M

m

r

F(r)

g

F

r

G

Mm

r

r

r

®

®

®

= -

g

( )

2

Si³a grawitacji

Prawo grawitacji Newtona:

Ka¿de dwa cia³a przyci¹gaj¹ siê wzajemnie si³¹

grawitacji (ci¹¿enia) wprost proporcjonaln¹ do iloczynu ich mas i odwrotnie

proporcjonaln¹ do kwadratu odleg³oœci pomiêdzy nimi.

F

g

m

M

–F

g

r

F

G

m M

r

g

=

2

G =

×

-

6 67 10

11

,

Nm

kg

2

2

M

m

F

g

linie si³ pola wskazuj¹ w przestrzeni wokó³
Ÿród³a pola kierunek si³y grawitacji jaka zadzia³a
na cia³o o masie m umieszczone w danym polu
grawitacyjnym

g

®

®

=

F

m

g

Pole grawitacyjne

g =

G M

r

2

Zale¿noœæ g

g h

= ( ) dla j =

°

45

Zale¿noœæ g

g

= ( )

j dla h = 0

h [m]

g [

]

m s

2

j

g [

]

m s

2

0

9,806

0°

9,780

1 000

9,803

30°

9,793

100 000

9,600

60°

9,819

1 000 000

7,410

90°

9,832

Przyspieszenie w polu grawitacyjnym

g

F

m

g

®

®

=

g

G M

r

=

2

g

G M

r

G M

R

h

g

h

R

=

=

+

=

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

2

2

0

2

1

(

)

Praca w polu grawitacyjnym

F

g

m

M

F

z

A

B

W

W

G M m

r

r

G M m

r

r

A

B

B

A

= -

= -

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ =

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

z

1

1

1

1

M

m

r

A

F (r )

g

A

r

B

A

B

F

(

r

)

B

g

s

1

s

2

s

3

F

(

r

)

A

z

F

(

r

)

B

z

E

m

G

Mm

r

m

G

Mm

r

c

A

A

B

B

v

2

v

2

const

=

+ -

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ =

+ -

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ =

2

2

E

G

Mm

r

p

= -

Energia potencjalna grawitacji

Zasada zachowania energii

V r

E

r

m

( )

( )

=

p

Praca po krzywej zamkniêtej

\

a

F

m

t

®

®

®

=

=

dv

d

st¹d r

t

®

®

´

=

dv

d

0 .

d

d

v

d

d

v

dv

d

t

r

r

t

r

t

®

®

®

®

®

®

´

æ

è

ç

ö

ø

÷ =

´ + ´

.

d

d

v

t

r

®

®

´

æ

è

ç

ö

ø

÷ = 0 czyli r

®

®

´

=

v

const.

Pole si³ zachowawczych (potencjalnych)

A

B

s

1

s

2

s

3

O

F(r)

r

(

)

(

)

W

W

F r

r

A

B

s

A

B

s

r

r

A

B

®

®

® ®

®

=

=

®

®

ò

1

2

( ) d

(

)

(

)

(

)

(

)

W

W

W

W

A

B

s

B

A

s

A

B

s

A

B

s

®

®

®

®

+

=

-

=

1

2

1

2

0

Pole grawitacyjne jako przyk³ad pola si³ centralnych

O

r

A

F

A

r

B

A

B

F

B

r

A

r

B

F r

f r r

® ®

=

( )

( ) $

s

®

®

®

=

´

=

1

2

(

)

r

v

const

Prêdkoœæ polowa

(

)

W

F r

B

B

s

®

® ®

=

=

ò

3

0

d

Moment pêdu w polu si³ centralnych

L

m

®

®

= 2

s.

L

r

p

®

®

®

=

´

= const

r

p

=

+

1 e

j

cos

,

p

L G M m

=

2

2

, e =

+

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

1

2

2

2

2

2

0 5

E L

G M m

,

e = 0, E < 0 – okr¹g, r

p

= ,

0

1

< <

e

, E < 0 – elipsa, p

r

p

(

)

(

)

1

1

+

< <

-

e

e ,

e = 1, E = 0 – parabola,

e > 1 E > 0 – hiperbola.

T

GM

a

2

2

3

4

=

p

S

I

II prawo Keplera - kwadrat okresu obiegu planety dooko³a S³oñca

jest wprost proporcjonalny do szeœcianu wielkiej pó³osi jej orbity

Prawa Keplera

I prawo Keplera - ka¿da planeta porusza siê wokó³ S³oñca po elipsie, przy czym S³oñce

znajduje siê w jednym z ognisk tej elipsy

r

b

a

s =

=

D

D

S

t

const

s

p

=

ab

T

Ruch cia³ w polu si³y grawitacji

II prawo Keplera - pola zakreœlone przez promieñ wodz¹cy planety w takich samych

odcinkach czasu s¹ sobie równe

Pierwsza prêdkoœæ kosmiczna

m

R

G

mM

R

v

I

z

z

z

2

2

=

,

Satelita geostacjonarny

Druga prêdkoœæ kosmiczna - prêdkoœæ ucieczki

Prêdkoœci kosmiczne

v

km

s

II

z

z

z

=

=

=

2

2

11 2

GM

R

g R

,

v

km

s

I

z

z

z

=

=

=

GM

R

g R

7 9

,

v

I

v

II

r

T G M

T g R

=

=

=

=

×

×

×

×

-

2

2

3

2

0

2

2

3

2

2

3

4

4

3600 24

4

9 81 10

z

z

p

p

p

(

)

,

(6367 445

42 211

2

3

,

) km

km

=

v =

G M

r

T

r

G M

= 2

3

p