56 UE FIR L3 zad 5 7b ALGEBRA przestrzenie izomorficzne


dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) UE listy Odcinek 7 (56); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. 601 566200.

LISTA 3

ZADANIA 5 - 7

ALGEBRA LINIOWA

0x08 graphic

W odcinku w dalszym ciągu omawiamy pojęcia związane z przestrzeniami liniowymi i z przekształceniami liniowymi; wprowadzamy pojęcie izomorfizmu.

Zadanie 5. Wykazać, że jeśli 0x01 graphic
, to z tego, że operator liniowy 0x01 graphic
jest różnowartościowy wynika, że jest operatorem na F (a więc jest izomorfizmem).

Najpierw musimy zdefiniować użyte w tekście zadania terminy.

0x08 graphic

Przekształcenie na

Termin ten dotyczy nie tylko przekształceń liniowych, ale dowolnych funkcji 0x01 graphic
; mówimy, że funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y , jeśli

  1. dla każdego 0x01 graphic
    istnieje 0x01 graphic
    taki, że 0x01 graphic
    .

Mówi się wówczas, że funkcja f jest tzw. surjekcją.

0x08 graphic

Przekształcenie różnowartościowe

Termin ten również dotyczy dowolnych funkcji 0x01 graphic
; mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy zachodzi warunek

  1. jeśli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

Implikację (2) można przedstawić w formie:

  1. jeśli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    ,

co możemy odczytać; funkcja f różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, stąd nazwa: funkcja różnowartościowa.

0x08 graphic

Operator liniowy

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję 0x01 graphic
taką, że

  1. 0x01 graphic

Terminy operator liniowy i przekształcenie liniowe są synonimami.

0x08 graphic
Izomorfizm

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształcenie liniowe 0x01 graphic
nazywamy izomorfizmem jeśli jest ono różnowartościowe i na.

Znając znaczenie użytych terminów możemy przystąpić do dowodu twierdzenia.

Dowód.

Niech liczba naturalna n oznacza wymiar przestrzeni E, który z założenia jest również wymiarem przestrzeni F; istnieje zatem baza przestrzeni E złożona z n wektorów:

  1. 0x01 graphic
    baza przestrzeni E.

Oznaczmy:

  1. 0x01 graphic

Pokażemy, że wektory 0x01 graphic
są liniowo niezależne; niech bowiem będzie dana kombinacja liniowa tych wektorów dająca w wyniku wektor zerowy:

  1. 0x01 graphic
    ;

weźmy teraz kombinację liniową wektorów 0x01 graphic
z tymi samymi współczynnikami, jak w kombinacji (7):

  1. 0x01 graphic

nałóżmy na obie strony równości (8) przekształcenie A; z warunku liniowości wnioskujemy, że

  1. 0x01 graphic
    ;

biorąc pod uwagę zależności (6), (7) i (8) możemy zapisać:

  1. 0x01 graphic
    ;

ponieważ przekształcenie A jest różnowartościowe, więc z zadania 3b wynika, że 0x01 graphic
, czyli

  1. 0x01 graphic
    ;

założyliśmy, że układ 0x01 graphic
jest bazą, a więc jest liniowo niezależny, stąd wynika, że 0x01 graphic
, a więc układ 0x01 graphic
jest niezależny.

Ponieważ założyliśmy, że wymiar przestrzeni F wynosi n więc układ wektorów 0x01 graphic
dany równościami (6) jest bazą przestrzeni F.

Teraz pokażemy, że operator A jest na. Niech zatem 0x01 graphic
. Ponieważ układ 0x01 graphic
jest bazą tej przestrzeni, więc istnieją skalary 0x01 graphic
takie, że

  1. 0x01 graphic
    ;

trzeba znaleźć taki wektor 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
, wektorem tym jest oczywiście 0x01 graphic
; bowiem korzystając z liniowości i związków (6) dochodzimy do wniosku, że rzeczywiście jest 0x01 graphic
.

Dowód zad. 5 został zakończony.

Komentarz.

0x08 graphic

Przestrzenie izomorficzne

Dwie przestrzenie liniowe E i F nazywają się izomorficznej jeśli istnieje izomorfizm 0x01 graphic
przekształcający jedną przestrzeń na drugą.

