Wykład 22

Prawdopodobieństwo

całkowite. Schemat

Bernoulli’ego

dr Tomasz Kowalski

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

2 /

46

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A, B   i P(B) > 0.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia
A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B,
nazywamy liczbę

(

)

(

)

.

( )

P A B

P A B

P B

�

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

3 /

46





={(i,j): i,j = 1, 2, 3, 4,

5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek jest

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta

jest mniejsza od 8?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

A



={(i,j)  : i + j jest

parzysta}

B



={(i,j)  : i + j

< 8}

(

)

(

)

.

( )

P A B

P A B

P B

�

=

Szukane
prawdopodobieństwo, to

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

4 /

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek jest

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta

jest mniejsza od 8?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

B



={(i,j)  : i + j

< 8}

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

5 /

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek jest

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta

jest mniejsza od 8?

(1,
1)

(1,
2)

(1,
3)

(1,
4)

(1,
5)

(1,
6)

(2,
1)

(2,
2)

(2,
3)

(2,
4)

(2,
5)

(2,6
)

(3,
1)

(3,
2)

(3,
3)

(3,
4)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,
2)

(4,
3)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,
1)

(5,
2)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,
1

)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

B



={(i,j)  : i + j

< 8}

21 7

( )

36 12

P B =

=

AB

9

1

(

)

36 4

P A B

� =

=

1

(

)

1 12 3

4

(

)

7

( )

4 7

7

12

P A B

P A B

P B

�

=

=

= � =

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

6 /

46

Niektóre własności prawdopodobieństwa

warunkowego

(

)

( )

1.

( | )

1.

( )

( )

P B B

P B

P B B

P B

P B

�

=

=

=

(

)

0

( | )

0.

( )

( )

P A B

P A B

P B

P B

�

=

=

=

2. Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się, to

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

7 /

46

Zależność i niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi,
jeżeli

(

)

( )

( ).

P A B

P A P B

� =

�

W przypadku, gdy warunek ten nie zachodzi
zdarzenia nazywamy zależnymi.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

8 /

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3,

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

A



={(i,j)  : i +,j >

8}

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

9 /

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3,

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,
6)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,
5)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,
4)

(5,
5)

(5,
6)

(6,1
)

(6,2
)

(6,
3)

(6,
4)

(6,
5)

(6,
6)

n( ) = 36

A



={(i,j)  : i +,j >

8}

n(A) = 10

( ) 10

5

( )

.

( ) 36 18

n A

P A

n

=

=

=

W

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

10 /

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3,

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

B



={(i,j)  : 5 | (i +

j ) }

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

11 /

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3,

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(

1,4

)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,
3)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,
2)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,
5)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,
4)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

B



={(i,j)  : 5 | (i +

j ) } n(B) = 7

( )

7

( )

.

( ) 36

n B

P B

n

=

=

W

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

12 /

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3,

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(

1,4

)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,
3)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,
2)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,
5)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,
4)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

n(AB) =

3

(

)

3

1

(

)

.

( )

36 12

n A B

P A B

n

�

� =

=

=

W

AB

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

13 /

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do

gry.
Niech A oznacza zdarzenie:

suma wyrzuconych oczek jest

większa od 8,
B – oznacza zdarzenie: suma

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są

niezależne?

1

(

)

.

12

P A B

� =

7

( )

,

36

P B =

5

( )

,

18

P A =

Sprawdzamy warunek:

(

)

( ) ( ).

P A B

P A P B

� =

�

1

5 7

12

18 36

=

�

Warunek nie zachodzi. Zdarzenia są
zależne.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

14 /

46

Zależność i niezależność zdarzeń

(

)

( ) oraz (

)

( ).

P A B

P A

P B A

P B

=

=

Jeżeli zdarzenia A i B o dodatnich
prawdopodobieństwach są niezależne, to

Istotnie

(

)

(

)

( )

P A B

P A B

P B

�

=

( ) ( )

( )

P A P B

P B

�

=

( )

P A

=

Podobnie

(

)

(

)

( )

P B A

P B A

P A

�

=

( ) ( )

( )

P B P A

P A

�

=

( ).

