Dariusz Sobala, dr inż. Materiał dydaktyczny

P

P

r

r

a

a

k

k

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

a

a

m

m

e

e

t

t

o

o

d

d

a

a

w

w

y

y

z

z

n

n

a

a

c

c

z

z

a

a

n

n

i

i

a

a

o

o

d

d

k

k

s

s

z

z

t

t

a

a

ł

ł

c

c

e

e

ń

ń

/

/

n

n

a

a

p

p

r

r

ę

ę

ż

ż

e

e

ń

ń

t

t

e

e

r

r

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

y

y

c

c

h

h

w

w

d

d

o

o

w

w

o

o

l

l

n

n

y

y

m

m

p

p

r

r

z

z

e

e

k

k

r

r

o

o

j

j

u

u

p

p

r

r

z

z

y

y

d

d

o

o

w

w

o

o

l

l

n

n

y

y

m

m

r

r

o

o

z

z

k

k

ł

ł

a

a

d

d

z

z

i

i

e

e

t

t

e

e

m

m

p

p

e

e

r

r

a

a

t

t

u

u

r

r

y

y

n

n

a

a

j

j

e

e

g

g

o

o

w

w

y

y

s

s

o

o

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

/

/

s

s

z

z

e

e

r

r

o

o

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

W najogólniejszym przypadku na przekrój poprzeczny elementu działa rozkład nieliniowy
temperatury. Przy zachowaniu założenia płaskich przekrojów odkształcenia termiczne mogą
występować w postaci wydłużenia, skrócenia lub/i obrotu przekroju. Każdy rozkład
nieliniowy temperatury można rozłożyć na składowe: stałą, liniowo zmienną po
wysokości/szerokości przekroju oraz składową nieliniową po wysokości/szerokości
przekroju. Każdą z ww. składowych można poddać odrębnej analizie, a obliczone wielkości
odpowiednio zsumować. Poniżej przedstawiono wygodną procedurę wyznaczania
odkształceń/naprężeń termicznych w dowolnym przekroju, który poddany jest oddziaływaniu
dowolnego rozkładu temperatury. Ze względu na jej praktyczny charakter przedstawiono
procedurę obliczeń dla rozkładu po wysokości przekroju,. Analogiczny tok postępowania
można zastosować w poprzek przekroju znając kształt występującego tam rozkładu
temperatury i charakterystykę elementu w tym kierunku.

Z

Y

b(z)

b(z)

z

0

H

z

X

Z

z

0

Rys. 1. Schemat przekroju poprzecznego i widok z boku elementu

Gdyby włókna przekroju nie były ze sobą powiązane, każde z nich odkształciłoby się
swobodnie zgodnie z (1.1)

X

Z

T(z)

X

Z

z

ε

s

(z)

Rys. 2. Rozkład temperatury T(z) na wysokości przekroju i jego odkształcenia swobodne

ε

s

(z)

Dariusz Sobala, dr inż. Materiał dydaktyczny

(1.1)

)

(

)

(

)

(

z

T

z

z

s

⋅

=

α

ε

gdzie

ε

s

(z) – odkształcenie swobodne włókna przekroju o współrzędnej z;

α

(z) – współczynnik rozszerzalności termicznej włókna o współrzędnej z;

T(z) – temperatura włókna o współrzędnej z lub jej przyrost w stosunku do stanu

początkowego (rozkład temperatury po wysokości);

z – współrzędna (odległość) rozpatrywanego włókna od osi X w kierunku osi Z, która

zmienia się od wartości -z

0

do H

z

-z

0

;

H

z

– wysokość przekroju wzdłuż osi Z (Rys. 1)

(1.2)

)

(

)

(

)

(

z

E

z

z

P

s

⋅

=

ε

gdzie E(z) – moduł sprężystości dla włókna przekroju o współrzędnej z;

P(z) – uogólniona zastępcza siła zewnętrzna przywracająca rzeczywisty

kształt/wymiary elementu i powodująca powstanie naprężeń w przekroju.

