dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 8 (57); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 4

ZADANIA 1 - 6

ALGEBRA LINIOWA

W odcinku w omawiamy pojęcia związane z przestrzeniami liniowymi i z przekształceniami liniowymi; wykazujemy tożsamość pojęcia przekształcenia liniowego i mnożenia macierzy przez wektor; wykonujemy zadania z rachunku macierzowego.

Zadanie 1. Sprawdzić, że
jest przestrzenią liniową..

Chcąc przestąpić do wykonania polecenia, trzeba precyzyjnie zdefiniować występujące w jego treści pojęcia. Najpierw przekopiujemy z jednego z poprzednich odcinków definicję przestrzeni liniowej.

ABSTRAKCYJNA DEFINICJA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Zbiór E nazywa się przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, jeśli w zbiorze tym jest określone działanie dodawania na elementach zbioru E zwanych wektorami oraz działanie mnożenia wektora przez liczbę zwaną skalarem; aby zbiór z takimi dwoma działaniami można było nazwać przestrzenią liniową, działania te muszą spełniać następujące warunki:

PL 1
- przemienność dodawania wektorów;

PL 2
- łączność dodawania wektorów;

PL 3 istnieje wektor zerowy
, tzn. taki, że dla każdego wektora
zachodzi równość

- jest to element neutralny dodawania wektorów;

PL 4 dla każdego wektora
istnieje wektor
taki, że
- element
o tej

własności nazywamy wektorem przeciwnym do wektora
i oznaczamy
;

PL 5
- łączność mnożenia skalarów i wektora przez skalar: wszystko

jest jedno, czy najpierw pomnożymy skalary, a wynik tego mnożenia pomnożymy z

kolei przez wektor, czy też najpierw jeden ze skalarów pomnożymy przez wektor, a

wektor uzyskany w wyniku tego mnożenia pomnożymy przez drugi skalar;

PL 6
- rozdzielność mnożenia skalara i wektora względem

dodawania skalarów;

PL 7
- rozdzielność mnożenia skalara i wektora względem

dodawania wektorów;

PL 8
- pomnożenie dowolnego wektora przez element neutralny mnożenia liczb

nie zmienia danego wektora.

KONIEC DEFINICJI PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

DEFINICJA PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję

1. 
   

taką, że

2. 
   addytywność

i jeśli α jest skalarem, wówczas

3. 
   jednorodność

Uwaga w kwestii oznaczeń: zwykle zamiast
pisze się po prostu
; w tej konwencji wzory (2) i (3) będą miały wygląd:

4. 
   

oraz

5. 
   .

Oba wzory (2) i (3) mogą zostać zastąpione jednym:

liniowość.

DEFINICJA DZIAŁAŃ NA PRZEKSZTAŁCENIACH LINIOWYCH

Zbiór wszystkich przekształceń przestrzeni E w przestrzeń F oznaczamy symbolem

L(E, F); elementami tej przestrzeni są oczywiście operatory liniowe przekształcające przestrzeń E w przestrzeń F; te przekształcenia możemy dodawać i mnożyć przez liczby rzeczywiste według następującej definicji: jeśli

6. 
   i
   ,

są przekształceniami liniowymi

wówczas
jest przekształceniem odwzorowującym przestrzeń E w przestrzeń F , które dla dowolnego wektora
przyjmuje wartość:

7. 
   ,

natomiast, jeśli α jest skalarem, wówczas przekształcenie
jest określone w sposób następujący:

8. 
   

Teraz żmudnie punkt po punkcie sprawdza się, czy przekształcenia zdefiniowane wzorami (7) i (8) spełniają warunki (2) i (3). Jeśli je już sprawdzimy, będziemy mieli pewność, że zbiór L(E, F) jest zamknięty ze względu na działania (7) i (8).

Następnie znowu w żmudny sposób należy sprawdzić wszystkie punkty PL 1 - PL 8 wstawiając w miejsce wektorów
operatory
; jako zero przestrzeni L(E, F) występuje operator A taki, że dla każdego
jest
. Operator przeciwny do operatora A, to operator
; przy czym mnożenie zostało zdefiniowane wzorem (8).

Sprawdzenie wszystkich warunków jest ważne, jednakże studentowi będzie się wydawać nudne i bezsensowne. Autor odcinków nie będzie tego sprawdzał z bardzo prostego względu: student, którego to nie zainteresuje i tak tego nie przeczyta, natomiast student, który dostrzeże ważność tej czynności też tego nie przeczyta, gdyż z łatwością stosowne wzorki napisze sam. Przechodzimy do następnego zadania.

Zadanie 2. Sprawdzić, że przy ustalonych n i k zbiór macierzy o n wierszach i k kolumnach jest przestrzenią liniową. Wskazać przykładową bazę tej przestrzeni, określić jej wymiar.

Wcześniej powiedzieliśmy, że każde przekształcenie liniowe z przestrzeni
w przestrzeń
reprezentuje się macierzą; zapisywaliśmy odpowiednie macierze dla przekształceń w zad 1 listy 3 - odcinek 34.

