dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 2 (51); Zaczynamy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 1

ZADANIE 2

ALGEBRA LINIOWA

W odcinku poruszamy temat podprzestrzeni liniowej. Nie każdy podzbiór przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią wyjściowej przestrzeni wektorowej. Zadanie dotyczy konkretnie określonych podzbiorów przestrzeni liniowej i sprawdzeniu, czy są one podprzestrzeniami. Rozwiązania ilustrujemy rysunkami. Odcinek mogą czytać również wszyscy, którzy chcą poznać podstawy geometrii analitycznej.

Zadanie 2. Które z następujących zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni.

Polecenie a)
.

Zbiór A zawarty w przestrzeni liniowej, w tym wypadku przestrzeni trójwymiarowej
, nazywamy podprzestrzenią, jeśli jest zamknięty ze względu na działanie dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę; tzn.

1. jeśli
   i
   , to
   ;

2. jeśli
   i
   , to
   .

Niech
i
; przy czym

3. 
   oraz
   ;

wówczas mamy

4. 
   ;

gdy zaś
, wówczas

5. 
   .

Jeśli
wówczas
, podobnie, gdy
, to
; z tego wynika, że
, a więc

Jeśli teraz
i
, czyli
, wówczas
, skąd wynika, że
; tak więc pokazaliśmy, że zbiór A jest podprzestrzenią, gdyż jest zamknięty ze względu na oba działania.

Tego wywodu od studenta będzie oczekiwał prowadzący ćwiczenia; my zrobimy nieco więcej, gdyż odcinki mają podnosić kulturę matematyczną w Polsce, a nie tylko służyć utylitarnemu celowi otrzymania przez studenta ukochanej trójki.

Zbiór A możemy narysować jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych, rozpiętą na wektorach
oraz
, bowiem zachodzi równość:

6. 
   , gdzie
   

Zauważmy, że niebieski wektor
jest prostopadły do żółtej płaszczyzny; to nie jest przypadek.

Podprzestrzeń A jest generowana przez wektory
oraz
, co w algebrze liniowej zapisuje się w sposób następujący:

Polecenie b)
.

Niech
, to znaczy
oraz
; wektor
jest równy
; aby pokazać, że
trzeba udowodnić równość
; ta równość jest oczywista, gdyż
.

Sprawdzamy drugi warunek: niech
i
wektor
ma współrzędne

; trzeba pokazać, że
; to jest oczywiste, gdyż
. Tyle wystarczy na ćwiczenia.

Warunek
możemy potraktować jako układ równań z trzema niewiadomymi:
. Zapiszemy jego rozwiązanie z parametrami zewnętrznymi:

7. 
   , gdzie
   ,

a oto rozwiązanie (7) w postaci wektorowej:

8. 
   , gdzie
   ;

tak więc podprzestrzeń A jest rozpięta na wektorach:
oraz
; przypatrzmy się uważnie warunkowi
jest to równanie liniowe postaci
. Zapiszmy wektor
; jest to wektor prostopadły do płaszczyzny A rozpiętej na wektorach
i
czyli tej, która jest treścią zadania. Narysujemy płaszczyznę A, wektory ją rozpinające i wektor prostopadły; prostopadłość wektorów łatwo sprawdzić posługując się iloczynem skalarnym:

9. 
   

10. 
    .

Na rysunku 2 symbolem O zaznaczamy początek układu współrzędnych, aby zachować czytelność rysunku pominiemy osie układu współrzędnych:

Uwaga. Podprzestrzeń jest płaszczyzna przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Podobnie, jak w poprzednim przykładzie możemy zapisać:

Polecenie c)

Sprawdzimy warunki charakterystyczne dla podprzestrzeni: niech
, stąd
oraz
; trzeba pokazać, że

11. 
    

warunek (11) jest spełniony, bowiem zachodzi równość

.

