dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 4 (53) Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 2

ZADANIA 1 - 4

ALGEBRA LINIOWA

Ćwiczymy pojęcie liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów. Na razie liniową zależność badamy rozwiązując jednorodne układy równań liniowych metodą Gaussa; odwołujemy się również do wyznaczników, za których pomocą można badać liniową zależność; wiedza ta może się okazać użyteczna w czasie egzaminów. Student musi wybrać, którą metodę wybrać, by jak najszybciej uzyskać punkty potrzebne do uzyskania pozytywnej oceny. Odcinek zawiera również twierdzenia zamieszczone na liście jako zadania.

Zadanie 1. Wykazać, że układ wektorów niezależnych nie zawiera wektora zerowego.

Jak zwykle w zadaniach, w których należy coś udowodnić wprowadzimy potrzebne definicje.

POTRZEBNE POJĘCIA I DEFINICJE

Czym się różni termin układ wektorów od terminu zbiór wektorów?

W algebrze liniowej przez układ wektorów rozumie się skończony zbiór wektorów. Jeśli mówimy zbiór wektorów, to może on zawierać skończoną, bądź nieskończoną ilość elementów. Każdy układ wektorów jest więc zbiorem wektorów, lecz nie na odwrót.

Układy wektorów zapisujemy zwykle bez nawiasów.

Niech będzie dany układ wektorów
; mówimy, że układ ten jest liniowo niezależny, jeśli zachodzi implikacja:

1. 
   →
   ;

innymi słowy mówiąc układ jest niezależny, jeśli jedyną kombinacją ściągającą ten układ do punktu zerowego jest kombinacja z zerowymi współczynnikami. W odcinku 27 wykonaliśmy stosowne rysunki. Czasem mówi się układ niezależny, a czasem wektory niezależne.

Układ nazywa się liniowo zależny, jeśli nie jest liniowo niezależny; rozwiniemy to pojęcie w zadaniach.

KONIEC PREZENTACJI POJĘĆ

Zadanie 1. Wykazać, że układ wektorów liniowo niezależnych nie zawiera wektora zerowego.

Dowód. Załóżmy nie wprost, że dany jest układ
zawiera wektor zerowy i jest niezależny, przyjmijmy zatem, że
; tworzymy kombinację liniową:

2. 
   ;

w poprzednim odcinku wykazaliśmy, że
,
, a więc wynik kombinacji (2) wynosi
; otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ nie wszystkie współczynniki kombinacji (2) są zerami, a układ ściąga się do punktu; pierwszy współczynnik wynosi jeden; uzyskana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.

Zadanie 2. Wykazać, że na to, aby wektory
(n > 1) były liniowo zależne potrzeba i wystarcza, by jeden z nich był kombinację liniową pozostałych.

Dowód.

Uwypuklimy warunki M i N, podobnie, jak w zadaniu 7 listy 1.

Warunek M : układ wektorów
(n > 1) jest liniowo zależny;

Warunek N : jeden z wektorów, jest kombinacją liniową pozostałych.

Trzeba wykazać równoważność M ↔ N.

Pokazujemy implikację M → N

Liniowa zależność oznacza, że istnieje kombinacja liniowa wektorów
dająca w wyniku wektor zerowy:

3. 
   ,

przy czym jeden ze współczynników kombinacji jest różny od zera; bez straty ogólności rozważań możemy przyjąć, że
; przy tym założeniu równość (3) możemy przedstawić w postaci:

4. 
   , gdzie
   , ... ,
   ;

liczbę
mogliśmy wpisać do mianownika każdej z liczb będących współczynnikami kombinacji (4) gdyż jest
. Wzór (4) zapewnia, że przy założeniu M zachodzi teza N.

Teraz implikacja odwrotna N → M.

Zakładamy, że jeden z wektorów układu
jest kombinacją liniową pozostałych, bez straty ogólności rozważań możemy przyjąć, że jest to wektor
, możemy zatem zapisać równość:

5. 
   ;

która jest równoważna związkowi

6. 
   ,

gdzie
,
, ... ,
, tak więc przy założeniu N zachodzi teza M, gdyż
.

Wykazaliśmy zatem, że M ↔ N, a więc twierdzenie jest udowodnione.

Zaprzeczając obu stronom równoważności M ↔ N, natychmiast wyciągamy następujący

Wniosek. Wektory
(n > 1) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów układu nie da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.

