I zasada dynamiki
I zasada dynamiki może być (jest) formułowana na kilka sposobów. Najczęściej ma ona postać:
Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku, lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
To sformułowanie (zaproponowane jeszcze przez Newtona) nie jest najszczęśliwsze, bo w pewien sposób "ukrywa"
istotny sens I zasady dynamiki, a za to skupia się na czymś, co wydaje się być oczywiste. W efekcie może to
prowadzić do błędnych wniosków.
Bardziej poprawnym (od strony zwrócenia uwagi na istotę tego prawa) sformułowaniem jest:
Istnieje taki układ odniesienia, w którym
- jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku, lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Różni się ono od poprzedniego dodatkiem na początku (wyróżnionym pogrubieniem czcionki). Ten dodatek jest o tyle
istotny, że usuwa fałsz pierwotnej wersji twierdzenia pojawiający się w układach nieinercjalnych. Bo I zasada
dynamiki w pierwotnym sformułowaniu w układach nieinercjalnych jest po prostu nieprawdziwa.
To drugie, ulepszone sformułowanie można przekazać jeszcze nieco inaczej - można je rozbić na:



wyjaśnienie czym są układy inercjalne (a definiują się one niemal identycznie, jak I zasada dynamiki w
pierwotnym stwierdzeniu)



zapostulować (założyć) istnienie tych układów

W takim ujęciu I zasada dynamiki ma postać:

Istnieją układy inercjalne.

Po co jest I zasada dynamiki?
I zasada dynamiki ma spełnić jedno podstawowe zadanie – dać punkt wyjścia do wprowadzenia II, a potem także III
zasady dynamiki Newtona.
Jeszcze inaczej patrząc na sprawę - I zasada dynamiki rozbija nam wszystkie układy odniesienia jakie wprowadza
fizyka na 2 klasy:



układy, w których brak sił (lub ich równowaga) implikuje brak przyspieszenia ciała (układy inercjalne)



układy, w których mimo braku sił zewnętrznych, ciało może poruszać się ruchem przyspieszonym. Układy
tego rodzaju nazywane są układami nieinercjalnymi, czyli układami, w których pojawiają się szczególny
rodzaj sił - siły bezwładności..

Druga zasada dynamiki Newtona
Treść drugiej zasady dynamiki brzmi:

Ponieważ zarówno przyspieszenie jak i prędkość są wielkościami wektorowymi, to precyzyjniej byłoby przedstawić
II zasadę dynamiki w postaci wzoru ze strzałkami nad symbolem siły i symbolem przyspieszenia.

⃗

⃗

Ta postać wzoru na II zasadę dynamiki mówi nam, nie tylko o samej wartości przyspieszenia, ale też o kierunku i
zwrocie:
Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora siły.

Siła w II zasadzie dynamiki
Jeśli na ciało działa tylko jedna siła, to II zasada dynamiki jest prosta do zastosowania. Jednak jeżeli sił będzie
większa ilość? - w, 3 albo nawet jeszcze więcej?
- Którą z tych sił podstawić?
Odpowiedź jest prosta. W takiej sytuacji podstawiamy do wzoru siłę wypadkową. Siła wypadkowa "zawiera w sobie"
wszystkie działające siły składowe i pozwala na poprawne obliczenie przyspieszenia.

Przyspieszenie jakie nadaje niezrównoważona siła F ciału o masie m jest wprost
proporcjonalne do tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Można więc sformułować II zasadę dynamiki w postaci.

Czy II zasada dynamiki zawsze obowiązuje?
W podstawowej formie II zasada dynamiki Newtona obowiązuje tylko w układach inercjalnych. W układach
nieinercjalnych pojawia się dodatkowe przyspieszenie (wynikające z przyspieszenia obserwatora - układu
odniesienia), które "burzy" to równanie.
Jednak da się "uratować" II zasadę dynamiki również dla układów nieinercjalnych. W tym przypadku jednak do
równania trzeba wprowadzić poprawkę związaną z siłami bezwładności.
II zasada definiuje siłę
Drugą zasadę dynamiki można właściwie traktować też jako sposób na zdefiniowanie siły. Wystarczy po prostu
zastosować to równanie dla konkretnego jednego oddziaływania. Więcej informacji na ten temat znajduje się w
rozdziale Definicja siły.

Trzecia zasada dynamiki Newtona
Trzecia zasada dynamiki mówi o wzajemności oddziaływań. Jest ona często nazywana zasadą akcji i reakcji.
Sformułowanie III zasady dynamiki:
Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą FAB, to ciało B działa na ciało A siłą FBA, o takim samym kierunku i wartości jak
FAB, ale przeciwnym zwrocie.

Da się to zapisać wzorem:

Kluczem do interpretacji tego wzoru jest oczywiście znak minus po prawej stronie. To on właśnie uzmysławia nam, że
obie siły działają przeciwnie.
Z III zasady dynamiki wynika, że siły zawsze występują parami (wyjątkiem są siły bezwładności, ale one nie są
prawdziwymi siłami, tylko sztucznie wprowadzoną do obliczeń poprawką ułatwiającą stosowanie zasad dynamiki w
pewnych sytuacjach).
Uwaga: siły występujące w III zasadzie dynamiki nie równoważą się.
Siła F

AB

, nie równoważy się z siłą F

BA

, ponieważ działają na różne ciała – siłą F

AB

działa na ciało B, a siła F

BA

na

ciało A. Równoważenie sił występuje tylko wtedy, gdy przeciwne siły działają na to samo ciało.
Dzięki 3-iej zasadzie dynamiki możliwe jest poprawne powiązanie ze sobą sił działających w układziewielu ciał (czyli
przynajmniej 2 ciał).
3 cia zasada dynamiki wynika i jest ściśle powiązana z zasadą zachowania pędu.

