Przestrzenie wektorowe
mgr Zofia Makara
11 stycznia 2004
1
Przestrzenie wektorowe (liniowe)
Definicja 1 Przestrzenią wektorową, zwaną również przestrzenią liniową
nad ciałem (K, +, ·) nazywamy strukturę algebraiczną (V, K, ◦, ∗), która speł-
nia następujące warunki:
1. (V, ◦) jest grupą przemienną (abelową);
2.
∀
a∈K
∀
x,y∈V
a ∗ (x ◦ y) = (a ∗ x) ◦ (a ∗ y);
3.
∀
a,b∈K
∀
x∈V
(a + b) ∗ c = (a ∗ x) ◦ (b ∗ x);
4.
∀
a,b∈K
∀
x∈V
a ∗ (b ∗ x) = (a · b) ∗ x;
5.
∀
x∈V
1 ∗ x = x
Na podstawie definicji przestrzeni wektorowej można zauważyć następujące
własności:
Własność 1
∀
x∈V
0 ∗ x = Θ.
Własność 2
∀
a∈K
a ∗ Θ = Θ.
Własność 3
∀
a∈K
∀
x∈V
((a ∗ x = Θ) ⇒ ((a = 0) ∨ (x = Θ))).
gdzie zero - 0 ∈ K, zaś zero - Θ ∈ V
W celu uproszczenia zapisu w dalszej części działania ◦, oraz ∗ również będą
oznaczane jako + oraz ·.
Skalarami nazywa się elementy zbioru K, zaś elementy zbioru V - wektorami.
1
2
Zadania
1. Niech V będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Dla określo-
nych działań ◦ i ∗ zbadać, czy dana (V, R, ◦, ∗) jest przestrzenią wek-
torową:
(a)
∀
x,y∈V
(x ◦ y) = xy;
∀
a∈R
∀
x∈V
(a ∗ x) = x
a
;
(b)
∀
x,y∈V
(x ◦ y) = x + y;
∀
a∈R
∀
x∈V
(a ∗ x) = a · x;
(c)
∀
x,y∈V
(x ◦ y) = x
2
− xy + y
2
;
∀
a∈R
∀
x∈V
(a ∗ x) = ax
2
+ a
2
x;
2. Niech dana będzie przestrzeń (R
2
, R, ◦, ∗), gdzie:
(a)
∀
x=(x
1
,x
2
),y=(y
1
,y
2
)∈R
2
(x ◦ y) = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
);
∀
a∈R
∀
x=(x
1
,x
2
)∈R
2
(a ∗ x) = (a · x
1
, x
2
);
(b)
∀
x=(x
1
,x
2
),y=(y
1
,y
2
)∈R
2
(x ◦ y) = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
);
∀
a∈R
∀
x=(x
1
,x
2
)∈R
2
(a ∗ x) = (a · x
1
, a · x
2
);
3. Wykazać, że (C, I, +, ·) jest przestrzenią wektorową, gdzie L - jest
zbiorem funkcji ciągłych określonych na przedziale I ⊂ R,
L(I) = {f :3 x → f (x) ∈ R, f f unkcja ciga}
Uwzględniając działania:
dodawanie funkcji:
+ : C(I) × C(I) 3 (f, g) → (f + g) ∈ C(I)
(f + g)(x) = f (x) + g(x), dla kadego x ∈ I
mnożenie funkcji przez skalar
· : R × C(I) 3 (λ, g) → (λ · f ) ∈ C(I)
(λ · f )(x) = λ · f (x), dla kadego x ∈ I
2
4. Wykazać, że dana struktura jest przestrzenią liniową:
(a) (R
2
, R, +, ·);
(b) (R
3
, R, +, ·);
(c) (R
n
, R, +, ·);
5. Wykazać, że (F, R, +, ·) jest przestrzenią wektorową, gdzie F - jest
zbiorem funkcji:
(a) F - funkcji liniowych F = {f : R 3 x →= f (x) = ax};
(b) F - funkcji afinicznych F = {f : R 3 x →= f (x) = ax+b, b ∈ R};
6. Wykazać, że zbiór wielomianów zmiennej x ∈ R - R[x] wraz z działa-
niami dodawania i wielomianów i mnożenia ich przez skalar jest prze-
strzenią liniową.
3