P B

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

15 /

46

Niezależność zbioru zdarzeń

Dany jest zbiór zdarzeń losowych A

1

,...A

n

.

Mówimy, że zdarzenia te są niezależne, jeżeli
dla dowolnego podciągu indeksów i

1

,...,i

k

zachodzi wzór:

P(A

i1

...  A

ik

) = P(A

i1

)

.

...

.

P(A

ik

).

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

16 /

46

Przykład (Bernsteina)

W urnie znajdują się 4 paski oznaczone 110,
101, 011, 000. Załóżmy, że wyciągnięcie
każdego paska jest tak samo prawdopodobne
Niech A

i

oznacza zdarzenie polegające na

wybraniu paska z 1 na pozycji i-tej ( i = 1, 2, 3 ).

Wykazać, że zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

są zależne, ale

parami są niezależne.

Mamy tutaj: P(A

1

) = P(A

2

) = P(A

3

) = ½ .

Sprawdzimy, czy zachodzi warunek:

P(A

1

A

2

A

3

) = P(A

1

)

.

P(A

2

)

.

P(A

3

) .

P(A

1

A

2

A

3

) =

0

P(A

1

)

.

P(A

2

)

.

P(A

3

)

=

1 1 1 1

2 2 2 8

� � =

Warunek nie

zachodzi.

Zdarzenia są

zależne

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

17 /

46

Przykład (Bernsteina)

W urnie znajdują się 4 paski oznaczone 110,
101, 011, 000. Załóżmy, że wyciągnięcie
każdego paska jest tak samo prawdopodobne
Niech A

i

oznacza zdarzenie polegające na

wybraniu paska z 1 na pozycji i-tej ( i = 1, 2, 3 ).

Wykazać, że zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

są zależne, ale

parami są niezależne.

Mamy tutaj: P(A

i

) = P(A

j

) = ½ .

Sprawdzimy, czy zachodzi warunek:

P(A

i

A

j

) = P(A

i

)

.

P(A

j

) dla i



j.

P(A

i

A

j

) =

P(A

i

)

.

P(A

j

) =

1 1 1

2 2 4

� =

Warunek

zachodzi.

Zdarzenia są

niezależne.

1

4

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

18 /

46

Układ zupełny zdarzeń

A

3

A

4

Zdarzenia

A

1

,

A

2

,

A

3

,

A

4

…

tworzą zupełny układ
zdarzeń, jeżeli są parami
rozłączne i w sumie są
równe .

A

1

A

2

Niech B będzie dowolnym zdarzeniem.
Wówczas

B = (B 

A

1

)  (B 

A

2

)  ( B 

A

3

)  (

B 

A

4

)

B

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

19 /

46

Układ zupełny zdarzeń

A

3

A

4

Zdarzenia

A

1

,

A

2

,

A

3

,

A

4

…

tworzą zupełny układ
zdarzeń, jeżeli są parami
rozłączne i w sumie są
równe .

A

1

A

2

Niech B będzie dowolnym zdarzeniem.
Wówczas

B = (B 

A

1

)  (B 

A

2

)  ( B 

A

3

)  (

B 

A

4

)

B

P(B) = P(B 

A

1

) + P(B 

A

2

) + P( B 

A

3

) + P( B 

A

4

)

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

20 /

46

Układ zupełny zdarzeń

(

)

(

)

( )

i

i

i

P B A

P B A

P A

�

=

A

3

A

4

Zdarzenia

A

1

,

A

2

,

A

3

,

A

4

…

tworzą zupełny układ
zdarzeń, jeżeli są parami
rozłączne i w sumie są
równe .

A

1

A

2

B

P(B) = P(B 

A

1

) + P(B 

A

2

) + P( B 

A

3

) + P( B 

A

4

)

Ponieważ

to

(

)

(

) ( )

i

i

i

P B A

P B A P A

�

=

�

P(B) = P(B|

A

1

)P(

A

1

) + P(B|

A

2

)P(

A

2

) + P(B|

A

3

)P(

A

3

) + P(B|

A

4

)P(

A

4

)

czyli

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

21 /

46

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia A

1

, A

2

, …, A

n

o

prawdopodobieństwach dodatnich wykluczają się
parami (tzn. A

i

A

j

=  gdy i  j) oraz A

1

A

2

 …

 A

n

= , to dla dowolnego zdarzenia B  

zachodzi wzór:

P B

P A P B A

P A

P B A

P A

P B A

n

n

( )

( )

(

)

( )

(

) ...