Zasada zachowania pędu
Dlaczego pęd jest tak ważną wielkością?
Różne wielkości fizyczne (np. masy, prędkości, przyspieszenia, odległości) można przez siebie mnożyć, dzielić,
dodawać i odejmować w rozmaitych kombinacjach, ale tylko nieliczne otrzymane w ten sposób wzory dają użyteczne
wielkości.
Bo tylko wtedy, gdy wielkość w jakiejś szczególnej klasie sytuacji jest stała staje się ona użyteczna fizykowi. Tak jest
w przypadku masy - większość ciał ma stałą masę (o ile np. ich nie podzielimy na kawałki); podobnie też np. gęstość
jest niezmienna dopóki nie zmienimy istotnie warunków w jakich znajduje się substancja. Gdyby zaś ta sama gęstość,
bez żadnego powodu była raz większa, raz mniejsza, to wielkość owa nic by nam o substancjach nie mówiła. Dlatego
też w zasadzie wszystkie "ważne" wielkości fizyczne zachowują w określonych warunkach stałą wartość, mimo
zmiany wielkości je tworzących.
I tak też jest w przypadku pędu - obowiązuje:
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania) zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

Czyli, zapisując to wzorami:

jeżeli F = 0, to p = const

Lub jeszcze inaczej:
Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z zewnątrz układu.
Praca - czyli mechaniczny sposób przekazu energii
Jako podstawę do wprowadzenia pojęcia energii przyjmuje się zazwyczaj wielkość zwaną pracą. Zdefiniowana jest
ona tak (wersja uproszczona):

Praca = Siła · Przesunięcie

Co można zapisać wzorem literowym

W = F ·s

Znaczenie symboli: F - siła, s - przesunięcie, W - praca
Praca jest wielkością skalarną. Oznaczamy ją najczęściej literą W (z angielskiego Work - praca), rzadziej z łaciny L
(Labor – praca).
Jednostka pracy
Jednostką pracy (tak jak i jednostką energii) jest dżul - J

1 J = 1 N · m = 1 kg · m

2

/ s

2

= 1 kg · m

2

· s

-2

Wyżej podane określenie pracy, zostało sformułowane w formie uproszczonej. Słuszne jest ono tylko w przypadku,
gdy siła wywołująca jakieś przesunięcie jest zgodna z kierunkiem ruchu.
Pełna wersja definicji pracy
Ponieważ nierzadko się zdarza, że siła działa w innym kierunku niż odbywa się przesunięcie (np. siła wiatru działająca
na żagiel jachtu, działa najczęściej pod kątem różnym od jego kierunku ruchu), więc przyjęło się uściślić wzór na
pracę do postaci:

Praca = Siła · Przesunięcie_w kierunku_siły

lub, w całkowicie równoważnym ujęciu:

Praca = Siła_w_kierunku_przesunięcia · Przesunięcie

Tak czy owak, trzeba zawsze wziąć te składowe wektory siły, lub

przesunięcia, które są zgodne z kierunkiem drugiego wektora.

Jak to napisano w rozdziale poświęconym podstawom definicji pracy, rzeczywista wartość pracy zależy od wartości
działającej siły, przesunięcia, a także kąta jaki tworzy ta siła z przesunięciem.
Wartość pracy, z uwzględnieniem kąta między siłą i przesunięciem, można też obliczyć ze wzoru:

W = F · S · cos (kąta między wektorem siły, a wektorem przesunięcia)

(powyższa procedura mnożenia wartości wektorów i kosinusa kąta między nimi jest określana jako mnożenie skalarne
wektorów).

Wzór ten powstaje z wzorów podanych wcześniej dzięki zastąpieniu składowej siły w kierunku przesunięcia:

Siła_w_kierunku_przesunięcia = Wartość_całej_siły · kosinus_kąta

lub odpowiednio:

Przesunięcie_w kierunku_siły = Całe_przesunięcie · kosinus_kąta

(kosinus_kąta odnosi się do kąta pomiędzy siłą, a przesunięciem).
Praca jako iloczyn skalarny wektorów siły i przesunięcia
Powyższy zapis: W = F · S · cos (kąta między wektorem siły, a wektorem przesunięcia) - odpowiada dokładnie
definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów.
Wnioskować z tego można, że zwięźlej da się zapisać definicję pracy w notacji wektorowej:

⃗ ⃗

Ten zapis to nic innego, tylko zwięzłe zapisanie faktu, że wartość pracy jest iloczynem wartości wektorów siły i
przesunięcia oraz kosinusa kąta między tymi wektorami.

⃗ ⃗ | ⃗| | ⃗| ⃗ ⃗

Zasada zachowania energii całkowitej
To, że energia jest tak ważną wielkością wynika z jednego podstawowego faktu – obowiązuje zasada zachowania
energii.
Gdyby powyższa zasada nie obowiązywała, a więc gdyby energia zmieniała się bez istotnego powodu, to nie byłoby
sensu uczyć się, ani wzoru na energię kinetyczną, ani na potencjalną, ani na żadną inną, bo i tak nie wiadomo byłoby
czy w danym momencie ta wielkość jeszcze ma poprzednio znaną wartość.
Zasada zachowania energii jest jedną z zasad podstawowych w fizyce. Oznacza to, że ma ona zastosowanie do
wszystkich działów fizyki, a także że sprawdza się z bardzo daleko posuniętą dokładnością (pewne odstępstwa na
bardzo krótką chwilę czasu mogą wystąpić zjawiskach fizyki kwantowej i wynikają z zasady nieoznaczoności
Heisenberga, ale to już "wyższa szkoła jazdy").

