dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 1 (50) Zaczynamy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 1

ZADANIE 1

ALGEBRA LINIOWA

Zadanie omawiane w tym odcinku poświęcone jest kombinacji liniowej wektorów, w trakcie rozwiązywania omówimy podstawowe dla algebry liniowej pojęcie LINIOWEJ ZALEŻNOŚCI WEKTORÓW. Zapoznamy się z algorytmem Gaussa służącym do rozwiązywania układów równań liniowych. Nauczymy się zapisywać rozwiązanie układów nieoznaczonych za pomocą parametrów.

Zadanie 1. Niech
. W każdym z poniższych przypadków przedstawić wektor
jako kombinację liniową wektorów
. Czy przedstawienie takie jest zawsze możliwe? Czy przedstawienie takie jest zawsze jednoznaczne?

Polecenie a)
;
;
;
.

Zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych. Wektor
daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów
, jeśli istnieją trzy liczby ; nazwijmy je
takie, że

1. 
   

prawą stronę równości (1) w algebrze liniowej nazywamy kombinacją liniową; liczby
nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej, lub skalarami. Przepiszmy równanie (1) zapisując podane wektory, jako kolumny, a nie jako wiersze; przy czym wektor
umieścimy po prawej stronie:

2. 
   ;

dla tych Czytelników, którzy mają pierwszy kontakt z algebrą liniową pomnożymy każdy z wektorów po lewej stronie przez skalar, czyli niewiadomą α, β, lub δ :

3. 
   ;

teraz skorzystamy z definicji dodawania wektorów:

4. 
   .

Dwa wektory są równe, jeśli współrzędne jednego wektora są równe odpowiednim współrzędnym drugiego wektora; równanie wektorowe (4) jest zatem równoważne układowi trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:

5. 
   
   ; czyli
   

Z prawej strony wzoru (5) układ równań został zapisany w formie macierzowej; jest to podstawowy sposób zapisywania układów równań liniowych w algebrze liniowej. Pierwsza kolumna macierzy, to współczynniki stojące przy niewiadomej α, druga, przy niewiadomej β i wreszcie trzecia, to współczynniki stojące przy niewiadomej δ. Z prawej strony niebieskiej kreski w macierzy stoją wyrazy wolne. Do rozwiązania układu będziemy stosowali metodę przeciwnych współczynników; w algebrze liniowej nosi ona nazwę metody Gaussa; polega na tym, że jeden wiersz macierzy możemy pomnożyć, lub podzielić przez dowolną liczbę; można również dodawać wiersze stronami; widać zatem, że są to te same czynności, które wykonują uczniowie gimnazjum. Z prawej strony macierzy (5) zaznaczyliśmy plan: trzeci wiersz dodamy do wiersza pierwszego, oto, co otrzymamy:

6. 
   , czyli
   

Nad drugą kolumną pojawił się znaczek OK. umieściliśmy go tam dlatego, aby zaznaczyć, że w drugiej kolumnie li tylko jeden wyraz jest różny od zera; o takiej kolumnie będziemy czasem mówili, że jest zdatna, bądź uzdatniona; jeśli spojrzymy na układ równań (6), po lewej stronie słówka „czyli”; przekonamy się, że w zmienna
występuje tylko w trzecim równaniu, a w pierwszym i drugim jej nie ma; to właśnie oznaczają zera w drugiej kolumnie macierzy (6), pod znaczkiem OK. Nie możemy operować trzecim wierszem, gdyż zepsulibyśmy zera w kolumnie drugiej; pod znaczkiem OK. Uprościmy zadanie dzieląc drugi wiersz przez dwa, co zaznaczyliśmy po prawej stronie macierzy (6) na wysokości drugiego wiersza; zapiszmy, co otrzymamy, po wykonaniu operacji:

7. 
   , czyli
   

po prawej stronie macierzy (7) zaznaczyliśmy plan dalszych działań: będziemy operować drugim wierszem; pomnożymy go w pamięci przez minus dwa i dodamy do wiersza pierwszego, potem ten sam wiersz pomnożymy przez minus jeden i dodamy do trzeciego, chcemy uzdatnić pierwszą kolumnę, zobaczmy, co otrzymamy:

8. 
   