( )

(

)









 



1

1

2

2

1

( )

( | ) ( ).

n

i

i

i

P B

P B A P A

=

=

�

czyli

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

22 /

46

Przykład

Urna 1

Urna 2

Z przypadkowo
wybranej urny
wybieramy 1 kulę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę
białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z
urn wynosi ½?

Niech: B oznacza wybranie kuli białej.
A

1

wybranie urny pierwszej i A

2

wybranie urny

drugiej.

1

2

1

2

1

2

1

1

( )

0,

( )

0,

,

.

2

2

P A

P A

A

A

A

A

= >

= >

� =W

� =�

1

2

3

1

(

)

,

(

)

.

5

5

P B A

P B A

=

=

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

1 3 1 1

3

1

4

2

2 5 2 5 10 10 10 5

= � + � =

+

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

23 /

46

Przykład

Urna 1

Urna 2

Z przypadkowo
wybranej urny
wybieramy 1 kulę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę
białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z
urn wynosi ½?

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

0,5 0,6 0,5 0,2 0,4

=

� +

� =

Losowania

Urna 1

Kula c

Kula b

Kula c

Kula b

0,5

0,6

0,2

0,5

0,8

0,4

Urna 2

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

24 /

46

Przykład

Telewizory produkowane są przez dwie fabryki, z
których jedna wykonuje 60% a druga 40% całej
produkcji. Pierwsza fabryka wypuszcza na rynek
90% telewizorów bez braków, a druga 80%. Jakie
jest prawdopodobieństwo kupienia telewizora bez
braku?

Niech: B oznacza zakup telewizora bez braku.
A

1

- wybranie pierwszej fabryki i A

2

wybranie

drugiej.

1

2

1

2

1

2

60

3

40

2

( )

0,

( )

0,

,

.

100 5

100 5

P A

P A

A

A

A

A

=

= >

=

= >

� =W

� =�

1

2

90

9

80

8

(

)

,

(

)

.

100 10

100 10

P B A

P B A

=

=

=

=

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

3 9

2 8

27 16 43

5 10 5 10

50

50

+

= � + � =

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

25 /

46

Wzór Bayesa

Jeżeli zdarzenia A

1

, A

2

, …, A

n

o

prawdopodobieństwach dodatnich wykluczają
się parami (tzn. A

i

A

j

=  gdy i  j) oraz

A

1

A

2

 …  A

n

, to dla dowolnego zdarzenia

B   o dodatnim prawdopodobieństwie

zachodzi wzór:

P A B

P A P B A

P A

P B A

P A

P B A

P A

P B A

i

i

i

n

n

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

) ...

( )

(

)











 



1

1

2

2

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

26 /

46

Przykład

W hurtowni znajdują się detale pochodzące z trzech
fabryk F

1

, F

2

, F

3

. Zapotrzebowanie pokrywane jest

przez fabryki odpowiednio w 50%, 30% i 20%.
Produkcja tych fabryk zawiera odpowiednio 1%, 2%, 3%
braków. Wybrany losowo detal jest dobry. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wyprodukowała go trzecia
fabryka?

Niech B oznacza zdarzenie: „wylosowany detal jest
dobry”,
A

i

-zdarzenie: „wylosowany detal pochodzi z fabryki

F

i

”, (i = 1, 2, 3).

1

2

2

1

2

3

50

5

30

3

20

2

( )

0,

( )

0,

( )

0.

,

100 10

100 10

100 10

P A

P A

P A

A

A

A

=

=

>

=

=

>

=

=

>

� � =W

A

1

, A

2

, A

3

- parami

rozłączne.

1

2

3

99

98

97

(

)

,

(

)

,

(

)

.