Używając wprowadzonego pojęcia izomorfizmu można powiedzieć, że rozważany w tym zadaniu zbiór macierzy o n wierszach i k kolumnach jest niczym innym, jak przestrzenią
z poprzedniego zadania. Wymiar tej przestrzeni, to oczywiści iloczyn liczb k i n. W tym zadaniu również nie będziemy drobiazgowo sprawdzać wszystkich warunków, z tych samych powodów, co poprzednio. Powiemy tylko, że macierz mnoży się przez liczbę w taki sposób, że każdy wyraz macierzy mnoży się przez nią, macierze dodajemy sumując wyrazy leżące w tym samym wierszu i tej samej kolumnie; wszystko zresztą się wyjaśni w przykładach liczbowych.

Bazą przestrzeni macierzy jest zbiór wszystkich macierzy, które w jednym miejscu mają jedynkę, a w pozostałych
miejscach mają zero.

Komu mało tych wyjaśnień, niech napisze maila. Drobiazgowe sprawdzanie wszystkich warunków jest tak nudne, że autor odcinków nie ma na nie najmniejszej ochoty.

Przechodzimy do zadań rachunkowych.

Zadanie 3. Dla danych macierzy A, B, C, D:

9. 
   ,
   ,
   ,
   

wykonać działania, o ile to jest możliwe.

Polecenie a)
wykonanie działania jest możliwe, bez komentowania zapiszemy działania, a student natychmiast sam zobaczy o co chodzi:

10. 
    .

Polecenie b)

wykonanie działania jest możliwe:

11. 
    .

Polecenie c)
działanie okaże się wykonalne, ale zanim to zobaczymy wykonajmy najpierw dodawanie

12. 
    ,

teraz zapiszemy transpozycję macierzy C ; powstaje ona w ten sposób, że wiersze macierzy C stają się kolumnami, a kolumny wierszami:

13. 
    ,

nadszedł czas na mnożenie macierzy:

14. 
    ,

macierze w wzorze (14) dadzą się pomnożyć, bowiem długość wierszy pierwszej macierzy jest równa wysokości kolumn macierzy drugiej, w iloczynie macierzy na odpowiednim miejscu wstawiamy liczbę będącą iloczynem skalarnym odpowiedniego wiersza przez odpowiednią kolumnę, aby wiersz przez kolumnę dał się pomnożyć skalarnie, to wymiary obu wektorów muszą być takie same; macierz będąca iloczynem ma tyle wierszy, ile macierz pierwsza oraz tyle kolumn, ile macierz druga, wykonamy to praktycznie, a student sam dostrzeże wszystkie szczegóły algorytmu:

;

po wykonaniu mnożenia:

;

po wykonaniu dodawania i odejmowania:

15. 
    .

Polecenie d)
Całe działanie nie da się wykonać; możemy li tylko odjąć macierze A i B:

16. 
    ,

dalej polecenie mówi o wymnożeniu macierzy:

17. 
    oraz
    ;

macierzy tych nie da się pomnożyć, ponieważ wiersze pierwszej macierzy mają wymiar 2, a kolumny drugiej macierzy wymiar 4; nie można zatem utworzyć iloczynu skalarnego: wiersz razy kolumna.

Polecenie e)
takie mnożenie zawsze jest wykonalne, jakakolwiek byłaby macierz C. Dla macierzy z zadania należy wykonać mnożenie:

18. 
    ,

iloczyn (18) będzie macierzą o czterech wierszach i czterech kolumnach:

teraz wykonamy mnożenie liczb na każdym ze stanowisk

;

widać, że w wyniku wyszła macierz symetryczna, to nie przypadek, w wypadku mnożenia dowolnej macierzy przez jej transpozycję zawsze w wyniku otrzymujemy macierz symetryczną:

19. 
    .

Polecenie f)
iloczyn istnieje i okaże się macierzą symetryczną o dwu wierszach i dwu kolumnach:

20. 
    

obliczamy

po wykonaniu działań mnożenia dostajemy macierz:

,

ostatecznie mamy

21. 
    .

Polecenie g)
Działanie nie jest wykonalne, gdyż nie da się wykonać odejmowania
; macierze B i C są różnych wymiarów.

Polecenie h)
Działanie jest wykonalne, podobnie, jak w przykładzie c wynik będzie macierzą o trzech wierszach i czterech kolumnach; z wzoru (16) przepisujemy:

22. 
    ,

teraz obliczymy

wykonamy dodawanie macierzy:

23. 
    ;

mnożymy macierze (22) i (23)

;

stosujemy algorytm mnożenia macierzy: wiersz razy kolumna - skalarnie:

uff !!! jest naprawdę co liczyć, lecz zajęcie to nie jest zbyt miłe

przebrnęliśmy przez najgorsze

24. 
    ;

policzone.

Polecenie i)
nie ma możliwości wykonanie tego działania, ponieważ macierz
ma trzy wiersze długości dwa, a macierz
ma dwie kolumny wysokości cztery; a zatem długość wierszy pierwszej macierzy nie jest równa wysokości kolumn drugiej macierzy, prze co nie można utworzyć iloczynów skalarnych: wiersz razy kolumna.

