), i (
+ = 180
o
).
Jeżeli dwie proste przetniemy trzecią prostą. To
otrzymamy następujące kąty równe:
-kąty naprzemianległe wewnętrznie:
-kąty naprzemianległe zewnętrznie:
-kąty odpowiadające: np.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Dwusieczna kąta-
Dwusieczna kąta-
jest to pół prosta dzieląca
kąt na dwa kąty przystające. Punkty leżące na
dwusiecznej są równoodległe od obu ramion
kąta.
Stosunek długości przyprostokątnej, przeciwległej do
kąta alfa, do długości przyprostokątnej, przyległej do
tego kąta nazywa się:
tangensem
tg
b
a
=
Stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do kąta
alfa, do długości przyprostokątnej, przeciwległej do kąta
nazywa się:
ctg
=
b
a
cotangensem
Stosunek długości przyprostokątnej, przeciwległej do
kąta alfa, do długości przeciwprostokątnej nazywa się:
sinusem
sin
=
b
c
Stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do kąta
alfa, do długości przeciwprostokątnej nazywa się:
cosinusem
cos
=
a
c
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360
o
o
Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt
Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt
można opisać na okręgu.
można opisać na okręgu.
Wielokąt jest wpisany w okrąg
Wielokąt jest wpisany w okrąg
, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy
, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy
wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.
wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.
Środek okręgu opisanego na
Środek okręgu opisanego na
wielokącie
wielokącie
znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.
znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360
o
o
Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt
Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to taki czworokąt
można opisać na okręgu.
można opisać na okręgu.
Wielokąt jest wpisany w okrąg
Wielokąt jest wpisany w okrąg
, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy
, a okrąg jest opisany na tym wielokącie, gdy
wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.
wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.
Środek okręgu opisanego na
Środek okręgu opisanego na
wielokącie
wielokącie
znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.
znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.
Wielokąt foremny
Wielokąt foremny
to taki wielokąt, który ma wszystkie
to taki wielokąt, który ma wszystkie
kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.
kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.
Suma
Suma
miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego
miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego
wynosi
wynosi
(n-2)*180
(n-2)*180
o
o
.
.
W każdy wielokąt foremny można wpisać
W każdy wielokąt foremny można wpisać
w koło i można opisać na nim koło
w koło i można opisać na nim koło
Dwa wielokąty są przystające,
Dwa wielokąty są przystające,
jeżeli odpowiednie kąty
jeżeli odpowiednie kąty
są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.
są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.
Dwa wielokąty są podobne,
Dwa wielokąty są podobne,
jeżeli odpowiednie kąty są
jeżeli odpowiednie kąty są
równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne
równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne
Wielokąt foremny
Wielokąt foremny
to taki wielokąt, który ma wszystkie
to taki wielokąt, który ma wszystkie
kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.
kąty równe i wszystkie boki tej samej długości.
Suma
Suma
miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego
miar kątów wewnętrznych n-kąta foremnego
wynosi
wynosi
(n-2)*180
(n-2)*180
o
o
.
.
W każdy wielokąt foremny można wpisać
W każdy wielokąt foremny można wpisać
w koło i można opisać na nim koło
w koło i można opisać na nim koło
Dwa wielokąty są przystające,
Dwa wielokąty są przystające,
jeżeli odpowiednie kąty
jeżeli odpowiednie kąty
są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.
są równe i odpowiednie odcinki są tej samej długości.
Dwa wielokąty są podobne,
Dwa wielokąty są podobne,
jeżeli odpowiednie kąty są
jeżeli odpowiednie kąty są
równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne
równe i odpowiednie odcinki są proporcjonalne
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów
długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.
2
a
+
2
b
= c
2
Przeciwprostoką
tna
Przyprostokątna
P
rz
yp
ro
st
o
k
ą
tn
a
a
b
c
Przeciwprostoką
tna
P
rz
yp
ro
st
o
k
ą
tn
a
Przyprostokątna
b
a
c
Jeżeli w trójkącie długości boków: a,b,c są takie, że c
2
= a
2
+
b
2
, to trójkąt jest prostokątny oraz a i b są przyprostokątnymi,
a bok c jest przeciwprostokątną.
2
a
+
2
b
= c
2
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi,
to stosunek dwóch odcinków
wyznaczonych
na jednym z
ramion kąta jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków
wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.
o
A’
A
B
B
’
OA
AB
=
OA’
A’B
’
