Analiza odkształceń i naprężeń termicznych w przekroju zespolonym

stalowo-betonowym

CHARAKTERYSTYKA PRZEKROJU

Ilość elementów przekroju zespolonego:

k

7

:=

i

1 k

..

:=

Dane przekroju:

b [mm] h [mm] E [GPa] H [mm] r [mm] F [mm2]

S [mm3]

∪

sk

[1/K] R[MPa]

i

Element

400

20

205

20

10

8000

80000 0.00001

0

1 Nakładka 2

450

30

205

50

35

13500

472500 0.00001

280

2 Nakładka 1

500

40

205

90

70

20000

1400000 0.00001

270

3 Półka dolna

14

1000

205

1090

590

14000

8260000 0.00001

290

4 Środnik

400

30

205

1120 1105

12000

13260000 0.00001

270

5 Półka górna

500

100

32.6

1220 1170

50000

58500000 0.00001

17

6 Skos

2000

200

32.6

1420 1320 400000 528000000 0.00001

17

7 Płyta pomostu

b

b mm

⋅

:=

h

h mm

⋅

:=

E

E GPa

⋅

:=

F

F mm

2

⋅

:=

r

r mm

⋅

:=

H

H mm

⋅

:=

S

S mm

3

⋅

:=

α

α

1

K

⋅

:=

R

R MPa

⋅

:=

Definicja zmiennej po wysokości:

z

0 m

⋅ 0.001 m

⋅

,

H

k

..

:=

Rozkład szerokości
po wysokości:

Rozkład modułu Younga
po wysokości:

Rozkład jednostkowych odkształceń
termicznych po wysokości:

bp z

( )

b

1

z H

1

<

if

b

2

H

1

z

≤

H

2

<

if

b

3

H

2

z

≤

H

3

<

if

b

4

H

3

z

≤

H

4

<

if

b

5

H

4

z

≤

H

5

<

if

b

6

H

5

z

≤

H

6

<

if

b

7

H

6

z

≤

H

7

<

if

:=

Ep z

( )

E

1

z H

1

<

if

E

2

H

1

z

≤

H

2

<

if

E

3

H

2

z

≤

H

3

<

if

E

4

H

3

z

≤

H

4

<

if

E

5

H

4

z

≤

H

5

<

if

E

6

H

5

z

≤

H

6

<

if

E

7

H

6

z

≤

H

7

<

if

:=

αT z()

α

1

z H

1

<

if

α

2

H

1

z

≤

H

2

<

if

α

3

H

2

z

≤

H

3

<

if

α

4

H

3

z

≤

H

4

<

if

α

5

H

4

z

≤

H

5

<

if

α

6

H

5

z

≤

H

6

<

if

α

7

H

6

z

≤

H

7

<

if

:=

Rozkład wytrzymałości
po wysokości:

R z

( )

R

1

z H

1

<

if

R

2

H

1

z

≤

H

2

<

if

R

3

H

2

z

≤

H

3

<

if

R

4

H

3

z

≤

H

4

<

if

R

5

H

4

z

≤

H

5

<

if

R

6

H

5

z

≤

H

6

<

if

R

7

H

6

z

≤

H

7

<

if

:=

Moduł porównawczy:

Ep max E

( )

:=

Ep 2.05 10

11

×

Pa

=

Wysokość całkowita przekroju:

Hc H

k

:=

Hc 1.42 m

=

Powierzchnia przekroju
zespolonego:

Ac

i

F

i

E

i

Ep

⋅

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

∑

:=

Ac 0.139m

2

=

Moment statyczny przekroju
zespolonego:

Sc

i

S

i

E

i

Ep

⋅

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

∑

:=

Sc 116.74 L

=

Hc 1.42 m

=

Położenie osi bezwładności
przekroju zespolonego:

zc

Sc
Ac

:=

zc 0.839 m

=

Moment bezwładności
przekroju zespolonego:

Jc

i

b

i

h

i

( )

3

⋅

12

b

i

h

i

⋅

r

i

zc

−

(

)

2

⋅

+

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

E

i

Ep

⋅

⎡

⎢

⎢

⎣

⎤

⎥

⎥

⎦

∑

:=

Jc 0.04475 m

4

=

ODDZIAŁYWANIE TERMICZNE NA PRZEKRÓJ ZESPOLONY

z

zc

−

zc

−

0.1 mm

⋅

+

,

Hc zc

−

..

