dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 6 (55); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 3

ZADANIA 1 - 4

ALGEBRA LINIOWA

W odcinku omawiamy pojęcia związane z przekształceniami liniowymi; są zadania rachunkowe; podano przykłady różnych przekształceń, trzeba rozpoznać, które z nich są liniowe; dowodzimy również twierdzenia związane z przekształceniami liniowymi; przedstawiamy te przekształcenia w formie macierzowej.

Zaczniemy od podania podstawowych pojęć:

DEFINICJA PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

I

PODSTAWOWE POJĘCIA Z TYM ZWIĄZANE

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję

1. 
   

taką, że

2. 
   addytywność

i jeśli α jest skalarem, wówczas

3. 
   jednorodność

Uwaga w kwestii oznaczeń: zwykle zamiast
pisze się po prostu
; w tej konwencji wzory (2) i (3) będą miały wygląd:

4. 
   

oraz

5. 
   .

Oba wzory (2) i (3) mogą zostać zastąpione jednym:

6. 
   liniowość.

Jeśli
oraz
, czyli

7. 
   

wyraża się za pomocą mnożenia macierzy; dla każdego przekształcenia (7) istnieje macierz mająca n kolumn i m wierszy, że przekształcenie A ma postać

8. 
   ,

gdzie

9. 
   ;

Jeśli oznaczymy
, przy czym wprowadzimy oznaczenie

10. 
    ,

wówczas zależność (8) można zapisać w formie układu równań:

11. 
    .

Na razie wystarczy pojęć podstawowych; zauważmy, że algebrę liniową można studiować bez pojęcia przekształcenia liniowego, a wszystkie fakty wyrazić w języku układów równań liniowych; przyjęło się jednak używać również języka przekształceń liniowych i ku utrapieniu studentów trzeba się tego uczyć.

KONIEC PREZENTACJI POTRZEBNYCH POJĘĆ

Zadanie 1. Które z następujących funkcji są operatorami liniowymi.

Polecenie a)
;
;

jest to oczywiście przekształcenie liniowe, jego macierzowa postać wygląda w sposób następujący:

12. 
    ;

Uwaga.

Wynik mnożenia macierzy przez wektor - kolumnę we wzorze (12) jest wektorem - kolumną:

13. 
    ;

w algebrze liniowej czasami odróżnia się wektory - wiersze od wektorów - kolumn. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, nie ma sensu ich rozróżniać, tylko zapisywać tak, jak jest wygodnie i ekonomicznie, jeśli chodzi o rozkład miejsca na stronicy. Gdybyśmy chcieli być wierni zapisowi z treści zadanie musielibyśmy postać macierzową zapisać w sposób następujący:

14. 
    ,

w tym wypadku wynik zapisujemy

15. 
    ;

w większości podręczników jest przyjęta konwencja (12) i (13), a nie (14) i (15); wybór zapisu, rzecz gustu, lecz rozsądek podpowiada, aby pisać tak, jak pisze większość autorów. Nie będziemy już wracać do sprawy oznaczeń i wektory będziemy pisać tak, jak akurat jest wygodnie, albo jako wiersze, albo jako kolumny.

Polecenie b)
;
.

Przekształcenie jest liniowe:

16. 
    .

Polecenie c)
;
.

Podane przekształcenie nie jest liniowe; weźmy wektor
;mnożymy go przez pięć:
; obliczamy
, natomiast
, czyli
, tak więc
. Podaliśmy tzw. kontrprzykład, z którego wynika, że nie jest spełniony warunek jednorodności (3), a zatem przekształcenie A nie jest liniowe.

Polecenie d)
;
;

to przekształcenie oczywiście jest liniowe, a oto jego macierzowa postać:

17. 
    .

Polecenie e)
;
;

To nie jest przekształcenie liniowe; w zadaniu drugim wykażemy, że dla każdego przekształcenia liniowego zachodzi równość:

18. 
    ;

tutaj równość (18) nie jest spełniona, bowiem
, czyli jest
.

Polecenie f)
;
;

w tym wypadku oczywiście mamy do czynienia z przekształceniem liniowym; oto jego macierzowa postać

19. 
    .