   , czyli
   

Kolumna pierwsza i druga już są uzdatnione, bowiem w kolumnach tych jest tylko jeden wyraz różny od zera - zaznaczyliśmy to symbolem OK. - właśnie o to chodzi w metodzie Gaussa. Podzielmy pierwszy wiersz macierzy (8) przez trzy i wytyczmy plan dalszego postępowania; jak zwykle z prawej strony macierzy:

9. 
   , czyli
   

po wykonaniu planu zamieszczonego w (9) dostajemy :

10. 
    , czyli
    

wszystkie trzy kolumny są już uzdatnione; dalszy plan przewiduje podzielenie trzeciego wiersza przez minus dwa, a następnie zmianę kolejności wierszy: drugi wiersz zapiszemy na pierwszym miejscu, pierwszy na trzecim i wreszcie trzeci na drugim:

11. 
    , czyli
    .

Jak widać wzór (11) daje odpowiedź. Cały czas stosowaliśmy konsekwentnie metodę przeciwnych współczynników, czyli metodę Gaussa. Po lewej stronie niebieskiej kreski dostaliśmy macierz jednostkową, po lewej odpowiedź. W praktyce szkolnej zwykle w pewnym momencie z metody przeciwnych współczynników przechodzi się na metodę podstawiania, tutaj tego zabiegu nie robimy, oczywiście w algebrze liniowej będziemy stosować tylko zapis macierzowy występujący po prawej stronie słówka „czyli”; na początku dublujemy zapisy, aby Czytelnik uzmysłowił sobie, że w gruncie rzeczy operując na macierzach, nie robi się nic innego, ponad to, co wielokrotnie ćwiczyło się w gimnazjum. Sprawdźmy jeszcze, czy rozwiązanie jest poprawne; wstawiamy wyniki (11) do równania (5):

Pierwsze z równań układu (5):

12. 
    ; OK.

drugie z równań układu (5):

13. 
    ; OK.

trzecie z równań układu (5):

14. 
    ; OK.

Wszystko w porządku metoda Gaussa dała właściwy rezultat, a więc możemy wpisać odpowiedź:

15. 
    .

Przedstawienie (15) jest jednoznaczne.

Polecenie b)
;
;
;
.

W tym przypadku odpowiedź jest natychmiastowa:

16. 
    .

Nie potrzeba rozwiązywać żadnych równań, wystarczy skorzystać z definicji mnożenia wektora przez liczbę oraz z definicji dodawania wektorów, a te działania omówiliśmy wyżej. Współczynnikami kombinacji liniowej są współrzędne wektora
. Przedstawienie (16) jest jednoznaczne.

Polecenie c)
;
;
;
.

Na pierwszy rzut oka widać, wektor
jest podwojeniem wektora
tak więc można zapisać:

17. 
    ;

nie wiemy jednak, czy przedstawienie (17) jest jednoznaczne; aby stwierdzić, czy nie ma innych kombinacji liniowych wektorów
dających w wyniku wektor
, zapiszemy układ równań:

18. 
    ;

układ ten można teraz zapisać w dwu wersjach: szkolnej oraz macierzowej; od razu zaznaczymy plan działania:

19. 
    , czyli
    

po wykonaniu zaplanowanych obliczeń dostajemy:

20. 
    , czyli
    

po podzieleniu przez trzy wiersza trzeciego mamy:

21. 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    , czyli
    

Zgodnie z planem będziemy operować wierszem drugim; zauważmy, że gdybyśmy chcieli operować wierszem pierwszym, wówczas popsulibyśmy kolumnę drugą, która jest już uzdatniona, co zaznaczyliśmy symbolem OK. Wykonamy plan z wzoru (21):

22. 
    , czyli
    

Zamienimy miejscami wiersz pierwszy, z drugim, co zaznaczyliśmy w planie działania:

23. 
    , czyli
    

Układ równań (19) okazał się nieoznaczony, w szkole średniej zwykle nie zapisuje się rozwiązań układu nieoznaczonego, tylko się nieoznaczoność stwierdza, w algebrze liniowej trzeba takie rozwiązania zapisywać:

24. 
    ,
    

25. 
    ,
    

Sprawdzimy, czy wynik jest poprawny; rezultaty (25) wstawimy do równań (19):

pierwsze z równań (19):

26. 
    , OK.

drugie z równań (19):

27. 
    , OK.

trzecie z równań (19):

28. 
    , OK.

