1

Macierze i wektory
1.Dane są macierze

,

,

Wykonać każde z następujących działań lub uzasadnić, że nie jest możliwe.

a) AB-A, b) 2B-A

T

A, c)BA

T

+3A, d) A

T

A-C

T

C.

2. Wykorzystując przedstawienie parametryczne prostej sprawdzić czy punkty

a=

, b=

, c =

leżą na jednej prostej.

3. Sprawdzić czy wektory

a=

, oraz b=

są ortogonalne.

4. Dla dowolnych wektorów kolumnowych

x=

, y =

, z =

Oblicz a) ||x||, b) ||x-y||, c) x

x, d) x y, e) x z. f) x (2y+3z),

g) Jaka jest odległość x od 0, jaka jest odległość x od y?

Rząd macierzy

5

) Wychodząc z definicji wyznacz rząd macierzy

A=

6)Sprawdź czy wektory w

1

=

, w

2

=

, w

3

=

stanowią bazę w R

3

.

Komentarz. Zgodnie z definicją bazy w R

3

należy sprawdzić niezależność tych wektorów.

Możesz to zrobić posługując się definicją niezależności (por. Wykład2b) ;możesz sprowadzić
macierz do równoważnej macierzy zerojedynkowej lub schodkowej (por.Wykład 2b-3a;
Wniosek dotyczący postaci schodkowej i Przykład 10a i 10b). Możesz, i to najszybsze,
posłużyć się Wnioskiem z Twierdzenia o macierzy nieosobliwej i wyznaczniku, Wykład 3b-
4a. Wystarczy wtedy sprawdzić czy det[w

1

, w

2,

w

3

]

Rozwiazywanie równań
Trzeba umieć zapisywać układ równań liniowych w postaci wektorowej oraz macierzowej.

2

7) Dany jest układ równań:
x

1

-2x

2

-2x

3

=0

2x

1

+x

2

-2x

3

=2

3x

1

+3x

2

+x

3

=7

a) Podaj zapis układu w postaci wektorowej
b) Podaj zapis układu w postaci macierzowej.

ad. a) Niech w

1

=

, w

2

=

, w

3

=

, b =

Zapis wektorowy:

x

1

+ x

2

+ x

3

=

lub x

1

w

1

+ x

2

w

2

+ x

3

w

3

= b.

ad. b) Zapis macierzowy:

(*)

.

=

8). Posługując się Twierdzeniem Kroneckera-Capellego sprawdź czy układ równań z
zadania 7 ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Wskazówka. Należy pokazać, że rządy macierzy A i rozszerzonej A|b są takie
same, gdzie

A=

natomiast A|b =

.

9)

.

a) Podaj wartość wyznacznika det(A) gdzie A jest macierzą z zadania 8.

b) Oblicz wyznacznik macierzy

10). Oblicz macierz odwrotną do macierzy A=

a) metodą zerojedynkową (metodą operacji elementarnych. Wykład 2b-3a . Twierdzenie 6 )

b) metodą wyznacznikową (por. Twierdzenie o macierzy odwrotnej z wykładu 3b-4a)
c) znając macierz odwrotną do A podaj rozwiązanie układu równań zapisanych macierzowo

Ax=b gdzie b=

11. Dla modelu rynku z 3dobrami równania na ceny równowagi maja postać:

Wyznacz ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.