Przechodzimy do zadań rachunkowych, student może odetchnąć.

Zadanie 3. Zbadać liniową niezależność następujących układów wektorów.

Zadanie będziemy analizować rozwiązując układy jednorodnych równań liniowych.

Polecenie a)
,
,
,
.

Metoda z użyciem wyznacznika: jest tyle wektorów, ile wynosi wymiar przestrzeni, ich współrzędne utworzą macierz kwadratową, z której obliczymy wyznacznik: jeśli wyznacznik okaże się różny od zera, układ wektorów jest liniowo niezależny; jeśli będzie równy zero, układ jest zależny - PROSTE, JAK PARASOL!

Budujemy więc wyznacznik; współrzędne podanych wektorów umieścimy w kolumnach, chociaż równie dobrze moglibyśmy z nich utworzyć wiersze.

7. 
   ;

Odpowiedź. Układ jest liniowo niezależny.

Metoda z użyciem jednorodnych układów równań: budujemy jednorodny układ równań liniowych

8. 
   ,

z niewiadomymi α, β, i δ : jeśli rozwiązania będą li tylko zerowe, wówczas układ jest niezależny, jeśli zaś rozwiązań będzie nieskończenie wiele, wówczas układ jest zależny, a zatem zapiszmy układ (8)

9. 
   ;

podobnie, jak na liście pierwszej układ ten można zapisać w formie szkolnej i macierzowej

10. 
    , czyli
    

w wersji macierzowej ostatnią kolumnę złożoną z samych zer moglibyśmy pominąć, lecz będziemy jednak ją konsekwentnie pisać, aby uniknąć nieporozumień. Z boku macierzy (10 ) zapisaliśmy plan postępowania, podobny do tego, co robiliśmy w czasie rozwiązywania listy pierwszej; szczegółów planu nie będziemy przeto wyłuszczać; zapiszemy wynik, po zrealizowaniu planu:

11. 
    
    
    , czyli
    

oto, co dostaliśmy:

12. 
    , czyli
    

skąd

13. 
    , czyli
    

zbliżamy się do końca:

14. 
    , czyli
    

ostatecznie mamy

15. 
    
    , czyli
    .

Widać zatem, że uzyskaliśmy ten sam wynik, co poprzednio, układ jednorodny ma dokładnie jedno, zerowe rozwiązanie, a zatem układ jest niezależny; przy okazji poćwiczyliśmy metodę Gaussa.

Polecenie b)
,
,
,
.

Metoda z użyciem wyznacznika:

16. 
    

Odpowiedź. Układ jest liniowo niezależny.

Metoda z użyciem jednorodnych układów równań:

17. 
    

dalej

18. 
    
    
    , czyli
    

dalej

19. 
    , czyli
    

dalej

20. 
    
    , czyli
    

dalej

21. 
    , czyli
    

dalej

22. 
    
    , czyli
    

dalej

23. 
    , czyli
    

ostatecznie dostajemy spodziewany wynik:

24. 
    , czyli
    .

Układ wektorów jest niezależny, gdyż nie ma niezerowych rozwiązań jednorodnego układu równań.

Polecenie c)
,
,
,
,
.

W zadaniu tym od razu możemy powiedzieć, że układ jest liniowo zależny. Z twierdzeń z algebry liniowej wiadomo, że w przestrzeni
niezależne mogą być tylko układy mające nie więcej niż trzy wektory; każdy układ mający większą ilość wektorów niż trzy jest układem zależnym. Twierdzeń z algebry liniowej nie będziemy dowodzić, ponieważ w odcinkach nie mamy zamiaru dublować tego, co zostało napisane w całej masie ogólnodostępnych książek przeznaczonych dla studentów.

Możemy jednak wykazać liniową zależność podanego układu rozwiązując jednorodny układ równań; przećwiczymy przy tym metodę Gaussa:

25. 
    ;

dalej

26. 
    

dalej

27. 
    , czyli
    

dalej

28. 
    , czyli
    

zmarnujemy zero w trzecim wierszu i trzeciej kolumnie, ale nic nie szkodzi, nie wolno marnować zer w kolumnie uzdatnionej, nad którą figuruje znaczek OK.

29. 
    , czyli
    

dalej

30. 
    , czyli
    

dalej

31. 
    
    , czyli
    

zbliżamy się do końca obliczeń

32. 
    , czyli
    

zauważmy, że pierwsza, trzecia i czwarta kolumna macierzy (32) tworzą macierz jednostkową. Zapiszmy rozwiązanie z parametrem zewnętrznym τ :

33. 
    