:=

Sprowadzenie osi układu odniesienia do środka ciężkości dźwigara:

b z

( )

bp z zc

+

(

)

:=

E z

( )

Ep z zc

+

(

)

:=

α z

( )

αT z zc

+

(

)

:=

Definicja jednostkowych rozkładów termicznych na wysokości przekroju:

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY- DŹWIGAR ZESPOLONY SKRAJNY - Typ 1

f1 z

( )

0.3

0 mm

⋅

z zc

+

≤

1

3

i

h

i

∑

=

<

if

3.91

1

4

i

h

i

∑

=

z zc

+

(

)

−

⎡

⎢

⎢

⎣

⎤

⎥

⎥

⎦

⋅

h

4

3.82

1

4

i

h

i

∑

=

z zc

+

(

)

−

h

4

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

2

⋅

−

1

3

i

h

i

∑

=

z zc

+

≤

1

4

i

h

i

∑

=

<

if

0

1

4

i

h

i

∑

=

z zc

+

≤

1

k

i

h

i

∑

=

≤

if

0 otherwise

:=

*

0

0.5

1

1.5

1

0.5

0

0.5

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 1

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

Rozkład typu 1 należy stosować przy analizie
oddziaływań termicznych na dźwigary skrajne
narażone na bezpośrednie oddziaływanie
promieniowania słonecznego.

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - DŹWIGAR ZESPOLONY -Typ 2

f2 z

( )

0

0 mm

⋅

z zc

+

<

1

3

i

h

i

∑

=

<

if

0

1

3

i

h

i

∑

=

z zc

+

≤

1

4

i

h

i

∑

=

0.3 h

4

⋅

−

<

if

1

7

i

h

i

∑

=

z zc

+

(

)

−

h

7

h

6

+

h

5

+

0.3 h

4

⋅

+

1

−

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

2

1

4

i

h

i

∑

=

0.3 h

4

⋅

−

z zc

+

≤

1

k

i

h

i

∑

=

<

if

0 otherwise

:=

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 2

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

Rozkład typu 2 należy stosować przy
analizie oddziaływań termicznych na
wszystkie dźwigary zespolone.

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - DŹWIGAR ZESPOLONY - Typ 3

f3 z

( )

0

0 mm

⋅

z zc

+

<

1

5

i

h

i

∑

=

<

if

1

1

k

i

h

i

∑

=

z zc

+

(

)

−

h

6

h

7

+

−

1

5

i

h

i

∑

=

z zc

+

≤

1

k

i

h

i

∑

=

<

if

0 otherwise

:=

0.5

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 3

Tempratura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

Rozkład typu 3 jest stosowany jako rozkład
zastępczy dla rozkładu typu 2.

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 4

f4 z

( )

0

0mm z zc

+

<

1

5

i

h

i

∑

=

<

if

1

1

5

i

h

i

∑

=

z zc

+

≤

1

k

i

h

i

∑

=

<

if

0 otherwise

:=

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 4

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

Rozkład typu 4 jest aktualnie stosowanym
rozkładem zgodnie z PN-85/S-10030 "Oniekty
mostowe. Obciążenia."

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 5

f5 z

( )

0

0mm z zc

+

<

Hc 50 cm

⋅

−

<

if

z zc

+

Hc

−

50 cm

⋅

+

50 cm

⋅

Hc 50 cm

⋅

−

z zc

+

≤

Hc

<

if

0 otherwise

:=

0.5

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 5

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

1

0.5

0

0.5

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 5.1

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 6

f6 z

( )

7

12

5

12

z zc

+

Hc

−

10 cm

⋅

+

(

)

⋅

10 cm

⋅

+

Hc 10 cm

⋅

−

z zc

+

<

Hc

≤

if

1

3

3

12

z zc

+

Hc

−

20 cm

⋅

+

(

)

⋅

10 cm

⋅

+

Hc 20 cm

⋅

−

z zc

+

≤

Hc 10 cm

⋅

−

≤

if

1

6

1

6

z zc

+

Hc

−

30 cm

⋅

+

(

)