100

100

100

P B A

P B A

P B A

=

=

=

3

3

3

1

1

2

2

3

3

( ) (

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

P A P B A

P A B

P A P B A

P A P B A

P A P B A

�

=

=

�

+

�

+

�

2 97

10 100

5 99

3 98

2 97

10 100 10 100 10 100

194

983

�

�

+

�

+

�

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

27 /

46

1. Kiedy rzucamy monetą wynikiem może być reszka
albo orzeł,
2. Wartość progowa sumy rocznej opadu bądź
średniej rocznej
temperatury może być przekroczona bądź nie.

W powyższych przykładach
zdarzenie posiada dwa
warianty realizacji:
dla wygody jeden z nich
nazywamy "sukcesem„,
a drugi "porażką".

Przykład

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

28 /

46

Schemat Bernoulliego

Rozpatrzmy n niezależnych powtórzeń
tego samego doświadczenia.

Zakładamy, że każde z doświadczeń
kończy się jednym z dwóch wyników.

Przy tym jeden, umownie zwany
sukcesem, zachodzi z
prawdopodobieństwem p, drugi - zwany
porażką , zachodzi z
prawdopodobieństwem q = 1 - p.

Mówimy wtedy, że mamy do czynienia ze
schematem n prób Bernoulli’ego.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

29 /

46

Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k
sukcesów (przy dokładnie n – k porażkach)
w n próbach Bernoulli’ego jest równe:

( )

.

k n k

n

n

P k

p q

k

-

� �

=��

� �

Schemat Bernoulliego

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

30 /

46

Przykład

4!

1

2! 2! 16

=

�

�

3

8

=

Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest
równe ½

.

W rodzinie jest czwórka dzieci. Jakie

jest prawdopodobieństwo, że są tam dwaj
chłopcy?

Mamy tu do czynienia ze schematem 4 prób
Bernoulli’ego, gdzie sukcesem jest urodzenie się
chłopca z prawdopodobieństwem w jednej próbie
½.

2

2

4

1

1

( ) ( )

2

2

2

��

=

�

�

��

��

P k

n
k

p q

n

k n k

( ) 













Szukane prawdopodobieństwo jest
prawdopodobieństwem uzyskania dwóch
sukcesów w czterech próbach Bernoulli’ego.

2! 3 4 1

2! 2! 16

��

=

�

�

P

4

(2)

4

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

31 /

46

Przykład

3

1

5

1024 1024

= �

+

1

64

=

Prawdopodobieństwo trafienia do celu w
pojedynczym strzale jest równe ¼

.

Strzelec oddał

serię 5 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że są trafił co najmniej 4 razy?

Mamy tu do czynienia ze schematem 5 prób
Bernoulli’ego, gdzie sukcesem jest trafienie do celu
z prawdopodobieństwem w jednej próbie ¼.

4

1

5

0

5

5

1

3

1

3

( ) ( )

( ) ( )

4

5

4

4

4

4

��

��

=

�

�

+

�

�

��

��

��

��

P k

n
k

p q

n

k n k

( ) 













Szukane prawdopodobieństwo jest
prawdopodobieństwem uzyskania 4 lub 5
sukcesów w pięciu próbach Bernoulli’ego.

16

1024

=

P

5

(4) +

P

5

(5)

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

32 /

46

Obliczanie prawdopodobieństw oraz ich sum jest
w przypadku dużych n połączone z pewnymi
trudnościami.

W sposób przybliżony prawdopodobieństwa te
dają się wyrazić z pomocą tzw. funkcji Gaussa
i funkcji Laplace’a.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

33 /

46

Funkcja Gaussa

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y





( )

x

e

x





1

2

2

2

D = R

Funkcja jest
parzysta





( )

( )





x

x

Funkcja osiąga
maksimum w
punkcie x

0

= 0

wynoszące

1

0,399

2p

�

Punkty wykresu o
odciętych x

1

= -1 i x

2

= 1,

są punktami przegięcia.

Poza przedziałem [-5; 5]
wartości funkcji są praktycznie
równe zeru.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

34 /

46

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y

Funkcja Gaussa





( )

x

e

x





1

2

2

2

Funkcja wraz z osią
OX ogranicza pole
równe 1.

