K

OMBINACJA LINIOWA WEKTORÓW

Macierze jednokolumnowe lub jednowierszowe nazywamy wektorami i oznaczamy małymi
literami. Macierze jednowierszowe utożsamiamy ze skończonymi ciągami liczbowymi. Ze względu
na dużą rolę takich macierzy w rozważaniach teoretycznych i praktycznych wyróżniamy ten
przypadek w formie odrębnej definicji.

Def:
Zbiór wszystkich n-wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem

n

R

i

nazywamy rzeczywistą przestrzenią kartezjańską o n wymiarach. Elementy tej przestrzeni
nazywamy wektorami, a wyrazy ciągu współrzędnymi wektora.
Piszemy zatem:

(

)

n

x

x

x

x

K

,

,

2

1

=

(

)

n

n

n

n

e

x

e

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

=

+

+

=

=

K

K

K

K

K

K

2

2

1

1

2

1

2

1

)

0

,

0

,

0

(

)

0

,

1

,

0

(

)

0

,

0

,

1

(

,

,

Niech k będzie ustaloną liczbą naturalną,

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

będą wektorami z przestrzeni

n

R zaś

α

1

,

α

2

,...,

α

k

liczbami rzeczywistymi.

Def.
Wektor x postaci

k

k

x

x

x

x

α

α

α

+

+

+

=

K

2

2

1

1

nazywamy kombinacją liniową wektorów

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

o współczynnikach

k

α

α

α

,

,

,

2

1

K

.

L

INIOWA NIEZALEśNOŚĆ I LINIOWA ZALEśNOŚĆ WEKTORÓW

Def.
Układ wektorów

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

nazywamy liniowo zależnym, gdy istnieją liczby

k

α

α

α

,

,

,

2

1

K

nie

wszystkie równe zero takie, że

0

2

2

1

1

=

+

+

+

k

k

x

x

x

α

α

α

K

0 w tym równaniu oznacza wektor o n elementach równych zero.

n

R

∈

=

)

0

,

0

,

0

(

0

K

Układ wektorów

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli nie jest on liniowo zależny to

znaczy jeżeli równość

0

2

2

1

1

=

+

+

+

k

k

x

x

x

α

α

α

K

zachodzi tylko wtedy, gdy

0

,

2

1

=

=

=

=

k

α

α

α

K

(jeżeli kombinacja liniowa tych wektorów jest

wektorem zerowym jedynie wówczas, gdy wszystkie jej współczynniki są równe zero).

Uwaga
Równanie wektorowe

0

2

2

1

1

=

+

+

+

k

k

x

x

x

α

α

α

K

jest tożsame z jednorodnym układem n równań liniowych o k niewiadomych

k

α

α

α

,

,

,

2

1

K

.

Twierdzenia
1)

n

k

=

a) Układ

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

n wektorów przestrzeni

n

R jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy

[

]

n

x

x

x

rz

n

=

,

,

,

2

1

K

.

b) Układ

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

n wektorów przestrzeni

n

R jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy

[

]

0

,

,

,

det

2

1

≠

n

x

x

x

K

.

2)

n

k

<

Układ

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

do którego należy mniej niż n (

n

k

<

) wektorów przestrzeni R

n

jest liniowo

niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy

[

]

k

x

x

x

rz

k

=

,

,

,

2

1

K

..

3)

n

k

>

Układ

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

do którego należy więcej niż n wektorów przestrzeni R

n

(

n

k

>

) jest zawsze

liniowo zależny.

4) Układ wektorów

k

x

x

x

,

,

,

2

1

K

jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest

kombinacją liniową pozostałych.

T

W

:

Rząd macierzy A

mxn

jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy maksymalna liczba liniowo niezależnych

kolumn (wierszy) macierzy wynosi r.