⋅

10 cm

⋅

+

Hc 30 cm

⋅

−

z zc

+

≤

Hc 20 cm

⋅

−

≤

if

1

6

z zc

+

(

)

⋅

Hc 30 cm

⋅

−

0 cm

⋅

z zc

+

≤

Hc 30 cm

⋅

−

≤

if

0 otherwise

:=

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 6

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

f51 z

( )

0

0mm z zc

+

<

Hc 10 cm

⋅

−

<

if

z zc

+

Hc

−

10 cm

⋅

+

10 cm

⋅

−

Hc 10 cm

⋅

−

z zc

+

≤

Hc

<

if

0 otherwise

:=

1

0.5

0

0.5

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 6.1

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 7

f7 z gp

,

t

,

(

)

4
t

1

4
t

−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

z zc

+

Hc

−

0.6 gp

⋅

+

(

)

⋅

0.6 gp

⋅

+

Hc 0.6 gp

⋅

−

z zc

+

<

Hc

≤

if

4
t

z zc

+

Hc

−

gp

+

40 cm

⋅

+

(

)

⋅

gp 40 cm

⋅

+

0.6gp

−

Hc 40 cm

⋅

−

gp

−

z zc

+

≤

Hc 0.6 gp

⋅

−

≤

if

0 otherwise

:=

0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 7

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

f61 z

( )

0

0mm z zc

+

<

Hc 50 cm

⋅

−

<

if

z zc

+

Hc

−

50 cm

⋅

+

50 cm

⋅

−

Hc 50 cm

⋅

−

z zc

+

≤

Hc

<

if

0 otherwise

:=

f71 z gp

,

t

,

(

)

1

−

Hc z zc

+

(

)

−

0.6 gp

⋅

+

Hc 0.6 gp

⋅

−

z zc

+

<

Hc

≤

if

0

Hc gp

−

z zc

+

<

Hc 0.6 gp

⋅

−

≤

if

8

t

−

8

t

z zc

+

Hc

−

gp

+

40 cm

⋅

+

(

)

⋅

40 cm

⋅

+

Hc 40 cm

⋅

−

gp

−

z zc

+

≤

Hc gp

−

≤

if

8

t

−

otherwise

:=

2

1.5

1

0.5

0

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 7.1

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 8

f8 z

( )

2.5

2.5 z zc

+

(

)

⋅

0.2 m

⋅

−

0 m

⋅

z zc

+

<

0.2 m

⋅

≤

if

0

0.2 m

⋅

z zc

+

<

3.6 m

⋅

≤

if

3 z zc

+

3.6 m

⋅

−

(

)

⋅

0.25 m

⋅

3.6 m

⋅

z zc

+

<

3.85 m

⋅

≤

if

3

10 z zc

+

3.85 m

⋅

−

(

)

⋅

0.15 m

⋅

+

3.85 m

⋅

z zc

+

<

4 m

⋅

≤

if

0 otherwise

:=

0

1

2

3

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 8

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

f81 z

( )

0.5

−

7.9

z zc

+

(

)

3.75 m

⋅

−

0.25 m

⋅

⋅

−

3.75 m

⋅

z zc

+

<

Hc

≤

if

0.5

−

z zc

+

(

)

3.55 m

⋅

−

0.20 m

⋅

⋅

3.55 m

⋅

z zc

+

<

3.75 m

⋅

≤

if

0

450 mm

⋅

z zc

+

<

3.55 m

⋅

≤

if

1.0

−

1.0

z zc

+

(

)

250 mm

⋅

−

0.20 m

⋅

⋅

+

250 mm

⋅

z zc

+

<

450 mm

⋅

≤

if

6.5

−

5.5

z zc

+

0.25 m

⋅

⋅

+

0 mm

⋅

z zc

+

<

250 mm

⋅

≤

if

0 otherwise

:=

8

6

4

2

0

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD JEDNOSTKOWY - Typ 8.1

Temperatura [-]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

PRZYJĘCIE ROZKŁADU TEMPERATURY NA WYSOKOŚCI PRZEKROJU

f z

( )

f1 z

( )

:=

PRZYJĘCIE MAKSYMALNEJ RÓŻNICY TEMPERATURY NA WYSOKOŚCI PRZEKROJU

(czynnik skalujący)

