Pakiet V

Algebra I

1. Niech P b

,

edzie dowolnym pier´scieniem przemiennym z 1. Podzbi´

or

S ⊂ P nazywamy systemem multiplikatywnym gdy 0 /

∈ S oraz S jest

zamkni

,

ety ze wzgl

,

edu na mno˙zenie.

• Zbuduj, na´sladuj

,

ac konstrukcj

,

e cia la u lamk´

ow, taki pier´scie´

n P

S

oraz homomorfizm τ : P → P

S

, ˙ze ka˙zdy element postaci τ (s), s ∈

S jest odwracalny w P

S

.

• Znajd´z warunek na S, przy kt´

orym τ jest zanurzeniem.

• Opisz (Z

21

)

S

, gdy S sk lada si

,

e z pot

,

eg liczby 7 oraz, gdy S sk lada

si

,

e z pot

,

eg liczby 5.

• Opisz Z

S

jako podzbi´

or w Q, gdy S sk lada si

,

e z liczb niepodziel-

nych przez 3.

• Opisz K[[x]]

S

oraz K[x]

S

, gdy S sk lada si

,

e z element´

ow niepo-

dzielnych przez x.

,

2. Opisz cia lo u lamk´

ow dla K[[x]]. Wsk. Szeregi Laurenta.

3. Znajd´

z niesko´

nczone cia lo charakterystyki p.

4. Pier´scie´

n nazywamy lokalnym, gdy ma tylko jeden idea l maksymalny.

Udowodnij, ˙ze K[[x]] jest lokalny. Wska˙z te pier´scienie skonstruowane
w zadaniu 1, kt´

ore s

,

a lokalne.

5. Wska˙z wszystkie pary izomorficznych pier´scieni w´sr´

od:

Q[x, y]/(x

2

, y), Q[x, y]/(x

2

, y

2

), Q, Q[x, y]/(x, y),

Q[x, y]/(xy), Q[x, y]/(xy, y), Q[x]/(x

2

),

Q[x]/(x(x + 1)), Q[x]/(x

2

(x + 1))

.

Kt´

ore z tych pier´scieni s

,

a dziedzinami. W ka˙zdym z tych pier´scieni

wska˙z idea l maksymalny.

1

6. Opisz Z[i]/(1 + i), Z[i]/(2), Z[i]/(3), Z[i]/(5).

7. Niech I ⊂ P b

,

edzie idea lem. Udowodnij, ˙ze podzbi´

or ˜

I w P , z lo˙zony

z tych element´

ow a ∈ P , dla kt´

orych istnieje n ∈ N, ˙ze a

n

∈ I, jest

idea lem. Por´

ownaj P/I oraz P/ ˜

I.

8. Opisz (6)+(15) ⊂ Z, (6)·(15) ⊂ Z, (x

2

)+(y

3

) ⊂ K[x, y], (x

2

)·(y

3

) ⊂

K[x, y]

9. Zbuduj taki pier´scie´

n, kt´

ory zawiera ”wie˙z

,

e”idea l´

ow z lo˙zon

,

a z trzech

idea l´

ow pierwszych.

10. Udowodnij, ˙ze P \ I jest systemem multyplikatywnym wtedy i tylko

wtedy gdy I jest idea lem pierwszym.

2