dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 3 (52); Zaczynamy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 1

ZADANIE 3 - 7

ALGEBRA LINIOWA

Kontynuujemy listę dotyczącą podprzestrzeni liniowych. Tym razem jest coś, czego studenci bardzo nie lubią, a mianowicie abstrakcyjne dowody. Kto nie potrafi i nie lubi robić dowodów, może ten odcinek przerzucić pobieżnie, lub pominąć. Zwykle jest tak, że do zdania egzaminu wystarcza umiejętność liczenia zadań, a nie dowodzenia twierdzeń. Kto lubi dowodzić, niechaj czyta i się uczy.

Zdanie 3. Wykazać, że podprzestrzeń przestrzeni liniowej E jest przestrzenią liniową (z działaniami takimi, jak w E ).

W matematyce jest tak, że jeśli dowodzimy jakieś twierdzenie, musimy się oprzeć na ściśle zdefiniowanych pojęciach. Aby wykonać dane polecenie, musimy oprzeć się na definicji przestrzeni liniowej i jej podprzestrzeni:

ABSTRAKCYJNA DEFINICJA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Zbiór E nazywa się przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, jeśli w zbiorze tym jest określone działanie dodawania na elementach zbioru E zwanych wektorami oraz działanie mnożenia wektora przez liczbę zwaną skalarem; aby zbiór z takimi dwoma działaniami można było nazwać przestrzenią liniową, działania te muszą spełniać następujące warunki:

PL 1
- przemienność dodawania wektorów;

PL 2
- łączność dodawania wektorów;

PL 3 istnieje wektor zerowy
, tzn. taki, że dla każdego wektora
zachodzi równość

- jest to element neutralny dodawania wektorów;

PL 4 dla każdego wektora
istnieje wektor
taki, że
- element
o tej

własności nazywamy wektorem przeciwnym do wektora
i oznaczamy
;

PL 5
- łączność mnożenia skalarów i wektora przez skalar: wszystko

jest jedno, czy najpierw pomnożymy skalary, a wynik tego mnożenia pomnożymy z

kolei przez wektor, czy też najpierw jeden ze skalarów pomnożymy przez wektor, a

wektor uzyskany w wyniku tego mnożenia pomnożymy przez drugi skalar;

PL 6
- rozdzielność mnożenia skalara i wektora względem

dodawania skalarów;

PL 7
- rozdzielność mnożenia skalara i wektora względem

dodawania wektorów;

PL 8
- pomnożenie dowolnego wektora przez element neutralny mnożenia liczb

nie zmienia danego wektora.

KONIEC DEFINICJI PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Najważniejszym przykładem przestrzeni wektorowej jest przestrzeń
, którą dobrze znamy.

Jeśli chcemy zmierzyć się z zadaniem 1, musimy wprowadzić definicję podprzestrzeni liniowej:

DEFINICJA PODPRZESTRZENI LINIOWEJ

Niech E oznacza przestrzeń liniową, niech dalej A będzie podzbiorem tej przestrzeni:
; mówimy, że A jest podprzestrzenią przestrzeni E jeśli:

PPL 1 dla każdych wektorów
zachodzi
- suma dwu wektorów

należących do podprzestrzeni również należy do podprzestrzeni;

PPL 2 dla każdego skalara
i wektora
zachodzi
- iloczyn dowolnego

skalara i wektora z podprzestrzeni należy do tej podprzestrzeni.

KONIEC DEFINICJI PODPRZESTRZENI LINIOWEJ

UWAGA W matematyce robi się tak, że pisze się zespół warunków, a następnie obiektom spełniającym ów zestaw nadaje się nazwę. Ponieważ tak się zdarza, że różne zespoły warunków okazują się równoważne, więc obiekty, którym nadano jedną i tę samą nazwę mogą być określane przez różne zespoły warunków. Może się tak zdarzyć, że w jednej książce dane pojęcie jest zdefiniowane przez zestaw warunków M , a zespół warunków N występuje jako twierdzenie charakteryzujące obiekty; w innej książce może być na odwrót, jako definicja może być podany zespół warunków N , a jako twierdzenie charakteryzujące występuje zespół warunków M. Dlatego też w zdaniach teoretycznych, jak np. w zadaniu 1 koniecznie musi zostać wypunktowane, co jest definicją, a co jest twierdzeniem. My przyjęliśmy stosowne definicje, na wykładach mogą paść trochę inne.