Energia całkowita
Energia całkowita, to po prostu energia zawierająca wszystkie możliwe jej postacie: kinetyczną, potencjalną ciężkości,
potencjalną sprężystości, elektryczną, magnetyczną, chemiczną, jądrową, świetlną (właściwie to też jest forma energii
pola elektromagnetycznego) itd....

Ecałkowita = Emechaniczna + Egrawitacyjna + Eelektromagnetyczna + Ejądrowa + ...

Zasada zachowania energii
Postarajmy się więc zrozumieć istotę tego fundamentalnego prawa przyrody. Oto jego treść podana (do wyboru) aż w
5 sformułowaniach:
Sformułowanie 1:
W dowolnym procesie całkowita energia układu izolowanego jest stała.
Sformułowanie 2:
Całkowita energia izolowanego układu jest taka sama przed, jak i po wystąpieniu przemian w tym układzie.
Sformułowanie 3:
Zmienić energię izolowanego układu można tylko poprzez dostarczenie jej z zewnątrz, lub w wyniku wyemitowania
jej poza układ.
Sformułowanie 4:
Energia nie ginie, ani nie powstaje samorzutnie.
Sformułowanie 5 (wzorem):

E

układu_izolowanego

= const,

lub

E

całkowita_układu_izolowanego_końc

= E

całkowita_układu_izolowanego_pocz

,

lub

E

postac1_k

+ E

postac2_k

+ E

postac3_k

+ ... = E

postac1_p

+ E

postac2_p

+ E

postac3_p

+ ...

Układ izolowany

Układ izolowany, jest to taki układ (czyli zestaw ciał, obiektów), który nie kontaktuje się z innymi układami
(obiektami). Prawdę mówiąc do obowiązywania zasady zachowania energii całkowita izolacja układu nie jest nawet
konieczna. Wystarczy tylko, jeżeli tenże układ nie wymienia energii z otoczeniem.
Zasada zachowania energii całkowitej jest podobna do zasady zachowania energii mechanicznej. Różnica polega tylko
na większym zakresie rozpatrywanych energii. W tym przypadku mówimy już nie tylko o energii kinetycznej i
potencjalnej mechanicznej, ale także np. o energii jądrowej, chemicznej, czy elektrycznej.
Przypadki szczególne zasady zachowania energii
Zasada zachowania energii całkowitej jest zasadą podstawową. Po ograniczeniu dostępnych rodzajów energii do
jakiegoś ograniczonego podzbioru dostajemy inne znane prawa fizyki, związane z konkretnymi działami fizyki i
zjawiskami.

Energie brane pod uwagę

Nazwa szczegółowego prawa zachowania
energii

Energia kinetyczna, potencjalna ciężkości, potencjalna sprężystości zasada zachowania energii mechanicznej

Ciepło

bilans cieplny

Energia wewnętrzna, praca, ciepło

I zasada termodynamiki

Energia kinetyczna, energia kwantu promieniowania
elektromagnetycznego, praca wyjścia z metalu

Wzór Einsteina na zjawisko fotoelektryczne

Energia kinetyczna cieczy, energia potencjalna ciężkości cieczy,
praca objętościowa wykonana nad cieczą

Równanie Bernoulliego

Co wynika praktycznie z zasady zachowania energii?
Teraz wyjaśnimy co z powyższych sformułowań wynika.
Załóżmy, że rozpatrywany przez nas układ posiada tylko dwa rodzaje energii: energię kinetyczną i potencjalną.
Wtedy, z faktu, że wzrosła energia kinetyczna, możemy od razu wywnioskować o zmaleniu energii potencjalnej - bo
suma tych dwóch składników musi być stała. I w ten sposób zazwyczaj stosuje się w zadaniach zasadę zachowania
energii - jeśli znamy całkowitą energią w pewnym momencie, a następnie tylko jeden ze składników w innym
momencie, to możemy obliczyć wartość tego brakującego składnika.

Zasada zachowania energii
W układzie odosobnionym od zewnętrznego otoczenia w ten sposób, że energia w żadnej postaci nie przenika do
niego z zewnątrz ani nie uchodzi z niego na zewnątrz, całkowita wartość energii pozostaje niezmienna: mogą w nim
tylko zachodzić przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną.
Szczególnym przypadkiem powyższej zasady jest zasada zachowania energii mechanicznej. Rozważmy przykład piłki
o masie m zawieszonej na wysokości h. Posiada ona energię potencjalną Ep = mgh, jednak kiedy zacznie spadać
nabiera z każdą sekundą prędkości, przez co zwiększa się jej energia kinetyczna, natomiast ponieważ zmniejsza się
wysokość, zminiejsza się energia potencjalna. Wszelkie opory ruchu pomijamy. Jasno widać z tego przykładu, że
energia potencjalna przechodzi w energię kinetyczną. Dzięki zasadzie zachowania energii wiemy, że w dowolnym
momencie ruchu tej piłki energia całkowita jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej:

Ec = Ep + Ek

Moment siły, wektor osiowy D=r×F, gdzie: r - promień wodzący zaczepiony w pewnym wybranym punkcie
(względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły, znak × oznacza iloczyn wektorowy.
Wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest ich sumie wektorowej.
Skutkiem działania na ciało wypadkowego niezerowego momentu siły jest ruch obrotowy (D=dJ/dt, gdzie: J moment
pędu).

