RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´

NSTWA

Lista 6

1. Wyznaczy´

c warto´s´

c oczekiwan¸

a i wariancj¸e dla zmiennych losowych z zada´

n

1, 2, 3, 6 i 7 Lista 5.

2. Wyznaczy´

c warto´s´

c oczekiwan¸

a i wariancj¸e zmiennej losowej U = −2X

2

+ 3

je˙zeli EX = 2, V arX = 1, EX

4

= 34.

3. Rozk lad prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej X dany jest wzorem

P (X = 2

k

) = 4 · 5

−k

, k = 1, 2, ...

Znale´

z´

c EX, V arX. Czy istnieje trzeci moment X ?

4. Zmienna losowa X ma rozk lad o dystrybuancie

F (x) =

(

0

dla x ≤ 0,

1 − αe

−x

dla x > 0.

Znale´

z´

c α i obliczy´

c EX

k

dla k = 1, 2, 3.

5. Wyliczy´

c - o ile to mo˙zliwe - warto´s´

c oczekiwan¸

a i wariancj¸e oraz wyznaczy´

c

median¸e i kwartyle ciag lego rozkadu zmiennej losowej X

a) o g¸esto´sci

f (x) =











x

dla 0 ≤ x ≤ 1,

2 − x dla 1 < x ≤ 2,

0

dla pozosta lych x;

b) o g¸esto´sci f (x) =

1

π(1+x

2

)

;

c) o dystrybuancie

F (x) =











0

dla x ≤ 0,

x

2

dla 0 < x ≤ 1,

1

dla x > 1.

6. Niech X jest sum¸

a wyrzyconych oczek przy stukrotnym rzucie kostk¸

a. Obliczy´

c

EX i V arX.

7. Sprawdzany przyrz¸

ad sk lada si¸e z pi¸eciu element´

ow. Wyniki badania poszcze–

g´

olnych element´

ow s¸

a od siebie niezale˙zne. Prawdopodobie´

nstwo, ˙ze element

o numerze i nie b¸edzie dzia la l jest r´

owne p(i) = 0, 2 + 0, 1(i − 1). Obliczy´

c

warto´s´

c oczekiwan¸

a i wariancj¸e ilo´sci dzia laj¸

acych element´

ow.