Polecenie j)
wynik będzie podobnie, jak w przykładzie h, macierzą o trzech wierszach i czterech kolumnach; podobnie, jak w poprzednim zadaniu liczy się iloczyn
, potem iloczyn
; wreszcie oba iloczyny sumujemy; powodzenia.

Polecenie k)
Obliczamy macierz

25. 
    ;

teraz macierz

26. 
    

teraz możemy liczyć iloczyn:

w wyniku dostaniemy macierz o czterech wierszach i trzech kolumnach

wykonajmy mnożenie na poszczególnych pozycjach w macierzy:

;

pozostaje wykonać proste działania

27. 
    

Polecenie l)
; wynik mnożenia
będzie macierzą o trzech wierszach, z których każdy będzie wektorem należącym do przestrzeni
; macierz D składa się z dwu kolumn, z których każda również jest wektorem z przestrzeni
, tak więc będzie można wykonać mnożenie wiersz razy kolumna skalarnie macierzy
i macierzy D, otrzymamy przy tym macierz o trzech wierszach i dwu kolumnach, to właśnie będzie macierz
Autor odcinków nie będzie wyręczał studentów w prostych obliczeniach. Ci ze studentów, którzy na podstawie wcześniejszych przykładów zdążyli się dowiedzieć, o co chodzi w rachunku macierzowym, z łatwością wykonają bieżące rachunki, kto nie zdołał się nauczyć, niech przyśle maila i określi, czego nie rozumie.

Zadanie 4. Obliczyć

Komentarz. W bieżącym zadaniu liczymy potęgi macierzy kwadratowych, to znaczy takich, które mają taką samą ilość kolumn i wierszy. Wszystkie macierze kwadratowe danego stopnia n , to znaczy macierze o n wierszach i n kolumnach tworzą nie tylko przestrzeń liniową wymiaru n²; działanie mnożenia nie wyprowadza nas poza zbiór tych macierzy kwadratowych. Oczywiście działania mnożenia i dodawania macierzy kwadratowych oraz mnożenia macierzy kwadratowej przez liczbę spełniają odpowiednie warunki; działanie mnożenia jest np. rozdzielne względem dodawania, istnieje macierz jednostkowa, niektóre, ale nie wszystkie macierze mają macierze odwrotne. Wszystkie macierze kwadratowe danego stopnia stanowią z działaniami mnożenia macierzy, dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę strukturę zwaną algebrą ; tak samo nazywa się struktura, jak cały przedmiot, można ją określić abstrakcyjnie; o takich strukturach uczą się studenci matematyki. Wracamy do zadania.

Polecenie a)
;

dalej

,

a więc

28. 
    .

Komentarz. Zauważmy, że
oraz
; to nie jest przypadek, dla macierzy kwadratowych zachodzi bowiem wzór

29. 
    

Polecenie b)
; najpierw obliczymy :

=
·

dalej

=

po wykonanie mnożenia liczb mamy

=

po dodawaniu i odejmowaniu liczb mamy

30. 
    =
    

Komentarz. Zauważmy, że znowu jest spełniony wzór (29), bowiem
oraz
.

Teraz obliczamy trzecią potęgę wyjściowej macierzy:

=
·
,

czyli

=
·
.

Ostatnie wyliczenie pozostawiamy Czytelnikowi, aby sprawdzić, czy wyliczyliśmy dobrze, posłużmy się wzorem

31. 
    

Wyznacznik ostatecznego rezultatu powinien wynosić - 6859. Powodzenia w liczeniu.

Polecenie c)
; w zadaniu tym podnosimy do potęgi macierz jednostkową; dowolna potęga tej macierzy daje w wyniku znowu tę samą macierz; tak więc odpowiedź brzmi

32. 
    =
    .

Zadanie 5. Obliczyć

=
=

=
=
.

Wiersze macierzy pierwszej są wektorami z przestrzeni
, podobnie, jak kolumny macierzy drugiej. Iloczyny skalarne tych wektorów są równe zero, co oznacza, że wiesze pierwszej macierzy są prostopadłe do kolumn drugiej macierzy. Takich przykładów można podać więcej, student na pewno wymyśli je sam, jeśli będą kłopoty, wysłać maila.

Zadanie 6. Zrobić samodzielnie, lub wysłać maila.

Koniec odcinka.

Synonimem jest termin przestrzeń wektorowa.

Wynik dodawania dwu wektorów jest wektorem.

Wynik mnożenia wektora przez skalar jest wektorem.

Tak, tak, trzeba przyjąć taki aksjomat, gdyż ta naturalna własność wcale nie wynika z poprzednich warunków.

Na oko jakieś 98% populacji studenckiej.

Uwaga, przy sprawdzaniu warunków najważniejsze jest właściwe rozstawianie nawiasów.

Na przekątnej ma same jedynki, a poza tym zera.

Macierze odwrotne mają li tylko macierze o wyznaczniku różnym od zera; a więc macierze o wyznaczniku równym zero ni mają macierzy odwrotnej; macierz odwrotna to taka, która pomnożona przez wyjściową daje w wyniku macierz jednostkową.

Tzn. macierze o n wierszach i n kolumnach.

1

---