ZADANIA Z ALGEBRY
Permutacje
1. Wymnożyć permutacje:
(a)
1 2 3 4 5
5 3 4 2 1
!
1 2 3 4 5
2 1 5 4 3
!
(b)
1 2 3 4 5 6
6 3 4 1 5 2
!
1 2 3 4 5 6
5 1 6 4 3 2
!
(c)
1 2 3 4
1 3 4 2
!
1 2 3 4
2 1 3 4
!
2. Przedstawić poniższe permutacje w postaci iloczynu cykli rozłącznych
(a)
1 2 3 4 5 6 7
1 3 4 7 6 2 5
!
(b)
1 2 3 4 5 6 7
1 7 3 5 2 4 6
!
(c)
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 8 4 6 7 1
!
(d)
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 6 4
!
(e)
1 2 3 4 5 6 7
2 5 4 3 1 7 6
!
3. Zapisać permutacje w postaci blokowej.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8).
4. Wymnożyć permutacje.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7)(1, 4, 6, 7)(2, 3, 4),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7)(1, 5, 3, 2),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8)(3, 5, 8)(2, 4, 5, 6)(1, 3).
5. Wyznaczyć permutacje odwrotne do permutacji z zadania 2.
6. Wyznaczyć rzędy poniższych permutacji:
(a) (1, 2, 4, 5, 6, 8, 7, 9),
(b) (1, 2, 6, 7)(5, 6),
(c) (2, 5, 7)(2, 4),
1
(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(7, 8, 9, 10)(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18),
(e) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),
(f) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(3, 2, 6, 5),
(g) (3, 4, 5, 6, 7)(2, 4, 5, 7)(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
7. Rozwiązać równania permutacyjne.
(a) α
124
β
298
xα
377
β
845
= α
753
β
366
, α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),
(b) α
124
β
298
xα
377
β
845
= α
753
β
366
, α = (1, 3, 4, 5, 6), β = (1, 2, 3)(4, 5),
(c) α
124
β
298
xα
377
β
845
= β
753
α
366
, α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),
(d) α
739
β
477
xα
368
β
145
= β
153
α
367
, α = (1, 2)(3, 5, 6), β = (1, 2, 3, 4),
(e) α
333
β
222
xα
777
β
111
= β
555
α
444
β
999
, α = (1, 3, 4, 5)(2, 6), β = (1, 2)(3, 4, 5).
8. Udowodnić, że każdą permutację parzystą da się zapisać jako iloczyn cykli
długości trzy.
9. Udowodnić, że każdą transpozycję można zapisać jako iloczyn transpozycji
(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , (1, n).
10. Wyznaczyć grupę (A
4
, ◦).
11. Wyznaczyć ilość inwersji dla permutacji z zadania 2.
2