Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2) GEOMETRIA PRZESTRZENI EUKLIDESOWYCH
Wykorzystując iloczyn skalarny udowodnić następujące twierdzenia dotyczące przestrzeni euklidesowej: 1. Wysokości dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
2. Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
3. W dowolnym trójkącie punkty przecięcia się środkowych, wysokości i symetralnych boków leżą na jednej prostej.
4. Twierdzenie cosinusów. Jeżeli A, B, C są trzema różnymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
−→
−→
−→
−→
−→
−→ −→
k AB k2= k BC k2 + k CA k2 −2 k CA k · k BC k · cos(∠{ CA, CB}).
Wyprowadź stąd twierdzenie Pitagorasa.
5. Jeżeli A, B, C są trzema różnymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
−→
−→
−→
−→ −→
k CA k2 + k CB k2 − k AB k2
( CA, CB) =
.
2
6. Jeżeli A, B, C są wierzchołkami trójkąta oraz punkt D jest rzutem punktu C na prostą AB ( spodek wysokości trójkąta
−→
−→ −→
−→ −→
ABC), to k CD k2= ( CA, CB) − ( DA, DB).
−→ −→
−→
−→
−→
Ponadto jeśli wektory CA, CB są prostopadłe, to k CD k2=k DA k · k DB k.
7. Jeżeli A, B, C są wierzchołkami trójkąta oraz punkt S jest środkiem odcinka AB, to
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→ −→
1
−→
−→
2 k CA k2 +2 k CB k2 − k AB k2
k CS k2=k CA k · k CB k · cos(∠{ CA, CB}) + k AB k2
oraz
k CS k2=
.
4
2
8. Twierdzenie sinusów. Jeżeli A, B, C są wierzchołkami trójkąta, to
−→
−→
−→
k AC k
k BC k
k AB k
−→ −→
=
−→ −→
=
−→ −→
.
sin(∠{ BA, BC})
sin(∠{ AB, AC})
sin(∠{ CA, CB})
9. Wzór Herona. Pole trójkąta o bokach a, b, c wyraża się wzorem s = p p( p − a)( p − b)( p − c), gdzie p = a+ b+ c .
2
10. Twierdzenie Ptolemeusza. W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przeciwległych.
Wskazówki do rozwi ˛
azania powyższych zadań a także dowody wielu innych interesuj ˛
acych faktów geometrycznych
można znaleźć w ksi ˛
ażce Edwarda Piegata pt. „Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.
2