Maksymalna róznica temperatur na wysokosci przekroju

ΔTmax 15 K

⋅

≡

0

5

10

15

20

1

0.5

0

0.5

1

ROZK£AD TEMPERATURY

Temperatura [st. C]

WysokoϾ p

rze

kroju [

m

]

WARTOŚCI ODKSZTAŁCEŃ I NAPRĘŻEŃ TERMICZNYCH W PRZEKROJU

A

ΔTmax

Ac

zc

−

Hc zc

−

z

E z

( )

Ep

f z

( )

⋅

α z

( )

⋅

b z

( )

⋅

⌠

⎮

⎮

⎮

⌡

d

⋅

:=

A 2.617 10

5

−

×

=

B

ΔTmax

Jc

zc

−

Hc zc

−

z

E z

( )

Ep

f z

( )

⋅

α z

( )

⋅

b z

( )

⋅

z

⋅

⌠

⎮

⎮

⎮

⌡

d

⋅

:=

B

4.426

−

10

5

−

×

1

m

=

Odkształcenia całkowite:

εs z() α z() ΔTmax

⋅

f z

( )

⋅

:=

Odkształcenia całkowite:

εc z() A B z⋅

+

:=

Odkształcenia wzbudzone:

εw z() εc z() εs z()

−

:=

Naprężenia termiczne:

σT z()

A B z

⋅

+

α z

( ) ΔTmax

⋅

f z

( )

⋅

−

(

)

E z

( )

⋅

:=

z

zc

−

0.1 mm

⋅

+

zc

−

0.2 mm

⋅

+

,

Hc zc

−

0.1mm

−

..

:=

j

1 6

..

:=

Wektor punktów charakterystycznych na wysokości przekroju:

v

j

zc

−

Hc

+

0.1 mm

⋅

−

zc

−

Hc

+

h

6

−

h

7

−

0.1 mm

⋅

+

zc

−

Hc

+

h

6

−

h

7

−

0.1 mm

⋅

−

zc

−

Hc

+

h

5

−

h

6

−

h

7

−

0.1 mm

⋅

−

zc

−

h

1

+

h

2

+

h

3

+

0.1 mm

⋅

+

zc

−

0.1 mm

⋅

+

:=

Liczba podziałów wysokości przekroju:

lmax 10000

:=

Ciąg indeksów wektora włókien:

l

1 10000

..

:=

Przyrost
wysokości:

Δh

Hc

lmax 1

+

:=

Δh 0.142 mm

=

Wektor współrzędnych wysokościowych poszczególnych włókien:

h

l

zc

−

l Δh

⋅

+

:=

Hc zc

−

h

lmax

−

0.142 mm

=

h

lmax

0.58 m

=

Rozkład temperatury

Odkształcenia swobodne

0

5

10

15

20

1

0.5

0

0.5

1

0

2.10

4

1

0.5

0

0.5

1

Odkształcenia wymuszone

Odkształcenia całkowite

1.5 .10

4

1 .10

4

5 .10

5

0

1

0.5

0

0.5

1

0

2.10

5

4 .10

5

6 .10

5

8 .10

5

1

0.5

0

0.5

1

30

20

10

0

10

1

0.5

0

0.5

NAPRʯENIA TERMICZNE

Naprê¿enia [MPa]

WysokoϾ p

rze

kroju

W³ókna

j

"Górne w³ókna betonu"
"Dolne w³ókna betonu"
"Górne w³ókna stali"
"Górne w³ókna œrodnika"
"Dolne w³ókna œrodnika"
"Dolne w³ókna stali"

:=

σT v

j

( )

0.016
0.448
2.821
2.485

2.92

3.756

MPa

=

σT Hc zc

−

40 cm

⋅

−

0.001 mm

⋅

+

(

)

E Hc zc

−

40 cm

⋅

−

0.001 mm

⋅

+

(

)

Ep

⋅

11.8

−

MPa

=

WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ TERMICZNYCH EKSTREMALNYCH W PRZEKROJU

Z

l

σT h

l

( )

:=

σmax max Z

( )

:=

σmax 3.755MPa

=

Naprężenia maksymalne:

Naprężenia minimalne:

σmin min Z

( )

:=

σmin

23.371

−

MPa

=