Moment pędu, kręt, wektor osiowy J charakteryzujący ruch ciała (w szczególności ruch obrotowy): J=r×p (iloczyn
wektorowy wektora wodzącego r i pędu ciała).
gdzie: V - objętość ciała, dv - element objętości, ρ(r) - funkcja rozkładu gęstości, u(r) - prędkość elementu objętości
dv.
Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać:

dJ/dt=D

gdzie D moment sił zewnętrznych (moment siły).
Moment pędu bryły sztywnej wyraża się (w układzie odniesienia, w którym oś obrotu przechodzi przez początek
układu) poprzez tensor momentu bezwładności I i prędkość kątową ω, J=Iω. Moment pędu izolowanego układu jest
zachowywany (zasada zachowania krętu).
W fizyce kwantowej moment pędu jest wielkością skwantowaną (kwantowanie), ponadto pojawia się wewnętrzny
moment pędu (spin).
Zasada zachowania momentu pędu - Jeżeli całkowity moment sił względem osi obrotu, działający na bryłę jest równy
zero, to jej moment pędu względem tej osi jest stały.

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w fizyce. Treść zasady:
Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.
W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:
Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.czyli

⃗⃗ lub

⃗⃗

⃗⃗⃗

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych,
dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i
zmniejszenia momentu bezwładności.

Moment bezwładności
W przypadku ruchu obrotowego bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy, ale także od jej odległości od osi
obrotu. Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności. Dla punktu materialnego o masie m,
którego odległość od nieruchomej osi obrotu wynosi r wielkość tę definiujemy jako:

Moment bezwładności układu punktów materialnych o masach Δmi, leżących w różnych odległościach ri od osi
obrotu wynosi zatem:

W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, sumowanie należy zastąpić
całkowaniem. A więc ciało sztywne dzielimy na nieskończenie małe cząstki o masach Δmi(co przedstawia poniższy
rysunek):

W konkretnych problemach fizycznych często dokonuje się zamiany zmiennej, przechodząc od całkowania po masie,
do całkowania po objętości. W tym celu wykorzystuje się zależność definiującą objętościową gęstosć masy:

Momenty bezwładności dla różnych brył można znaleźć w tablicach fizycznych. Wartość momentu bezwładności na
ogół zależy od wyboru osi obrotu.

i przy wyznaczaniu jego momentu bezwładności obliczamy granicę powyższego
wyrażenia przy Δm

i

→ 0:

Twierdzenie Steinera opisuje, w jaki sposób znaleźć moment bezwładności danej bryły względem danej osi, jeżeli
znany jest moment bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek bryły.

I

0

-moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

I- moment bezwładności względem osi równoległej
d-odległość między osiami
m-masa bryły

Twierdzenie Steinera jest narzędziem pozwalającym w stosunkowo prosty i szybki sposób znajdować moment
bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy układu.

gdzie: I – szukany moment bezwładności, Ism – moment bezwładności względem środka masy, M – masa całego
układu, d – odległość między osiami.

Oscylator harmoniczny to układ, na który, przy wytrąceniu ze stanu równowagi, działa siła proporcjonalna do
wychylenia, usiłująca tą równowagę przywrócić. Skutkiem tego jest ruch ograniczony w przestrzeni i drgający
harmonicznie, czyli taki, w którym zależność odchylenia od czasu ma postać funkcji sinus lub cosinus.

Rzeczywisty oscylator harmoniczny jest tłumiony, bo np. sprężyna nie drga w nieskończoność, tylko po pewnym
czasie wytraca swoją energię w postaci ciepła (wskutek tarcia). A więc, w rzeczywistości będziemy obserwować ruch
oscylacyjny złożony z zanikiem wykładniczym, czyli po prostu drgania o coraz mniejszej amplitudzie. Przy bardzo
silnym tłumieniu nie wystąpi ani jedno drgnięcie, ale od razu wykładniczy zanik ruchu.

Jeśli na oscylator działa dodatkowo zewnętrzna siła (również o oscylującej wartości), to mamy do czynienia z jego
drganiami wymuszonymi. Mają one taką częstotliwość jak siła wymuszająca Fo cos ωt

Oto równanie ruchu:

m(d

2

x/dt

2

) = - kx + F

o

cos ωt

Amplituda oscylacji obliczana jest wtedy według wzoru:

A = Fo / [m(ωo2 – ω2)]

gdzie: ωo – własna częstotliwość drgań oscylatora, ω – częstotliwość drgań siły wymuszającej.
Widzimy, że amplituda przybiera bardzo duże wartości dla ω bardzo zbliżonego wartością do ωo (mały mianownik).
Jeśli jednak ω = ωo, to mamy do czynienia z osobliwością. Równanie „wybucha”, bo mamy zero w mianowniku, co
sugeruje nieskończoną amplitudę.
Oczywiście, w rzeczywistym świecie nigdy z czymś tak nierealnym nie mamy do czynienia. Jest tak dlatego, że każdy
realny oscylator jest tłumiony, co objawia się tym, że nawet gdy siła wymuszająca drga zgodnie z częstością własną
oscylatora (ω = ωo), to mianownik nie jest zerem, bo pojawia się tam człon związany ze współczynnikiem tarcia.
Jednak amplituda osiąga wtedy największą, aczkolwiek skończoną wartość. Zjawisko, z którym mamy wtedy do
czynienia to tzw. rezonans.

Oscylator harmoniczny, którego drgania, a dokładniej amplituda drgań, ulegają osłabieniu na skutek działania sił
zewnętrznych (np. sił oporu) nazywamy oscylatorem harmonicznym tłumionym. Drgania wykonywane przez taki
oscylator nazywane są dlatego drganiami tłumionymi. Prostym przykładem takiego oscylatora jest układ
przedstawiony na poniższym rysunku, składający się ze sprężyny o stałej sprężystości k oraz ciężarka o
masie m zanurzonego w cieczy.

