ZADANIA Z ALGEBRY

Permutacje

1. Wymnożyć permutacje:

(a)

1 2 3 4 5
5 3 4 2 1

!

1 2 3 4 5
2 1 5 4 3

!

(b)

1 2 3 4 5 6
6 3 4 1 5 2

!

1 2 3 4 5 6
5 1 6 4 3 2

!

(c)

1 2 3 4
1 3 4 2

!

1 2 3 4
2 1 3 4

!

2. Przedstawić poniższe permutacje w postaci iloczynu cykli rozłącznych

(a)

1 2 3 4 5 6 7
1 3 4 7 6 2 5

!

(b)

1 2 3 4 5 6 7
1 7 3 5 2 4 6

!

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 8 4 6 7 1

!

(d)

1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 6 4

!

(e)

1 2 3 4 5 6 7
2 5 4 3 1 7 6

!

3. Zapisać permutacje w postaci blokowej.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8).

4. Wymnożyć permutacje.
(a) (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7)(1, 4, 6, 7)(2, 3, 4),
(b) (2, 3, 5, 6)(1, 7)(1, 5, 3, 2),
(c) (2, 5, 7)(1, 3, 4)(6, 8)(3, 5, 8)(2, 4, 5, 6)(1, 3).

5. Wyznaczyć permutacje odwrotne do permutacji z zadania 2.

6. Wyznaczyć rzędy poniższych permutacji:
(a) (1, 2, 4, 5, 6, 8, 7, 9),
(b) (1, 2, 6, 7)(5, 6),
(c) (2, 5, 7)(2, 4),

1

(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(7, 8, 9, 10)(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18),
(e) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),
(f) (1, 2, 3, 4, 5, 6)(3, 2, 6, 5),
(g) (3, 4, 5, 6, 7)(2, 4, 5, 7)(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

7. Rozwiązać równania permutacyjne.
(a) α

124

β

298

xα

377

β

845

= α

753

β

366

, α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),

(b) α

124

β

298

xα

377

β

845

= α

753

β

366

, α = (1, 3, 4, 5, 6), β = (1, 2, 3)(4, 5),

(c) α

124

β

298

xα

377

β

845

= β

753

α

366

, α = (1, 3, 4)(5, 6), β = (1, 2, 3, 4, 5),

(d) α

739

β

477

xα

368

β

145

= β

153

α

367

, α = (1, 2)(3, 5, 6), β = (1, 2, 3, 4),

(e) α

333

β

222

xα

777

β

111

= β

555

α

444

β

999

, α = (1, 3, 4, 5)(2, 6), β = (1, 2)(3, 4, 5).

8. Udowodnić, że każdą permutację parzystą da się zapisać jako iloczyn cykli
długości trzy.

9. Udowodnić, że każdą transpozycję można zapisać jako iloczyn transpozycji
(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , (1, n).

10. Wyznaczyć grupę (A

4

, ◦).

11. Wyznaczyć ilość inwersji dla permutacji z zadania 2.

2