Pole
0,683

Pole
0,954

Pole
0,997

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

35 /

46

Tablica wartości funkcji Gaussa

Wartości funkcji Gaussa znajdują się w
tablicy nr 1.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

36 /

46

Tablica wartości funkcji Gaussa

(1,92)

j

( 0,8)

(0,8)

j

j

-

=

=

=
0,0632

=
0,2897

(4,8)

j

= 0

( )

( )

x

x

j

j

-

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

37 /

46

Funkcja Laplace’a

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y

2

2

0

1

( )

2

x

t

x

e dt

p

-

F

=

�

D =
R

Funkcja jest
parzysta

( )

( )

x

x

F -

=- F

(0) 0

F

=

(

) 0,5

F +� =

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

38 /

46

Funkcja Laplace’a

2

2

0

1

( )

2

x

t

x

e dt

p

-

F

=

�

D =
R

Funkcja jest
parzysta

( )

( )

x

x

F -

=- F

(0) 0

F

=

(

) 0,5

F +� =

y

x

( )

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0,5

-0,25

0,25

5

0,5

X

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

39 /

46

Tablica wartości funkcji Laplace,a

Wartości funkcji Laplace’aa znajdują się w
tablicy nr 2.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

40 /

46

Tablica wartości funkcji Laplace’a

( )

( )

x

x

F -

=- F

(1,2)

F

=

( 2,5)

F -

=

(3,9)

F

=

0,3849

0,4937

=-

0,4999

(2,5)

- F

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

41 /

46

Twierdzenie lokalne Moivre’a - Laplace’a

Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w
pojedynczym doświadczeniu jest równe p, to
prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k
sukcesów w n próbach Bernoulli’ego wyraża się
wzorem przybliżonym:

1

( )

( ),

n

P k

x

npq

j

�

�

gdzie



jest funkcją Gaussa,

,

k np

x

npq

-

=

1

.

q

p

= -

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

42 /

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do
celu serię 100 strzałów. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie 82 razy.

n = 100, k = 82, p = 0,8, q = 1 – p =
0,2

npq =

1

( )

( )

n

P k

x

npq

j

�

�

=

1

( )

( ),

,

n

k np

P k

x

x

npq

npq

j

-

�

�

=

100 0,8 0,2

� � =

82 80

4

-

=

16 4

=

2

0,5

4

=

82 100 0,8

4

-

�

=

k np

x

npq

-

=

=

1

(0,5)

4

j

=

1

0,3521 0,088

4

�

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

43 /

46

Twierdzenie integralne Moivre’a -

Laplace’a

Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w
pojedynczym doświadczeniu jest równe p, to
prawdopodobieństwo zajścia od k

1

do k

2

sukcesów w n próbach Bernoulli’ego wyraża się
wzorem przybliżonym:

1

2

2

1

(

)

( )

( ),

n

P k k k

x

x

� �

�F

- F

gdzie  jest funkcją

Laplace’a,

1

1

0,5

,

k

np

x

npq

-

-

=

2

2

0,5

,

k

np

x

npq

+

-

=

1

.

q

p

= -

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

44 /

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do
celu serię 100 strzałów. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie co
najmniej 76 razy, ale nie więcej niż 85 razy.

n = 100, k

1

= 76, k

2

= 85, p = 0,8, q =

1 – p = 0,2

100 0,8 0,2

16 4

npq =

� � =

=

1

1

0,5

76 0,5 100 0,8 75,5 80

4,5

1,125,

4

4

4

k

np

x

npq

-

-

-

-

�

-

-

=

=

=

=

=-

1

2

1

2

2

1

1

2

0,5

0,5

(

)

( )

( ),

,

,

n

k

np

k

np

P k

k k

x

x

x

x

npq

npq

-

-

+

-

� �

�F

- F

=

=

2

2

0,5

85 0,5 100 0,8 85,5 80 5,5

1,375

4

4

4

k

np

x

npq

+

-

+

-

�

-

=

=

=

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

45 /

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do
celu serię 100 strzałów. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie co
najmniej 76 razy, ale nie więcej niż 85 razy.

n = 100, k

1

= 76, k

2

= 85, p = 0,8, q =

1 – p = 0,2

100

(76

85)

(1,375)

( 1,125)

(1,375)

(1,125) 0,4154 3697 0,7851

P

k

� �

�F

- F -

=

=F

+F

=

+

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite.
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

46 /

46