Polecenie g)
;
;

przekształcenie A nie jest liniowe, bowiem
.

W tych przykładach, w których przekształcenie jest liniowe, można bezpośrednio sprawdzać warunki (2) i (3), kto ma na to ochotę, niechaj sprawdza; autor odcinków takiej ochoty nie wykazuje; jeśli będziecie to liczyć, to nie ma tam nic innego, jak wyciąganie przed nawias i rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Zadanie 2. Wykazać, że jeśli A jest operatorem liniowym, to
.

Na tej własności opieraliśmy się wcześniej w zadaniu pierwszym; teraz udowodnimy to, a potem będzie komentarz.

Dowód.

Zakładamy, że
. Niech
Wcześniej pokazaliśmy, że dla każdego wektora
zachodzi wzór
; z warunku (2) mamy

20. 
    .

Na ćwiczeniach wywód (20) nie będzie raczej potrzebny, tylko od razu będzie się korzystać z własności
, w której w miejsce wektora
podstawia się
:

21. 
    ;

a zatem
; zauważmy, że zero po lewej stronie równości oznacza wektor zerowy przestrzeni E , a po prawej stronie wektor zerowy przestrzeni F.

Komentarz. Na mocy autorytetu podaliśmy, że przekształcenie liniowe ma postać macierzową, jeśli w przykładach zaznaczonych na zielono w miejsce zmiennych wpiszemy same zera, to w wyniku również dostaniemy zera, jeśli w wzorze (11) w miejsce x - ów wpiszemy zera, to y - ki też będą zerami; tym świetle twierdzenie jest oczywiste.

Zadanie 3. Niech
będzie operatorem liniowym.

Definicja. Zbiór

22. 
    

nazywamy jądrem operatora i oznaczamy symbolem Ker A.

Twierdzenie a) Ker A jest podprzestrzenią E.

Zgodnie z definicją podprzestrzeni należy pokazać, że jeżeli
oraz α i β są skalarami, to
. Zapiszmy

23. 
    .

Twierdzenie jest udowodnione.

Komentarz. Można je sformułować tak: Zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest zamknięty ze względu na branie kombinacji liniowych. Można jeszcze powiedzieć tak: kombinacja liniowa dwu rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest również rozwiązaniem tego układu równań.

Wcześniej powiedzieliśmy, że całą algebrę liniową można wyłożyć bez abstrakcyjnych pojęć, a tylko w konwencji układów równań liniowych, zawsze można przetłumaczyć twierdzenia algebry na język równań.

Twierdzenie b) Operator A jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy
.

Komentarz. Twierdzenia można sformułować w sposób następujący:

Na to, by operator był różnowartościowy potrzeba i wystarcza, by
.

Oba sposoby sformułowania twierdzenia oznaczają równoważność dwu warunków:

M :
;

N : Operator A jest różnowartościowy.

Dowód.

Najpierw pokażemy implikację N → M. Z zadania 2 wiemy, że
; jeśli
, to na mocy założenia N zachodzi równość
, stąd wyciągamy wniosek, że jedynym wektorem należącym do Ker A jest wektor zerowy, czyli zachodzi warunek M.

Teraz pokażemy implikację M → N. Niech zatem
; trzeba pokazać, że
. Korzystając z liniowości możemy zapisać:
, czyli
; ponieważ warunek M głosi, że wektor zerowy jest jedynym elementem należącym do
, więc
, a więc
.

Udowodniliśmy równoważność obu warunków: M ↔ N.

Komentarz.

W języku układów równań liniowych można to twierdzenie wyrazić w sposób następujący: Niesprzeczny układ równań liniowych

24. 
    

ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy związany z nim układ jednorodny

25. 
    

również ma jedno rozwiązanie; oczywiście rozwiązanie układu jednorodnego jest wektor zerowy.

Koniec odcinka.

Termin operator jest synonimem terminu przekształcenie. W matematyce często stosuje się synonimy po to, aby tekst nie był pisany zbyt ubogim językiem.

Jeśli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, wówczas mówi się, że jest to układ oznaczony.

1

---