Z punktu widzenia algebry liniowej przestrzenie izomorficzne są nierozróżnialne, to po prostu jedna i ta sama przestrzeń.

Zadanie 6. Wykazać, że funkcja przyporządkowująca wielomianowi 0x01 graphic
wektor 0x01 graphic
jest izomorfizmem przestrzeni 0x01 graphic
wielomianów stopnia ≤ 2.

Izomorfizm nazwijmy literą A:

  1. 0x01 graphic

Przestrzeń R3

Przestrzeń W3

0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
,

stąd

0x01 graphic

0x01 graphic
,

a więc

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

a więc

0x01 graphic

KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A

Tabela 1

Dowód liniowości

przekształcenia A

Przekształcenie A jest oczywiście różnowartościowe, gdyż dwa wielomiany są równe li tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki jednego wielomianu są równe odpowiednim współczynnikom drugiego wielomianu.

Przekształcenie A jest również na gdyż wielomian 0x01 graphic
jest obrazem wektora 0x01 graphic
.

Koniec zad. 6

Zadanie 7. Wykazać, że każda przestrzeń liniowa wymiaru n jest izomorficzna z przestrzenią 0x01 graphic
.

Dowód. Niech będzie dana przestrzeń liniowa E wymiaru n ; istnieje baza 0x01 graphic
tej przestrzeni. Każdy wektor 0x01 graphic
przestrzeni E ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa elementów bazy 0x01 graphic
:

  1. 0x01 graphic
    ;

definiujemy izomorfizm

  1. 0x01 graphic
    ;

w sposób naturalny

  1. 0x01 graphic

Przestrzeń E

Przestrzeń 0x01 graphic

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
,

stąd

0x01 graphic

0x01 graphic
,

a więc

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
,

skąd

0x01 graphic

a więc

0x01 graphic

KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A (16)

Tabela 2

Dowód liniowości

przekształcenia A (16)

Przekształcenie A jest różnowartościowe wobec faktu, że układ wektorów 0x01 graphic
jest liniowo niezależny, w związku z czym li tylko dla wektora zerowego mamy 0x01 graphic
, a wektor zerowy ma jednoznaczne przedstawienie, jako kombinacja liniowa z samymi zerami.

Przekształcenie A jest również na gdyż wektor 0x01 graphic
przestrzeni 0x01 graphic
jest obrazem wektora 0x01 graphic
należącego do przestrzeni E.

Komentarz. Z uwagi na ten izomorfizm niektórzy autorzy nie przerabiają w ogóle abstrakcyjnych przestrzeni liniowych, lecz zajmują się wyłącznie przestrzeniami 0x01 graphic
.

Koniec odcinka.

Oznaczenie dim E oznacza wymiar przestrzeni E.

Termin funkcja jest synonimem terminu przekształcenie. Zamiast mówić: funkcja różnowartościowa mówi się często iniekcja.

1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
55 UE FIR L3 zad 1 4 ALGEBRA operatory, jądro, różnowartościowość
57 UE FIR L4 zad 1 6b ALGEBRA rachunki na macierzach
58 UE FIR L4 zad 7 ALGEBRA równania macierzowe
53 UE FIR L2 zad 1 4 ALGEBRA liniowa zależność wektorów
54 UE FIR L2 zad 5 7 ALGEBRA lin niezależność, baza
52 FIR L1 zad 3 7 ALGEBRA podprzestrz zad teoretyczne
51 FIR L1 zad 2 ALGEBRA podprzestrzenie liniowe
45 UE egz 06 2012 FIR dz zad 1 układ równ Gauss
50 FIR L1 zad 1 ALGEBRA kombinacje liniowe wektorów
47 UE egz 06 2012 FIR dz zad
Algebra, przestrzenie liniowe
(2371) algebra przestrzenie
Algebra, przestrzenie liniowe
Algebra, przestrzenie liniowe
Algebra, przestrzenie liniowe
Algebra, przestrzenie liniowe
(2371) algebra przestrzenie
zad 7b trojmian
(2371) algebra przestrzenie(1)

więcej podobnych podstron