Podczas każdego wychylenia ciężarka z położenia równowagi, ciecz wywiera na ciężarek (i w

konsekwencji na cały układ) siłę oporu FT, której wartość, przy założeniu, że siła FT jest proporcjonalna do prędkości
V ciężarka, wynosi:

gdzie b to stała tłumienia zależna od właściwości cieczy i ciężarka, której jednostką jest kg/s. Zauważ, że im większa
wartość b, tym większa wartość siły oporu działającej na ciężarek. Znak minus w powyższym wzorze oznacza, że siła
FT przeciwstawia się ruchowi ciężarka.

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego
Oprócz siły FT na ciężarek działa również siła sprężystości F = - kx, związana ze sprężyną, dążąca do przywrócenia
początkowej długości (nierozciągniętej) sprężyny. Jeżeli zaniedbać siłę ciężkości działającą na ciężarek, wówczas
równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego przedstawia poniższe równanie różniczkowe drugiego rzędu:

Zależność tą możemy otrzymać zapisując dla układu ciężarek - sprężyna drugą zasadę dynamiki Newtona:

podstawiając w miejsce V oraz a wielkość dx/dt oraz d2x/dt2.

Zależność przemieszczenia x ciężarka w funkcji czasu t wykonującego drgania harmoniczne tłumione. Czerwone
krzywe przedstawiają zmianę amplitudy drgań tłumionych w funkcji czasu. Parametry ruchu: A = 2 m, b = 0,1 kg/s, m
= 0,05 kg, k = 150 N/m, φ = 0.

Fale stojące mogą powstawać w obszarach ograniczonych. Wtedy fala biegnąca w jednym kierunku nakłada się na
falę odbitą od granicy obszaru i biegnącą w kierunku przeciwnym. W wyniku interferencji takich fal powstaje fala
stojąca. Różne cząsteczki ośrodka, w którym obecna jest fala stojąca wykonują drgania o różnych amplitudach, ale o
tej samej częstości.
Falę stojącą charakteryzują następujące pojęcia:
• węzeł fali stojącej to miejsce, w którym cząsteczka ośrodka nie wykonuje drgań,
• strzałka fali stojącej to miejsce, w którym cząsteczka ośrodka wykonuje drgania z maksymalną amplitudą.

Fala stojąca, fala rozchodząca się efektywnie z zerową prędkością, powstaje w obszarach ograniczonych na skutek
interferencji fali padającej i fal odbitych.
Funkcja opisująca ruch falowy u(r,t) zależy wówczas wyłącznie od położenia (u=u(r)). Położenia o maksymalnej
amplitudzie noszą nazwę strzałek, a o zerowej amplitudzie - węzłów.

Pierwsza zasada termodynamiki precyzuje zależność zmianyenergii wewnętrznej od dostarczonego ciepła i pracy.
Wzór I zasady termodynamiki
Pierwsza zasada termodynamiki wyraża się następującym wzorem:

∆U = Q + W

∆U - zmiana energii wewnętrznej ciała/układu - jednostka w układzie SI: dżul J
Q - ciepło dostarczone do ciała/układu - jednostka w układzie SI: dżul J
W - praca wykonana nad ciałem/układem - jednostka w układzie SI: dżul J
Treść tego wzoru (a więc i I zasady termodynamiki) można przedstawić w postaci sformułowania:
Zmiana energii wewnętrznej ciała, lub układu ciał jest równa sumie dostarczonego ciepła i pracy wykonanej nad
ciałem /układem ciał.
Umowa dotycząca znaku
Aby prawidłowo obliczać zmianę energii wewnętrznej należy trzymać się następującej konwencji dotyczącej znaku
pracy, lub ciepła:

Jeśli praca lub ciepło są dostarczane do ciała (układu ciał), to są one liczone ze znakiem plus - są dodatnie.

Jeżeli są odbierane od ciała (układu ciał) , czyli jeśli to ciało/układ wykonuje jakąś pracę, to odpowiednie wartości
będą ujemne.

Pierwsza zasada termodynamiki

Zmiana energii wewnętrznej układu jest równa ciepłu przekazanemu z zewnątrz, bądź odebranemu od takiego układu

oraz pracy wykonanej nad, bądź przez taki układ.

gdzie:

ΔU - zmiana energii wewnętrznej układu,

Q - ciepło dostarczone (Q > 0), bądź odebrane (Q < 0) od układu,

W - praca wykonana nad układem (W > 0), bądź przez taki układ (W < 0).

Pierwsza zasada termodynamiki jest swoistą zasadą zachowania energii dla układów termodynamicznych. W układzie

izolowanym, czyli nie wymieniającym energii oraz masy z otoczeniem, energia nigdy nie jest tracona; co najwyżej

może ulec przekształceniu do innej formy energii.

Pierwszą zasadę termodynamiki możemy również sformułować następująco: niemożliwym jest

zbudowanie perpetuum mobile pierwszego rodzaju, czyli urządzenia, które pracowałoby w sposób ciągły bez

pobierania z zewnątrz energii. Mimo usilnych starań niezliczonej rzeszy osób przeczących powyższej definicji, nie

udało się i z całą pewnością nie uda się zbudować takiego urządzenia.

Moim ulubionym przykładem "urządzenia" spełniającego pierwszą zasadę termodynamiki jest człowiek. Spożywanie

jedzenia to proces dostarczania energii (przekaz energii z zewnątrz w postaci pokarmu), który jest nieodłącznym

elementem utrzymującym nas przy życiu, bez którego wykonywanie jakichkolwiek czynności (praca wykonywana

przez układ) przez dłuższy okres czasu stałoby się niemożliwe. Tak więc w myśl pierwszej zasady termodynamiki

człowiek, ściślej organizm ludzki jest przykładem układu termodynamicznego!