Rozwiązanie zadania 3.

Na początku pokażemy rzecz, która studentom wydaje się prawdziwa sama przez się, a której jednak w aksjomatach nie ma; trzeba będzie pokazać, że ona z aksjomatów wynika. Niech mianowicie
będzie dowolnym wektorem przestrzeni E; aksjomat PL 4 gwarantuje istnienie elementu odwrotnego
; powstaje pytanie, czy zachodzi równość:

1. 
   ;

okazuje się, że tak, lecz trzeba to udowodnić na podstawie aksjomatów PL 1 - PL 8, a więc do dzieła:

2. 
   ;

pierwszą równość gwarantuje aksjomat PL 3, drugą PL 4; kontynuujemy na mocy PL 2 i PL 8

3. 
   ;

teraz stosujemy aksjomat PL 6

4. 
   ;

teraz jeszcze raz skorzystamy z PL 3; PL 8 i PL 4

5. 
   ;

jeszcze raz korzystamy z PL 2 oraz PL 6

6. 
   ;

już prawie dobijamy do końca, jeszcze raz skorzystamy z PL 8 PL 2 i PL 3

7. 
   ;

a zatem wykazaliśmy równość (1), którą można zapisać

8. 
   

Komentarz.

Zwykle taką ekwilibrystykę wykonują tylko studenci matematyki, natomiast studenci innych uczelni, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym, odrabiają tylko zadania rachunkowe, skoro jednak takie zadanie znalazło się na liście, postanowiliśmy je zrobić dokładnie. W matematyce jest tak, że albo coś robimy dokładnie, albo nie robimy w ogóle, tylko podajemy daną własność na mocy autorytetu przysługującemu nauczycielowi; praca po łebkach prowadzi do nikąd, mogą ją wykonywać tylko amatorzy, którzy o matematyce mają pojęcie mgliste, lub żadne.

Koniec komentarza, wracamy do zadania.

Niech
będzie podprzestrzenią przestrzeni liniowej E i niech
, trzeba pokazać, że
; aksjomat PPL 2 gwarantuje, że
; równość (8) pokazuje, że
.

Trzeba jeszcze pokazać, że
. Zakładamy, że zbiór A jest niepusty, istnieje więc element
; ponieważ również
, więc na podstawie PPL 1 wnioskujemy, że
.

Komentarz. Autor odcinków jest realistą i odradza śledzenie tego typu rozumowań 95% studentów, pozostałych 5% może to czytać, zastanawiać się, a zainteresuje to naprawdę nie więcej niż 0,1% ; ale trudno; zamieszczone na liście, zrobiliśmy.

Wnioski nadprogramowe płynące z udowodnionego wzoru (1) i aksjomatów:

9. 
   ;

10. 
    .

Dowód wniosków.

11. 
    ;

12. 
    ,

skąd

13. 
    ;

w ostatnim przejściu korzystaliśmy z udowodnionego wyniku (9).

I tak gmach matematyki buduje się od aksjomatów, poprzez proste wnioski i twierdzenia do dalszych twierdzeń i wniosków, a końca nie widać i to jest właśnie matematyka; a zadania rachunkowe, to jedynie rodzynki w cieście; w zasadzie praca dla grzecznych dzieci.

Kolejne zadanie jest z tej samej beczki.

Zadanie 4. Niech E będzie dowolną przestrzenią liniową, A niepustym podzbiorem E . Wykazać, że zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A

(czyli lin A ) jest podprzestrzenią przestrzeni E.

Dowód.

Niech
i
; trzeba pokazać, że
; istnieją wektory
należące do zbioru A oraz skalary
takie, że

14. 
    ;

ponadto istnieją wektory
należące do zbioru A oraz skalary
takie, że

15. 
    ;

dodajmy stronami równości (14) i (15)

16. 
    

z wzoru (16) wnioskujemy, że
, gdyż wektor
jest kombinacją liniową wektorów należących do zbioru A.