Część równomierną odkształcenia w przekroju (wydłużenie/skrócenie) można wyznaczyć z
zależności (1.3).

(1.3)

∫

−

−

=

0

0

)

(

)

(

)

(

1

z

H

z

u

z

dz

z

b

z

z

T

A

α

ε

gdzie

ε

u

– składowa równomierna odkształcenia na wysokości przekroju;

A – sprowadzone pole przekroju poprzecznego elementu;

b(z) – szerokość przekroju na poziomie z.

X

Z

z

0

ε

u

Rys. 1. Składowa równomierna odkształcenie przekroju

Zachowanie zasady płaskich przekrojów Bernoulli’ego-Navier’a wymaga, aby przekrój płaski
po obciążeniu pozostał nadal płaski. Ten stan osiąga poprzez przesunięcie przekroju po osi
lub obrót przekroju wokół osi, np. osi poziomej Y. Krzywiznę (nachylenie) przekroju

φ

y

można wyznaczyć na podstawie zależności (1.4) sformułowanej przez Priestley’a [Pristley,
1978]. Odkształcenia spowodowane obrotem są równe

ε

φ

(z)=

φ

y

⋅

z.

(1.4)

∫

−

−

=

0

0

)

(

)

(

)

(

1

z

H

z

y

y

z

dz

z

z

b

z

z

T

I

α

φ

gdzie I

y

- sprowadzony moment bezwładności przekroju względem osi Y.

Dariusz Sobala, dr inż. Materiał dydaktyczny

X

Z

z

0

ε

φ

(z)

z

φ

y

z

Rys. 2. Obrót przekroju

φ

y

spowodowany liniowym rozkładem temperatury na wysokości przekroju

Odkształcenie całkowite przekroju składać się będzie z odkształcenia równomiernego oraz
odkształcenia wywołanego obrotem (1.5).

(1.5)

z

z

z

y

u

u

c

⋅

+

=

+

=

φ

ε

ε

ε

ε

φ

)

(

)

(

X

Z

z

0

ε

c

(z)

Rys. 3. Odkształcenia całkowite przekroju

ε

c

(z)

Zatem naprężenia termiczne, do których wyznaczenia ostatecznie dążymy, pochodzić będą od
odkształcenia wymuszonego (1.6), które stanowić będzie różnicę odkształcenia całkowitego i
swobodnego.

(1.6)

)

(

)

(

)

(

z

z

z

s

c

w

ε

ε

ε

−

=

gdzie

ε

w

(z) – odkształcenie włókna o współrzędnej z wymuszone więzami wewnętrznymi

istniejącymi w przekroju

Dariusz Sobala, dr inż. Materiał dydaktyczny

X

Z

z

ε

w

(z)

Rys. 4.. Odkształcenia wymuszone w przekroju

(1.7)

)

(

)

(

)

(

z

z

E

z

w

T

ε

σ

⋅

=

gdzie

σ

T

(z) – naprężenie w przekroju na poziomie włókna z;

E(z) – moduł sprężystości włókna z przekroju.

Przemieszczenie punktu leżącego na osi przekroju można wyznaczyć z zależności (1.8).

(1.8)

∫

−

−

⋅

⋅

⋅

Δ

=

⋅

=

Δ

0

0

)

(

)

(

)

(

z

H

z

T

u

u

x

z

dz

z

b

z

A

L

T

L

z

L

α

ε

gdzie

L

x

– odległość przekroju od podpory stałej mierzona wzdłuż osi X.

Dla dowolnego punktu przekroju należy wprowadzić korektę wartości przemieszczenia
wynikającą z obrotu przekroju w postaci (1.9).

(1.9)

∫

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Δ

=

⋅

⋅

=

ΔΔ

0

0

)

(

)

(

)

(

z

H

z

T

y

x

u

x

y

x

z

dz

z

z

b

z

I

z

L

T

L

z

z

L

α

φ