Carnota cykl, uproszczony, zamknięty cykl przemian termodynamicznych wyidealizowanego, odwracalnego, quasi-
statycznego silnika cieplnego. Składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat.
Silnik działający zgodnie z cyklem Carnota składałby się ze ścianek cylindra i tłoka wykonanych z doskonałego
izolatora ciepła i zamkniętego dnem cylindra, będącego idealnym przewodnikiem ciepła. Dno kontaktowałoby się
kolejno - z izolatorem ciepła (podczas sprężania

adiabatycznego

), zbiornikiem ciepła o wyższej temperaturze

(rozprężanie

izotermiczne

), izolatorem ciepła (rozprężanie adiabatyczne) i zbiornikiem ciepła o niskiej temperaturze-

chłodnicy (sprężanie izotermiczne).
Przemiany w cyklu Carnota zachodzące w odwrotnym kierunku zamieniają silnik w maszynę chłodniczą lub tzw.
pompę cieplną.

Cykl Carnota, przemiana termodynamiczna, złożona z dwóch przemian izotermicznych i dwóch przemian
adiabatycznych. Cykl Carnota jest procesem kołowym i odwracalnym. Do realizacji cyklu potrzebny jest czynnik

termodynamiczny, który może wykonywać pracę np. gaz w naczyniu z tłokiem a także dwa niegranicznone żródła
ciepła jedno jako źródło ciepła (o temperaturze T1) a drugie jako chłodnica (o temperaturze T2).
Cykl składa się z następujących procesów:
Sprężanie izotermiczne – czynnik roboczy styka się z chłodnicą, ma temperaturę chłodnicy i zostaje poddane
procesowi sprężania w tej temperaturze (T2). Czynnik roboczy oddaje ciepło do chłodnicy.
Sprężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem, i jest poddawany sprężaniu aż uzyska
temperaturę źródła ciepła (T1).
Rozprężanie izotermiczne – czynnik roboczy styka się ze źródłem ciepła, ma jego temperaturę i poddawany jest
rozprężaniu izotermicznemu w temperaturze (T1), podczas tego cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła.
Rozprężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem i jest rozprężany aż czynnik roboczy
uzyska temperaturę chłodnicy (T2).
W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjścia, dlatego mówimy, że cykl jest
kołowy.

Prawo Coulomba
Prawo Coulomba określa wartość siły elektrostatycznej działającej między
dwoma ładunkami. W podstawowej formie są to tzw. ładunki punktowe,
jednak prawo można też zastosować w odniesieniu do równomiernie
naładowanych kul.

k - stała elektrostatyczna (k = 9 ∙ 10

9

Nm

2

/C

2

)

Q

1

– ładunek elektryczny pierwszego obiektu – jednostka w układzie SI – kulomb C = A ∙ s

Q

2

– ładunek elektryczny drugiego obiektu – jednostka w układzie SI – kulomb C = A ∙ s

R - odległość między ładunkami, lub między środkami kul równomiernie naładowanych – jednostka w układzie SI –
metr m.
Oddziaływanie elektrostatyczne może być dwojakiego rodzaju:

przyciągające – gdy ładunki są różnoimienne

odpychające – gdy ładunki są jednoimienne

Prawo Gaussa dla elektryczności w fizyce, zwane również twierdzeniem Gaussa, to prawo wiążące pole elektryczne z
jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia
twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:
Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym
środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego
się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo gaussa- jeżeli jakiś ładunek q (lub ładunki qn) zamkniemy dowolną powierzchnią S, to strumień wektora
indukcji elektrycznej D przez tę powierzchnię jest równy sumie algebraicznej ładunków elektrycznych qn objętych
przez tę powierzchnię: = . Jeśli zatem dowolna zamknięta powierzchnia nie obejmuje żadnych ładunków
elektrycznych, to strumień indukcji przez tę powierzchnię jest równy zeru; zt. G. wynika, że źródłem indukcji
elektrycznej są ładunki elektryczne.

Strumień pola jest to ilość linii sił pola elektrycznego przepływających przez powierzchnię
Przybliżona definicja strumienia pola elektrycznego wygląda tak:

Właściwa definicja strumienia pola elektrycznego jest taka:

Załóżmy, że mamy dane dwa, różnoimienne ładunki elektryczne dające pole elektryczne, oraz określoną
powierzchnię. Jeżeli powierzchnię umieścimy tak aby zawierała ona w sobie jeden z danych ładunków to, znak
strumień pola będzie adekwatny do znaku ładunku umieszczonego w powierzchni. Jeżeli zaś powierzchnia będzie
umieszczona ta aby żaden z ładunków nie zawierał się w niej to strumień pola elektrycznego jest równy zero.
Strumień elektryczny - strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię.

Jeśli jego natężenie wynosi

i w polu tym umieścić powierzchnię płaską o polu A, to charakteryzując tę

powierzchnię za pomocą wektora

prostopadłego do niej, strumień wektora przez powierzchnię A wynosi (z

definicji):

gdzie to kąt między wektorami

oraz

ENERGIA I PRACA W POLU ELEKTROSTATYCZNYM

Ponieważ pole elektrostatyczne jest jak to się ładnie mówi analogią do pola grawitacyjnego można na tej podstawie
wyprowadzić wzór na energię potencjalną w tym polu. Sprawa jest bardzo łatwa. W polu grawitacyjnym:

