Algebra I
Poniżej P oznacza zawsze dziedzine, a K - cia lo.
,
1. Niech (a1, ..., an) ∈ P n. Rozważmy idea l I(a1, ..., an) ⊂ P [x1, ..., xn]
z lożony z tych wielomianów f (x1, ..., xn), że f (a1, ..., an) = 0. Udowodnij, że {xi − ai; i = 1, ..., n} generuje I(a1, ..., an).
2. Niech a ∈ P, a 6= 0. Niech I bedzie idea lem maksymalnym w rodzinie
,
tych wszystkich idea lów, które nie zawieraja żadnego elementu postaci
,
an, n ∈ N. Udowodnij, że I jest idea lem pierwszym.
3. Niech S ⊂ P bedzie systemem multyplikatywnym.
Niech I bedzie
,
,
idea lem maksymalnym w rodzinie tych wszystkich idea lów, które nie zawieraja żadnego elementu należacego do S. Udowodnij, że I jest
,
,
idea lem pierwszym.
4. Niech P bedzie dziedzina z jednoznacznym rozk ladem, a (P ) niech
,
,
bedzie jej cia lem u lamków. Udowodnij, że jeśli
,
a
a
f =
n xn + ... + 0 x0 ∈ (P )[x],
bn
b0
gdzie u lamki an , a0 sa nieskracalne oraz f ( a ) = 0, to a|a b
0, b|an.
n
b0
,
b
5. Niech a ∈ Z. Za lóżmy, że liczba a nie jest podzielna przez liczbe, pierwsza p. Udowodnij, że 1 jest reszta z dzielenia ap−1 przez p.
,
,
6. Udowodnij, że jedynym rozwiazaniem równania
,
x3 = y2 + 1
w liczbach ca lkowitych jest
x = 1, y = 0.
Wsk. Najpierw, rozważajac rozwiazania tego równania mod(4),udowodnij,
,
,
że y jest parzyste, a x jest nieparzyste. Dalej rozważ rozk lad w pierścieniu Z[i]
y2 + 1 = (y + i)(y − i).
1
Udowodnij, że y + i oraz y − i sa wzglednie pierwsze w ad
,
,
Z[i] i st ,
wywnioskuj, że y + i, y − i musia ly by być sześcianami. Udowodnij, że stad wynika, że y = 0.
,
7. Niech p bedzie liczba pierwsza. Udowodnij, że wielomian
,
,
,
xp−1 + ... + 1
jest nierozk ladalny w Q[x].
Wsk. Podstaw x 7→ x + 1 i skorzystaj z kryterium Eisensteina.
8. Niech K bedzie dowolnym cia lem, a n ∈
,
N. Udowodnij, że wielomian
xn − x
1
2 ∈ K [x1, x2] jest nierozk ladalny.
Wsk. K[x1, x2] = K[x2][x1]. Skorzystaj z kryterium Eisensteina.
9. Udowodnij, że pierścień szeregów formalnych K[[x]] jest dziedzina z
,
jednoznacznym rozk ladem.
√
10. Udowodnij, że Z[ 2 −6] nie ma w lasności jednoznacznego rozk ladu.
√
Wsk. Zauważ, że 6 = 2 · 3 = −( 2 −6)2. Dla dowodów nierozk ladalności korzystaj z kwadratu normy.
11. Udowodnij, że K[x, y]/(x2 − y5) jest dziedzina bez w lasności jedno-
,
znacznego rozk ladu.
2