dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) UE listy Odcinek 7 (56); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. 601 566200.
LISTA 3
ZADANIA 5 - 7
ALGEBRA LINIOWA
W odcinku w dalszym ciągu omawiamy pojęcia związane z przestrzeniami liniowymi i z przekształceniami liniowymi; wprowadzamy pojęcie izomorfizmu.
Zadanie 5. Wykazać, że jeśli
, to z tego, że operator liniowy
jest różnowartościowy wynika, że jest operatorem na F (a więc jest izomorfizmem).
Najpierw musimy zdefiniować użyte w tekście zadania terminy.
Przekształcenie na
Termin ten dotyczy nie tylko przekształceń liniowych, ale dowolnych funkcji
; mówimy, że funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y , jeśli
dla każdego
istnieje
taki, że
.
Mówi się wówczas, że funkcja f jest tzw. surjekcją.
Przekształcenie różnowartościowe
Termin ten również dotyczy dowolnych funkcji
; mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy zachodzi warunek
jeśli
, to
.
Implikację (2) można przedstawić w formie:
jeśli
, to
,
co możemy odczytać; funkcja f różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, stąd nazwa: funkcja różnowartościowa.
Operator liniowy
Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję
taką, że
Terminy operator liniowy i przekształcenie liniowe są synonimami.
Izomorfizm
Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształcenie liniowe
nazywamy izomorfizmem jeśli jest ono różnowartościowe i na.
Znając znaczenie użytych terminów możemy przystąpić do dowodu twierdzenia.
Dowód.
Niech liczba naturalna n oznacza wymiar przestrzeni E, który z założenia jest również wymiarem przestrzeni F; istnieje zatem baza przestrzeni E złożona z n wektorów:
baza przestrzeni E.
Oznaczmy:
Pokażemy, że wektory
są liniowo niezależne; niech bowiem będzie dana kombinacja liniowa tych wektorów dająca w wyniku wektor zerowy:
;
weźmy teraz kombinację liniową wektorów
z tymi samymi współczynnikami, jak w kombinacji (7):
nałóżmy na obie strony równości (8) przekształcenie A; z warunku liniowości wnioskujemy, że
;
biorąc pod uwagę zależności (6), (7) i (8) możemy zapisać:
;
ponieważ przekształcenie A jest różnowartościowe, więc z zadania 3b wynika, że
, czyli
;
założyliśmy, że układ
jest bazą, a więc jest liniowo niezależny, stąd wynika, że
, a więc układ
jest niezależny.
Ponieważ założyliśmy, że wymiar przestrzeni F wynosi n więc układ wektorów
dany równościami (6) jest bazą przestrzeni F.
Teraz pokażemy, że operator A jest na. Niech zatem
. Ponieważ układ
jest bazą tej przestrzeni, więc istnieją skalary
takie, że
;
trzeba znaleźć taki wektor
taki, że
, wektorem tym jest oczywiście
; bowiem korzystając z liniowości i związków (6) dochodzimy do wniosku, że rzeczywiście jest
.
Dowód zad. 5 został zakończony.
Komentarz.
Przestrzenie izomorficzne
Dwie przestrzenie liniowe E i F nazywają się izomorficznej jeśli istnieje izomorfizm
przekształcający jedną przestrzeń na drugą.
Z punktu widzenia algebry liniowej przestrzenie izomorficzne są nierozróżnialne, to po prostu jedna i ta sama przestrzeń.
Zadanie 6. Wykazać, że funkcja przyporządkowująca wielomianowi
wektor
jest izomorfizmem przestrzeni
wielomianów stopnia ≤ 2.
Izomorfizm nazwijmy literą A:
Przestrzeń R3 |
Przestrzeń W3 |
|
gdzie
|
|
gdzie
|
|
stąd
a więc
|
|
stąd
a więc
|
KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A
|
Tabela 1
Dowód liniowości
przekształcenia A
Przekształcenie A jest oczywiście różnowartościowe, gdyż dwa wielomiany są równe li tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki jednego wielomianu są równe odpowiednim współczynnikom drugiego wielomianu.
Przekształcenie A jest również na gdyż wielomian
jest obrazem wektora
.
Koniec zad. 6
Zadanie 7. Wykazać, że każda przestrzeń liniowa wymiaru n jest izomorficzna z przestrzenią
.
Dowód. Niech będzie dana przestrzeń liniowa E wymiaru n ; istnieje baza
tej przestrzeni. Każdy wektor
przestrzeni E ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa elementów bazy
:
;
definiujemy izomorfizm
;
w sposób naturalny
Przestrzeń E |
Przestrzeń |
oraz
|
oraz
|
|
stąd
a więc
|
|
skąd
a więc
|
KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A (16)
|
Tabela 2
Dowód liniowości
przekształcenia A (16)
Przekształcenie A jest różnowartościowe wobec faktu, że układ wektorów
jest liniowo niezależny, w związku z czym li tylko dla wektora zerowego mamy
, a wektor zerowy ma jednoznaczne przedstawienie, jako kombinacja liniowa z samymi zerami.
Przekształcenie A jest również na gdyż wektor
przestrzeni
jest obrazem wektora
należącego do przestrzeni E.
Komentarz. Z uwagi na ten izomorfizm niektórzy autorzy nie przerabiają w ogóle abstrakcyjnych przestrzeni liniowych, lecz zajmują się wyłącznie przestrzeniami
.
Koniec odcinka.
Oznaczenie dim E oznacza wymiar przestrzeni E.
Termin funkcja jest synonimem terminu przekształcenie. Zamiast mówić: funkcja różnowartościowa mówi się często iniekcja.
1