Drugi z warunków: niech
i
, wektor
ma współrzędne

; trzeba pokazać, że

12. 
    ;

warunek (12) jest spełniony ze względu na ciąg równości
.

Na ćwiczenia powinno wystarczyć, sprawdziliśmy bowiem, że warunki określające podprzestrzeń są spełnione.

Podobnie, jak poprzednio zapiszmy rozwiązanie układu równań liniowych: jedno równanie, trzy niewiadome
; możemy je przedstawić:

13. 
    ;
    

zapiszemy rozwiązanie z parametrami zewnętrznymi:

14. 
    ;
    

teraz przejdziemy na wektorową formę zapisu

15. 
    ;

Z wzoru (15) wyciągamy wniosek, że podprzestrzeń A jest płaszczyzną przechodzącą przez

początek układu, rozpiętą na wektorach
oraz
; zauważmy, że wektor
odczytany z równania
jest prostopadły do obu wektorów rozpinających płaszczyznę A; przekonujemy się o tym obliczając iloczyny skalarne:

16. 
    ;

17. 
    .

Na rys. 3 początek układu zaznaczony jest, podobnie, jak poprzednio, literą O; aby nie zaciemniać rysunku, zrezygnujemy z osi układu współrzędnych:

Żółta płaszczyzna jest podprzestrzenią i jako taka przechodzi przez początek układu współrzędnych O. Zapiszmy jeszcze

Polecenie d)
.

Sprawdzamy warunek pierwszy; niech
, stąd

18. 
    oraz
    ,

ponadto

19. 
    oraz
    .

Mamy równość
badamy, czy współrzędne wektora
spełniają warunki podane w poleceniu; dodając stronami obie równości (18) oraz równości (19) dostajemy dwa związki:

20. 
    

i

21. 
    .

Wyniki (20) i (21) pokazują, że
.

Niech
i
; równość
mnożymy obustronnie przez α ;

dostajemy:

22. 
    ;

mnożąc z kolei stronami równość
otrzymujemy:

23. 
    ;

związki (22) i (23) dowodzą, że wektor
należy do zbioru A, a więc zbiór A jest podprzestrzenią. Wykonaliśmy polecenie potrzebne na ćwiczenia.

Zastanówmy się, jak wygląda podprzestrzeń A ? W tym celu napiszmy oba definiujące ją warunki; jako układ równań:

24. 
    ;

z rozważań przeprowadzonych w poprzednich przykładach możemy wywnioskować, że podprzestrzeń spełniająca warunek
jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych i podprzestrzeń spełniająca drugi warunek
także. Wyciągamy stąd wniosek, że poszukiwany przez nas zbiór A, to krawędź przecięcia obu płaszczyzn, jest to więc prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Na rys. 4 wspólną krawędź dwu płaszczyzn: żółtej i beżowej zaznaczono, jako czerwoną linię. Początek układu współrzędnych: O.

W dalszej kolejności wykonamy potrzebne obliczenia w celu znalezienia wektora
. Zespół warunków określających podprzestrzeń A przedstawimy w formie układu równań:

25. 
    
    , czyli
    

po wykonaniu działania zasygnalizowanego kolorem pomarańczowym dostajemy następującą postać warunków:

26. 
    , czyli
    

po podzieleniu drugiego równania przez trzy mamy:

27. 
    , czyli
    

wykonanie pomarańczowego planu doprowadzi nas do końcowego rezultatu:

28. 
    , czyli
    ;

zapisujemy rozwiązanie w różnych postaciach:

29. 
    , gdzie
    

30. 
    , gdzie
    

31. 
    , gdzie
    

Wektor
zamieszczony na rys. 4 jest równy
; wytycza on prostą A, która, jako podprzestrzeń przechodzi przez początek układu współrzędnych. Z użyciem symbolu lin można podprzestrzeń A zapisać w sposób następujący:
.

Polecenie e)
.

