Ponieważ na ćwiczeniach było pokazane, że dana suma cosinusów jest częścią rzeczywistą sumy zespolonego ciągu geometrycznego więc ograniczę się do przekształcenia tej sumy: 2π
2π
π
π
5
10
10
1 − (cos
+ i sin
)
1 − (cos
+ i sin
)
π
π
11
11
π
π
11
11
(cos
+ i sin
) ⋅
= (cos
+ i sin
) ⋅
11
11
π
π
π
π
2
11
11
2
2
1 − (cos
+ i sin
)
1 − (cos
+ i sin
)
11
11
11
11
Sprowadzam wszystko do jednego kąta stosując w liczniku wzory redukcyjne na cosinus i sinus π
(π −
) a w mianowniku wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta: 11
π
π
− −
+
1 ( cos
i sin
)
π
π
11
11
+ i
⋅
=
(cos
sin
)
11
11
π
π
π
π
2
2
−
−
+
1 (cos
sin
2 i sin cos
)
11
11
11
11
π
π
+
−
1 cos
i sin π
π
11
11
=
+ i
⋅
=
(cos
sin
)
11
11
π
π
π
π
π
π
2
2
2
2
+
−
+
−
cos
sin
cos
sin
2 i sin cos
)
11
11
11
11
11
11
π
π
π
π
+
− i
+
−
1 cos
sin
1 cos
i sin π
π
11
11
π
π
11
11
=
+ i
⋅
=
+ i
⋅
=
(cos
sin
)
(cos
sin
)
11
11
π
π
π
π
π
π
2
11
11
−
i
−
2 sin
2 sin
cos
)
2 sin
(sin
i cos
)
11
11
11
11
11
11
usuwam i z mianownika stosując sprzężenie: π
π
π
π
1
( + cos
− i sin
)(sin
+ i cos
)
π
π
11
11
11
11
(cos
+ i sin
) ⋅
=
11
11
π
π
π
π
π
2sin
(sin
− i cos
)(sin
+ i cos
)
11
11
11
11
11
π
π
π
π
π
π
1
( + cos
− i sin
)(cos
+ i sin
)(sin
+ i cos
)
11
11
11
11
11
11
=
=
π
π
π
2sin
(sin 2
2
− i
cos2
)
11
11
11
π
π
π
π
π
π
π
π
1
( + cos
− i sin
)(cos
sin
+ i sin 2
+ i cos2
− cos
sin
)
11
11
11
11
11
11
11
11
=
=
π
π
π
2sin
(sin 2
+ cos2
)
11
11
11
π
π
π
π
π
π
1
( + cos
− i sin
) i(sin 2
+ cos2
)
1
( + cos
− i sin
) i
11
11
11
11
11
11
=
=
=
π
π
2 sin
2 sin
11
11
π
π
π
π
i + i cos 2
− i
sin
i + i cos
+ sin
11
11
11
11
=
π
π
2 sin
2 sin
11
11
a z tego chyba widać że częścią rzeczywistą jest ½.