Niech teraz
będzie wektorem mającym przedstawienie (14) oraz
; pomnóżmy stronami równość (14) przez skalar λ, dostajemy:

17. 
    ;

stąd wynika, że
, gdyż wektor
jest kombinacją liniową wektorów należących do zbioru A; co kończy dowód.

Komentarz. Jak wyżej.

Zadanie 5. Wykazać, że lin A jest najmniejszą w sensie relacji inkluzji podprzestrzenią przestrzeni E zawierającą zbiór A.

Zachodzi oczywista relacja
, albowiem każdy wektor
jest bardzo prostą

kombinacją liniową:
, skąd wynika, że
. Niech teraz F będzie dowolną podprzestrzenią przestrzeni E, przy czym
; jeśli
i
ma przedstawienie

takie, jak w wzorze (14), to
, gdyż na mocy aksjomatów PPL 1 i PPL 2 operacja tworzenia kombinacji liniowych nie wyprowadza poza podprzestrzeń, w tym wypadku podprzestrzeń F; wynika stąd, że
, a więc lin A rzeczywiście jest najmniejszą podprzestrzenią zawierającą zbiór A.

Zadanie 6. Czym jest lin A , gdy A jest podprzestrzenią przestrzeni E?

Jeśli A jest podprzestrzenią przestrzeni E, wówczas najmniejszą podprzestrzenią zawierającą zbiór A jest właśnie ta podprzestrzeń A, z poprzedniego zadania wiadomo, że najmniejszą podprzestrzenią zawierającą zbiór A jest podprzestrzeń lin A, stąd wynika równość

Zadanie 7. Wykazać, że na to, aby wektor
był kombinacją liniową wektorów
potrzeba i wystarcza, aby
.

Prawdopodobnie nie wszyscy Czytelnicy wiedzą, co w matematyce oznacza zwrot potrzeba i wystarcza. Wyjaśnimy to na materiale podanym w zadaniu; zapiszemy dwa podane warunki:

Warunek M : istnieją skalary
takie, że
;

Warunek N :
.

Zwrot potrzeba i wystarcza oznacza, że warunki M i N są równoważne, to znaczy: z warunku M wynika warunek N i na odwrót z N wynika M.

Zakładamy więc warunek M; będziemy dowodzić warunek N.

Ponieważ zbiór
zawiera się w zbiorze
, więc
; trzeba pokazać inkluzję przeciwną. Niech zatem
, czyli istnieją skalary
takie że

18. 
    

w wzorze (18) w miejsce wektora
podstawiamy kombinację liniową daną w warunku M, po elementarnych rachunkach otrzymujemy:

19. 
    .

Wzór (19) mówi, że wektor
jest kombinacją liniową wektorów
, a więc
co kończy dowód implikacji M → N.

Teraz zakładamy warunek N i wykażemy, że zachodzi również warunek M.

Z równości założonej w warunku N wynika, że
, ponieważ podprzestrzeń
składa się ze wszystkich wektorów będących kombinacjami liniowymi wektorów
, więc wektor
, jako należący do tej podprzestrzeni również jest kombinacją liniową wektorów
, a to właśnie oznacza warunek M , czyli N → M.

Wykazaliśmy zatem równoważność M ↔ N i to właśnie oznacza zwrot potrzeba i wystarcza.

Koniec dowodu i całego odcinka.

Synonimem jest termin przestrzeń wektorowa.

Wynik dodawania dwu wektorów jest wektorem.

Wynik mnożenia wektora przez skalar jest wektorem.

Tak, tak, trzeba przyjąć taki aksjomat, gdyż ta naturalna własność wcale nie wynika z poprzednich warunków.

Termin inkluzja znaczy zawieranie zbiorów; jeden zbiór zawiera się w drugim.

Warunek M oznacza ni mniej, ni więcej tylko to, że wektor
jest kombinacją liniową wektorów
.

1

---