Tym razem
zespół warunków przedstawimy w formie jednorodnego układu równań liniowych:

32. 
    , czyli
    ;

znowu mamy do czynienia z jednorodnym układem równań liniowych, więc zbiór A będzie podprzestrzenią. Uważny Czytelnik zapewne zauważył, że podprzestrzenie są to po prostu zbiory rozwiązań układów jednorodnych.

Jeśli
, wówczas możemy zapisać warunki, które spełniają współrzędne tych wektorów:

33. 
    oraz
    ;

34. 
    oraz
    .

Dodając stronami warunki we wzorach (33) i (34) otrzymujemy rezultaty:

35. 
    

i

36. 
    ;

tak więc współrzędne wektora
spełniają warunki określające zbiór A, czyli
.

Jeśli teraz
i
, wówczas równanie
mnożymy stronami przez α i dostajemy
, podobnie:
, a więc współrzędne wektora
spełniają podane warunki, czyli
. Zakończyliśmy dowód potrzebny na zajęcia.

Jeśli chcemy znaleźć bazę podprzestrzeni A, musimy zapisać rozwiązanie układu (32) :

37. 
    , gdzie
    

38. 
    
    , gdzie
    

39. 
    ,

gdzie

Podprzestrzeń A jest generowana przez wektory
i
, co można zapisać:
.

W pozostałych przykładach mamy zbiory, które nie są podprzestrzeniami liniowymi.

Polecenie f)
.

Zbiór A nie jest podprzestrzenią liniową, gdyż wektor zerowy:
nie należy do tego zbioru. W algebrze liniowej jest twierdzenie, które głosi, że wektor zerowy należy do każdej podprzestrzeni. Zbiór A jest tzw. przesunięciem podprzestrzeni liniowej; używa się też nazwy przestrzeń afinicza, lecz w tym miejscu nie będziemy o tym mówić.

Polecenie g)
. Zbiór A nie jest podprzestrzenią. Argumentacja taka sama, jak w poprzednim przykładzie, to również jest przestrzeń afiniczna.

Polecenie h)
. Ten zbiór nie jest ani podprzestrzenią, ani przesunięciem podprzestrzeni; wprawdzie wektor zerowy należy do A, lecz nie są spełnione inne warunki. Weźmy wektor
; jego współrzędne spełniają podany warunek, czyli
; niech dalej
; wektor
ma postać:
; obliczamy podany warunek:

40. 
    .

W wzorze (40) lewa strona nie równa się prawej, a więc
, to wystarcza, by stwierdzić, że zbiór A nie jest podprzestrzenią.

Koniec odcinka.

Baza jest to liniowo niezależny zbiór wektorów generujących podprzestrzeń.

1

DEFINICJA PODPRZESTRZENI

DEFINICJE DZIAŁAŃ

x₂

x₃

x₁

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

Rys. 1.

Podprzestrzeń z polecenie a),

czyli żółta płaszczyzna rozpięta na wektorach pomarańczowym i zielonym

(0,1,0)

(1,0,1)

(1,0,-1)

·

·

O

Rys. 2.

Podprzestrzeń z polecenia b),

czyli płaszczyzna rozpięta na wektorach pomarańczowym i zielonym; wektor niebieski prostopadły do płaszczyzny A

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI WŁASNYMI

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI

WEKTOROWYZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI

·

·

0

(-3,2,0)

(5,0,2)

(2,3,-5)

Rys. 3.

Podprzestrzeń z polecenia c); rozpięta na wektorach (-3,2,0) oraz (5,0,2); prostopadła do wektora (2,3,-5)

·

A

A

A

·

Rys. 4.

Część wspólna dwu podprzestrzeni dwuwymiarowych jest podprzestrzenią jednowymiarową wytyczoną przez wektor
- analiza zjawiska bez obliczeń

A

O

k

→

(-1) · I + II

: 3

OK

OK

2 · II + I

OK

OK

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM WŁASNYM

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM

WEKTOROWY ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI WŁASNYMI

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI

WEKTOROWYZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI

---