Ep = GMm/r

W polu elektrostatycznym odpowiednikiem masy jest ładunek, a stałej G stała k (porównaj wzory na siłę oddziaływań
obiektów w polu grawitacyjnym i elektrostatycznym oraz wzory na natężenie pola). Zatem w polu elektrostatycznym:

gdzie:
Q - ładunek, który wytwarza pole
q - ładunek, który znajduje się w tym polu
r - odległość między ładunkami
Sytuacja komplikuje się trochę jeśli chodzi o pracę w tym polu. Należy rozpatrzeć 4 przypadki:
1. Zwiększenie odległości między dwoma różnoimiennymi ładunkami (+ i -) pod wpływem siły zewnętrzenej (jakiejś
tam siły, która nie jest siłą oddziaływania tych ładunków).
W = Ep2 - Ep1
W = -kQq/r2 + kQq/r1
W = kQq . (1/r1 - 1/r2)
Ponieważ r1 < r2 to 1/r1 > 1/r2, a zatem praca będzie większa od zera
W > 0
2. Zwiększenie odległości na skutek odpychania się dwóch jednoimiennych ładunków (np. + i + lub - i -)
W = Ep2 - Ep1
W = kQq/r2 - kQq/r1
W = kQq . (1/r2 - 1/r1)
Ponieważ r1 < r2 to 1/r1 > 1/r2, a zatem praca będzie ujemna
W < 0
3. Zmniejszenie odległości na skutek oddziaływania dwóch różnoimiennych
ładunków (+ i -)
W = Ep2 - Ep1
W = -kQq/r2 + kQq/r1
W = kQq . (1/r1 - 1/r2)
Ponieważ r1 > r2 to 1/r1 < 1/r2, a zatem praca będzie ujemna
W < 0
4. Zmniejszenie odległości między dwoma jednoimiennymi ładunkami (np.+ i +) na skutek działania siły zewnętrznej
W = Ep2 - Ep1
W = kQq/r2 - kQq/r1
W = kQq . (1/r2 - 1/r1)
Ponieważ r1 > r2 to 1/r1 < 1/r2, a zatem praca będzie dodatnia
W > 0

Można łatwo zauważyć, że jeśli na układ (np. na te dwa ładunki) działa jakaś siła zewnętrzna to praca jest dodatnia -
zwiększa się energia potencjalna układu.

Jeśli działa siła wzajemnych oddziaływań między ładunkami (+

przyciąga - i odwrotnie) to praca jest ujemna - zmniejsza się energia potencjalna układu.
Należy jeszcze wspomnieć, że energia potencjalna dwóch oddziałujących na siebie ładunków jednoimiennych jest
dodatnia (+ razy + daje + oraz - razy - daje +), natomiast ładunków różnoimiennych daje minus ( - razy + daje -)
Koniecznie trzeba pamiętać o tym, że pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym - jeśli nie zmieni się odleglość
miedzy ładunkami, nie zostanie wykonana praca. Zatem możemy np. przesunąć pewnien ładunek po łuku okręgu o
środku w ładunku wytwarzającym pole, a pracy i tak nie wykonamy. Trochę dokładniej jest to wyjaśnione przy polu
grawitacyjnym

Potencjał elektryczny
Podobnie jak pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne w danym punkcie charakteryzuje nie tyko natężenie, ale
również potencjał.
Potencjał elektryczny - definicja
Potencjałem elektrycznym w danym punkcie pola nazywamy stosunek energii potencjalnej jaką ma ładunek w tym
punkcie do wartości tego ładunku:

V = Ep / q

Potencjał nie zależy od ładunku q można to łatwo udowodnić podstawiając wzór na energię potencjalną:

Z potencjałem elektrycznym wiąże się kolejne ciekawe pojęcie, które będzie szeroko stosowane w związku z prądem
elektrycznym. Chodzi tu o napięcie elektryczne.

Potencjałem elektrycznym nazywamy iloraz energi potencjalnej punktowego ciała naelektryzowanego ładunkiem q i
wartości tego ładunku.
Różnica potencjałów elektrycznych jest nazywana napięciem
Potencjał elektryczny, zwany również elektrostatycznym odpowiada energii potencjalnej ładunku przebywającemu w
statycznym polu elektrycznym. Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt. Obrazowo, potencjał elektryczny można
sobie wyobrażać jako rodzaj "elektrycznego popychadła", przesuwającego ładunek z jednego miejsca w drugie.
Potencjał elektryczny jest mierzony w jednostkach energii na jednostki ładunku elektrycznego. W jednostach układu
SI są to: dżul/kulomb = wolt

Pojemnością elektryczną odosobnionego przewodnika nazywamy wielkość fizyczną C równą
stosunkowi ładunku q zgromadzonego na przewodniku do potencjału tego przewodnika.

Odosobniony przewodnik to ciało znajdujące się w tak dużej odległości od innych ciał, że wpływ ich pola
elektrycznego jest pomijalny. Jednostką pojemności elektrycznej jest farad

[1]

.

Pojemność wzajemna dwóch naładowanych przewodników, zawierających ładunki q i -q, wynosi:

gdzie:

i

to potencjały tych przewodników.

Pojemność wzajemna jest podstawowym parametrem układów elektrycznych gromadzących ładunek w
wyniku różnicy potencjałów w tym ikondensatorów. Określenie wzajemna jest zazwyczaj pomijane.

Dielektryk wprowadzony między okładki kondensatora powoduje wzrost jego pojemności ε razy. Wielkość ε nazywa
się względną przenikalnością elektryczną dielektryka lub jego stałą dielektryczną. Ten wzrost pojemności związany
jest ze zjawiskiem polaryzacji dielektryka, polegającym na częściowym uporządkowaniu trwałych i indukowanych
molekularnych momentów dipolowych dielektryka pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego.