    

Sprawdzimy, czy dobrze rozwiązaliśmy jednorodny układ równań (27):

pierwsze równanie układu (27):

34. 
    ; OK.

drugie równanie układu (27):

35. 
    ; OK.

trzecie równanie układu (27):

36. 
    ; OK.

Wektor zerowy możemy zapisać, jako kombinację wektorów
w sposób następujący:

37. 
    .

Widać zatem, że istnieje nieskończenie wiele kombinacji liniowych o niezerowych współczynnikach wektorów
dających w wyniku wektor zerowy, więc zgodnie z definicją podany układ wektorów
jest liniowo zależny.

Komentarz. Czytelnik zwróci uwagę na znaczenie twierdzeń w matematyce. W poleceniu postawiono pytanie, czy podany układ wektorów jest liniowo zależny, czy niezależny. Rozwiązywanie jednorodnego układu równań pochłania ogromną ilość czasu i wysiłku, natomiast przywołanie odpowiedniego twierdzenia daje odpowiedź natychmiast. Wynika stąd, że twierdzenia należy znać; niemożliwe jest oczywiście, by student potrafił wszystkie twierdzenia udowodnić, lecz na ogół nikt tego nie wymaga.

Polecenie d)
i wiemy, że
.

Układ jest zależny, co wynika bezpośrednio z twierdzenia będącego treścią zadania drugiego; założenie, że wektory należą do przestrzeni
jest w tym wypadku nieistotne; gdyby wektory
należały do dowolnej przestrzeni liniowej, to warunek
implikuje, że tworzą one układ zależny; udowodniliśmy to w zad. 2.

Polecenie e)
i
,

Wektor
możemy zapisać jako kombinację liniową pozostałych wektorów podanego układu:

38. 
    ,

a więc zgodnie z zad. 2 układ jest zależny.

To samo zadanie można potraktować inaczej, zauważmy bowiem równość:

39. 
    ;

wektor zerowy jest kombinacją niezerową wektorów
, więc układ ten jest liniowo zależny.

Polecenie f)
i wiadomo, że
jest liniowo zależny.

Oczywiście cały układ
jest liniowo zależny, zauważmy bowiem, że istnieją liczby
, nie wszystkie różne od zera takie, że

40. 
    ;

z wzoru (40) wynika, że zachodzi równość:

41. 
    ;

w kombinacji liniowej (41) nie wszystkie współczynniki są zerami, a więc układ
jest liniowo zależny.

Zadanie 4. Sformułować i udowodnić twierdzenie, które uogólnia spostrzeżenia poczynione w punktach d, e i f poprzedniego zadania.

TWIERDZENIE. Układ wektorów
należących do dowolnej przestrzeni liniowej E jest liniowo zależny, wówczas układ
wektorów tej samej przestrzeni E jest również liniowo zależny.

DOWÓD.

Z założenia wynika, że istnieją skalary
nie wszystkie równe zero takie, że

42. 
    ;

z kolei z wzoru (42) wynika równość

43. 
    ;

nie wszystkie współczynniki kombinacji liniowej (43) są zerami, co oznacza, że układ wektorów
jest liniowo zależny.

Komentarz. Można powiedzieć, że jeśli do zależnego układu wektorów dorzucimy dowolną ilość wektorów, to ten powiększony układ również jest zależny.

Koniec odcinka.

1

(-2) · III + II

(-1) · III + I

: 2

: 5

OK

OK

(-2) · II + I

2 · II + III

(-1) · I + III

OK

OK

OK

I

OK

OK

II

III

2 · III + I

3 · III + II

OK

: (-3)

· (-1)

· (-1)

OK

OK

(-5) · I +II

(-2) · I + III

OK

OK

: (-1⅓)

OK

(-1⅔) · II +I

(-⅔) · II +III

OK

OK

OK

III

II

(2) · II + I

: 9

I

II + I

OK

2 · I + II

3 · I + III

(-3) · III + I

(-5) · III + II

OK

OK

OK

OK

OK

OK

· (-1) I

ROZWIĄZANIE JEDNORODNEGO UKŁADU RÓWNAŃ Z PARAMETREM WŁASNYM β

OK

II

III

ROZWIĄZANIE JEDNORODNEGO UKŁADU RÓWNAŃ Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM τ

---