Odpowiedź brzmi:

29. 
    , gdzie
    .

Przedstawienie (29) nie jest jednoznaczne, istnieje nieskończenie wiele możliwości wyrażenia wektora
, jak kombinację liniową wektorów
.

Komentarz. Do tego zadania można wykonać stosowne rysunki; wrócimy do tego zagadnienia w innych odcinkach, na razie student powinien nauczyć się metody przeciwnych współczynników Gaussa i zapisywać rozwiązania układów nieoznaczonych; doświadczenie uczy, że jest to pięta achillesowa studentów wszystkich uczelni.

Polecenie d)
;
;
;
.

Budujemy układ równań:

30. 
    

zapiszemy go w postaci szkolnej i macierzowej oraz zapiszemy plan postępowania; będziemy operować wierszem pierwszym:

31. 
    
    , czyli
    

oto, co otrzymamy po wykonaniu planu:

32. 
    , czyli
    

zobaczmy, co dostaniemy po zrealizowaniu obliczeń zasygnalizowanych z prawej strony wzoru (32):

33. 
    
    , czyli
    

W tym miejscu możemy przerwać obliczenia z uwagi na to, że otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: nie ma możliwości przedstawienia wektora
, jako kombinacji liniowej wektorów
.

Polecenie e)
wektory
takie same, jak w przykładzie c) a więc
;
;
.

Układ równań dla tego polecenia po lewej stronie będzie taki sam, jak w poleceniu c), natomiast kolumna wyrazów wolnych będzie złożona z samych zer.

Odpowiednikiem wzoru (18) jest wzór (34)

34. 
    ;

zamiast wzoru (19) mamy wzór (35); układ równań liniowych, w której prawa strona składa się z samych zer nazywa się jednorodnym układem równań liniowych; zauważmy, że układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie; podstawiając bowiem za wszystkie niewiadome same zera uzyskujemy zrównanie obu stron układu:

35. 
    
    , czyli
    ;

wykonując te same operacje Gaussa, które były przeprowadzane w przykładzie c) dostajemy wynik paralelny do rezultatu (23)

36. 
    , czyli
    ;

Zapiszemy w dwu formach rozwiązanie jednorodnego układu równań (35)

37. 
    ,
    

38. 
    ,
    

Do układów jednorodnych i niejednorodnych wrócimy jeszcze w odcinkach wielokrotnie, przedtem jednak musimy poznać kilka pojęć z algebry liniowej. Uważny Czytelnik raczy zauważyć podobieństwa i różnice między wzorami (24) i (25) a wzorami (37) i (38).

Odpowiedź:
, gdzie
; wektor zerowy ma nieskończenie wiele przedstawień w formie kombinacji liniowej wektorów
; w algebrze liniowej w takim wypadku mówi się, że układ wektorów
jest LINIOWO ZALEŻNY.

Sprawdzenie odpowiedzi:

pierwsze równanie układu (35):

39. 
    OK.

drugie równanie układu (35):

40. 
    OK.

trzecie równanie układu (35):

41. 
    OK.

Polecenie f)
wektory
takie same, jak w przykładzie a) , czyli
;
;
.

Podobnie, jak w poleceniu e) zapiszemy jednorodny układ równań. Odpowiednikiem wzoru (2) jest zależność (39):

42. 
    ;

z kolei we wzorach (5) prawą stronę zastępujemy zerami i dostajemy:

43. 
    ; czyli
    

teraz wykonujemy te same operacje Gaussa na macierzy (40) po tej samej ilości kroków, co poprzednio dochodzimy do rozwiązania:

44. 
    , czyli
    .

Odpowiedź:
; wektor zerowy ma jedyne przedstawienie w formie kombinacji liniowej wektorów
; przy czym współczynniki kombinacji są oczywiście zerami, innych przedstawień nie ma; w algebrze liniowej w takim wypadku mówi się, że układ wektorów
jest LINIOWO NIEZALEŻNY.

