ALGEBRA, rozdz. V,VI,VIII, zadania do oddania

Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,

pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia.

Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach!

Nale y wypełni zał czon stron tytułow wpisuj c wskazane wyniki.

Zadanie 11.

Sprawd , e w R

3

wektory

(

)

k

k

x

,

,

1

−

=

,

(

)

2

,

2

,

0

−

=

y

,

(

)

1

,

1

,

1

−

−

=

z

s liniowo zale ne.

Przedstaw wektor zerowy jako niezerow kombinacj liniow tych wektorów.

Czy wektor

(

)

k

t

,

0

,

0

=

mo na przedstawi jako kombinacj liniow wektorów

x

,

y

,

z

?

(uzasadnij),

Czy wektory

x

,

y

,

t

tworz baz ? Je li tak, wyznacz współrz dne wektora (1, 1, 1) w tej

bazie.

Zadanie 12.

Wyznacz rozwi zanie ogólne równania jednorodnego:

=

+

=

−

−

0

0

kz

y

kz

ky

x

Zadanie 13.

Dane jest przekształcenie liniowe

3

4

:

R

R

f

→

,

(

) (

)

2

1

4

3

2

3

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

x

k

x

kx

x

x

x

kx

x

x

x

x

f

−

−

+

+

=

Okre l jego macierz w bazie kanonicznej.

Wyznacz dimKerf, dimImf.

Zadanie 14.

Wyznacz warto ci własne i odpowiadaj ce im wektory własne operatora

3

3

:

R

R

f

→

,

którego macierz w bazie kanonicznej ma posta

−

1

0

0

0

1

0

0

k

k

Czy wyznaczone wektory własne tworz baz w R

3

.

Zadanie 15.

W R

3

ze standardowym iloczynem skalarnym wykona ortogonalizacj Grama-Schmidta bazy

( )

0

,

1

,

1

=

x

,

(

)

1

,

0

,

0

=

y

,

(

)

k

k

z

,

0

,

=

.

Wyznaczy rzut wektora z na Lin{kx}. Jaka jest długo tego rzutu?

L.Kowalski, 3.10.2005

...................................

data

ALGEBRA, rozdz. V, VI, VIII,

.............................................

................................................

.................

Imi

Nazwisko

grupa

......................................................

.......................

nr indeksu

k

ZADANIE

ODPOWIEDZI DO ZADA

Zadanie 11

Zadanie 12

Zadanie 13

Zadanie 14

Zadanie 15