Reprezentacja liczb całkowitych w komputerze.

Do przechowywania i przetwarzania liczb w komputerze używany jest system binarny.
8-bitowe słowo mogłoby reprezentowad liczbę całkowitą z przedziału <0;255>.
n-bitowy ciąg: a

n-1

a

n-2

…a

1

a

0

jest interpretowany jako liczba całkowita bez znaku o wartości A

obliczanej wg wzoru:

Np. ciąg binarny 10101010:

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

1 0 1 0 1 0 1 0
Reprezentuje liczbę o wartości:

128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 170

Taki sposób reprezentacji nie pozwala na zapis liczb ujemnych. Istnieją cztery sposoby reprezentacji
liczb całkowitych niedodatnich:



Reprezentacja znak-moduł (signed magnitude)

Najbardziej znaczący bit - znak liczby:
0 – liczba dodatnia,
1 – liczba ujemna
Pozostałe bity – wartośd bezwzględna liczby

Np. dla kodu 8-bitowego:

kod znak-moduł(5) = 00000101
kod znak-moduł(-5)= 10000101



Kod uzupełnienia do 1 (U1)

Liczba przeciwna (zmiana znaku) – zanegowane wszystkie bity (uzupełnienie do 1)

Np. dla kodu 8-bitowego:
kodU1(5) = 00000101
kodU1(-5)= 11111010



Kod uzupełnienia do 2 (U2)

Dla n-bitowej liczby ujemnej (–a) jej kod wynosi 2

n

- a

Praktyczny sposób kodowania liczby ujemnej polega na zanegowaniu wszystkich bitów i
dodaniu wartości „1”. Wynika to z następujących równości:

a + ~a= 2

n

-1 - dodając liczbę binarną a o n cyfrach i liczbę uzyskaną poprzez

zanegowanie każdego z jej bitów uzyskujemy na każdej z n pozycji wartośd
„1” , czyli liczbę 2

n

-1





1

0

2

n

=

i

i

i

a

=

A

2

n

-a= ~a + 1

- oznacza to, że aby uzyskad kod liczby ujemnej (2

n

-a), należy zanegowad

każdy bit liczby a i dodad „1”

kod U2 (a)= a ;

a>=0

kod U2 (a)= ~a + 1;

a<0

Np. dla kodu 8-bitowego:
kodU2(5) = 00000101
kodU2(-5)= 11111011

Dla liczby a będącej ciągiem cyfr binarnych: a

n-1

a

n-2

…a

1

a

0

jej wartośd dziesiętna wyraża się

wzorem:




Przykład:
Rozważmy liczbę binarną liczba=10010011

-2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

-128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 0 1 1

Liczba=-128+16+2+1=-109

A teraz sprawdzenie: zapiszmy liczbę dziesiętną -109 w kodzie U2:

109

1

54

0

27

1

01101101 -> 10010010 + 1 = 10010011

13

1

6

0

wartośd binarna

3

1

liczby 109

negacja bitowa

1

1

0

0

Uwaga: Inny, praktyczny sposób zakodowania liczby ujemnej polega na tym, że najpierw

kodujemy binarnie wartośd bezwzględną zamienianej liczby, a następnie
przeglądamy uzyskaną liczbę dwójkową od pozycji o najmniejszej wadze, czyli od
prawej strony i do wystąpienia pierwszej jedynki włącznie bity pozostawiamy
niezmienione, następnie zamieniamy na przeciwny każdy kolejny bit.











2

0

1

1

2

2

n

=

i

i

i

n

n

a

+

a

=

a

Przykład:
Zamieomy liczbę -109

1. 109

10

= 01101101

2

2. 0 1 1 0 1 1 0 1

zamiana

pozostaje niezmieniona

1 0 0 1 0 0 1 1

Przykład:

Sprawdzenie co to za liczba: 1111111110011010:



Przeciwnie do zamiany na liczbę ujemną

1111111110011001

(l-1) - odjęcie „1”

0000000001100110

(~l) - negacja

wynik: liczba 102



lub ponowna zamiana 1111111110011010 na liczbę przeciwną:

0000000001100101 (~l) - negacja

0000000001100110

(l+1) – dodanie „1”



lub poprzez zamianę bitów począwszy od ostatniej „1”

………………………..

10

ostatnie 2 bity pozostają bez zmian

0000000011001

10

pozostałe bity zostają zamienione na przeciwne



Kod z nadmiarem 2

n-1

Każda liczba jest „przesunięta do przodu” o pewną stałą nazywaną BIAS (biased exponent

).

Może to byd

wartośd 2

n-1

(n -liczba bitów reprezentacji). Jej kod uzyskuje się przez dodanie

tej wartości i kodowanie binarne.
Mając do dyspozycji 8 bitów można zakodowad binarnie liczby z przedziału <0; 255>,
natomiast korzystając z kodu z nadmiarem 2

n-1

czyli 2

7

= 128 uzyskujemy możliwośd

zakodowania liczb z przedziału <-128; 127>. Ciąg kodowy złożony z samych „0” odpowiada
najmniejszej liczbie z zakresu, czyli wartości -128 (w przypadku 8 bitów i nadmiaru 128),
natomiast kod złożony z samych „1” odpowiada wartości 127.

Np. dla kodu 8-bitowego BIAS 128 wartości liczby 5 i -5 można policzyd w następujący
sposób:
kod z nadmiarem 128 (5) = kod binarny(128+5) = 10000101
kod z nadmiarem 128 (-5) = kod binarny (128-5) = kod binarny(123) = 01111011

Zarówno w reprezentacji znak-moduł, jak i w kodzie U1 występuje podwójna reprezentacja liczby 0.
Problem ten nie występuje w kodzie U2 (próba zamienienia liczby 00000000 na ujemną prowadzi do
uzyskania tego samego kodu: 00000000 -> 11111111 + 1 -> 00000000).

Porównanie reprezentacji liczb całkowitych w 8-bitowych kodach:

Liczba

dziesiętna

Znak-moduł

U1

U2

Nadmiar
128

10

00001010

00001010

00001010

10001010

7

00000111

00000111

00000111

10000111

3

00000011

00000011

00000011

00000011

0

00000000

00000000

00000000

10000000

-0

10000000

01111111

-

-

-3

10000011

11111100

11111101

01111101

-7

10000111

11111000

11111001

01111001

-10

10001010

11110101

11110110

01110110

Konwersja między różnymi długościami bitowymi reprezentacji

Przykład: zapisanie na 16 bitach liczby 8-bitowej

Znak-moduł: przesunięcie bitu znaku na pierwsza pozycję i wypełnienie „0” pozostałych pozycji:

00011010

->

0000000000011010

liczba 26

10011010

->

1000000000011010

liczba -26

Kod U1: wypełnienie bitem znaku dodanych pozycji:

00011010

->

0000000000011010

liczba 26

11100101

->

1111111111100101

liczba -26

Kod U2: wypełnienie bitem znaku dodanych pozycji:

00011010

->

0000000000011010

liczba 26

11100110

->

1111111111100110

liczba -26