Komentarz. W algebrze liniowej wielokrotnie jeszcze będziemy się spotykać z pojęciem liniowej zależności i niezależności wektorów. Zwykle, aby stwierdzić liniową zależność, czy też niezależność układu wektorów nie posługujemy się układami równań, lecz stosujemy kryteria z użyciem wyznaczników; pomówimy o tych sprawach w dalszych odcinkach, tymczasem dorzucimy jeszcze jedno

Polecenie g)
wektory
takie same, jak w przykładzie d) , czyli
;
;
.

Zapisujemy układ równań:

45. 
    ;

od układu (30) różni się on prawą stroną; przedstawimy układ (45) w formie szkolnej i macierzowej

46. 
    , czyli
    ;

w porównaniu z układami (31) w wzorze (46) zmieniona jest prawa strona, która tu składa się z samych zer. Na układzie (46) wykonamy dwa przekształcenia Gaussa identyczne, jak w zadaniu d) dostaniemy postać układu równań paralelną z wzorami (33); po prawej stronie oczywiście otrzymamy zera i cały układ okazuje się niesprzeczny; będziemy go rozwiązywać dalej:

47. 
    , czyli
    

zapisujemy uproszczone równanie i przedstawiamy plan dalszego działania:

48. 
    , czyli
    

oto, co dostajemy po wykonaniu planu (48)

49. 
    , czyli
    ;

z postaci (49) możemy odczytać rozwiązanie jednorodnego układu (46)

50. 
    ;
    

inaczej

51. 
    ;
    

Sprawdzenie układu (46):

pierwsze równanie układu (46):

52. 
    OK.

drugie równanie układu (46):

53. 
    OK.

trzecie równanie układu (46):

54. 
    OK.

Odpowiedź:
, gdzie
; wektor zerowy ma nieskończenie wiele przedstawień w formie kombinacji liniowej wektorów
; układ wektorów
jest LINIOWO ZALEŻNY.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

LINIOWEJ NIEZALEŻNOŚCI WEKTORÓW

Niech układ wektorów
z przestrzeni trójwymiarowej
będzie liniowo niezależny; geometrycznie oznacza, że jeśli wszystkie trzy wektory zaczepimy w jednym punkcie, np. początku układu współrzędnych, wówczas każde dwa z nich rozpinają inną płaszczyznę; np. wektory
i
leżą w jednej płaszczyźnie, a wektor
jest nachylony do tej płaszczyzny pod pewnym kątem ostrym.

Wszystkie trzy wektory rozpinają tzw. równoległościan; zob. rys.1:

Wektory
,
oraz
są liniowo niezależne; wektor
jest wypadkową układu
; jedyną kombinacją liniową tego układu, która ściąga układ do punktu jest kombinacja z zerowymi współczynnikami, każde dwa wektory leżą w innej płaszczyźnie.

Z kolei narysujemy układ wektorów
taki, że każde dwa z nich będą tworzyły układ liniowo niezależny, a wszystkie trzy razem utworzą układ liniowo zależny. Po prostu każda para wektorów rozpina płaszczyznę, lecz za każdym razem jest to ta sama płaszczyzna;

zob. rys. 2:

Na rys. 2 trzy wektory
,
oraz
są położone w jednej płaszczyźnie tak, jak linie w logo mercedesa; wypadkowa tych trzech wektorów wynosi zero:

55. 
    ;

każda kombinacja liniowa
, gdzie
daje w wyniku wektor zerowy;

każdy z wektorów układu jest przeciwwagą dla wypadkowej dwu pozostałych np.
itp.

W algebrze liniowej dobrze jest rozwinąć wyobraźnię i interpretować rachunek wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

Koniec odcinka.

11

III + I

:2

OK

OK

(-2) · II + I

(-1) · II + III

OK

: 3

OK

OK

(-1) · I + II

OK

(-1) · I + III

: (-2) ; II

OK

OK

OK

I

III

(-2) · I + II

(-1) · I + III

: (3)

OK

OK

(-2) · II + I

II + III

OK

OK

I

II

III

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM WŁASNYM

(-2) · I + II

(-1) · I + III

(-1) · II + III

OK

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM WŁASNYM

: (-4)

OK

OK

(-2) · II + I

OK

OK

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM WŁASNYM

ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM

O

A

B

C

D

E

F

G

Rys. 1.

Układ wektorów

liniowo zależny

O

A

B

C

Rys. 2.

Przykład układu wektorów

liniowo zależnego

---