Na powierzchni dielektryka pojawiają się ładunki związane, odpowiadające końcom łańcuchów dipoli, częściowo
neutralizujące ładunek (swobodny), znajdujący się na okładkach kondensatora. Aby poprawnie opisać zjawiska

zachodzące w kondensatorze z dielektrykiem, oprócz wektora natężenia pola elektrycznego wprowadza się

wektory: indukcji

i polaryzacji

. Poszczególne wektory wiąże się z odpowiednimi ładunkami:

- wszystkie ładunki

- tylko ładunki swobodne

- Tylko ładunki związane (polaryzacyjne). Wektor ten znika w próżni.

Jeśli

= 0, to

= ε

0

, natomiast dla

≠ 0,

= ε

0

+

. W dielektryku izotropowym kierunki wszystkich

wektorów są zgodne. Dla dielektryków liniowych (ε = const, χ = const) można podać następujące związki
empiryczne:

Wielkość χ=ε-1 nazywa się podatnością elektryczną dielektryka.
Natężenie pola elektrycznego mierzy się w woltach na metr, natomiast miarą indukcji i polaryzacji jest
powierzchniowa gęstość ładunku mierzona w kulombach na metr kwadratowy. W przypadku wektora polaryzacji
chodzi tu o gęstość powierzchniową ładunku związanego (polaryzacyjnego).

Prawo Ohma

Prawo Ohma opisuje sytuację, najprostszego przypadku związku między napięciem
przyłożonym do przewodnika (opornika), a natężeniem prądu przez ten przewodnik płynącego.

Sformułowanie prawa Ohma

Stosunek natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia pomiędzy jego końcami jest stały.

Wzór na prawo Ohma - postać 1

Wzór na prawo Ohma - postać 2

Inaczej prawo Ohma można sformułować także w postaci zapisu symbolicznego:

I ~ U (I jest proporcjonalne do U)

I - natężenie prądu (w układzie SI w amperach – A)
U - napięcie między końcami przewodnika (w układzie SI w woltach – V)

Natężenie prądu płynącego przez przewodnik jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia.

Charakterystyka prądowo napięciowa przewodnika spełniającego prawo Ohma

Charakterystyka prądowo napięciowa przewodnika spełniającego prawo Ohma jest linią prostą.

Interpretacja prawa Ohma

Prawo Ohma mówi nam, że natężenie płynącego przez przewodnik prądu dokładnie „nadąża” za zmianami napięcia.
Gdy napięcie wzrasta 2-krotnie, wtedy wywołany tym napięciem przepływ prądu też osiągnie natężenie 2 razy
większe, gdy napięcie wzrośnie 5 krotnie, to natężenie prądu też powinno wzrosnąć 5 razy w stosunku do wartości
początkowej.
Jeszcze inaczej mówiąc:
Natężenie prądu, będące efektem przyłożonego napięcia, zachowuje się proporcjonalnie do swojej przyczyny.
Prawo Ohma jest spełniane przez część materiałów – głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo
substancji które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób
nieproporcjonalny do napięcia.

Kiedy prawo Ohma jest spełnione?
Prawo Ohma jest prawem materiałowym (nie uniwersalnym), co oznacza, że sprawdza się tylko dla niektórych
materiałów - substancji. Poza tym prawo to jest słuszne tylko w określonych napięć i przy ustalonych warunkach
zewnętrznych (np. stała powinna być temperatura).
Prawo Ohma jest spełniane głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji, które prawa
Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do
napięcia. Poza tym stosowalność prawa Ohma może istotnie zależeć od zakresu napięć - np. w typowych sytuacjach
przy małych napięciach natężenie jest proporcjonalne do napięcia, ale po przejściu w zakres dużych napięć,
proporcjonalność się załamuje. Na rysunku poniżej przedstawione są charakterystyki materiałów, które nie spełniają
prawa Ohma.

Rysunek - przykład charakterystyk materiałów NIE spełniających prawa Ohma.

Materiały spełniające i nie spełniające prawa Ohma

Do materiałów spełniających prawo Ohma należą przewodniki:

metale (np. miedź, złoto, srebro, żelazo)

grafit

niektóre materiały ceramiczne

większość elektrolitów

Nie spełniają prawa Ohma:

półprzewodniki

gazy (choć w pewnych zakresach napięć mogą być one zgodne z tym prawem).

Prawo Ampere’a

Prawo Ampere’a w typowej najprostszej postaci określa wartość pola wokół nieskończonego prostoliniowego
przewodnika z prądem. Linie pole magnetycznego wokół takiego przewodnika przyjmują kształt okręgów leżących w
płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. Sam przewodnik przebija płaszczyznę okręgu dokładnie w środku tego
okręgu. Wartość pola można określić wzorem:
Postać wzoru podająca wartość natężenia pola magnetycznego

Postać wzoru podająca wartość indukcji magnetycznej

H – natężenie pola magnetycznego – w układzie SI w amperach na metr [H]=A/m
B – indukcja magnetyczna – w układzie SI w teslach T = N/Am = kg/(As

2

)

r – odległość punktu, w którym określane jest pole od przewodnika – w układzie SI
w metrach m
μ – μ

0

μ

r

przenikalność magnetyczna ośrodka

μ

0

- przenikalność magnetyczna próżni – jednostka w układzie SI – H/m (Henr na

metr)
μ

r

przenikalność relatywna ośrodka – wielkość bezwymiarowa

Prawo Biote’a – Savarta

Prawo Biote’a – Savarta podaje wartość indukcji pola magnetycznego
pochodzącej od nieskończenie małego (infinitezymalnie małego)
kawałka przewodnika. Aby zastosować to prawo trzeba posłużyć się
rachunkiem różniczkowym i całkowym.

Załóżmy (patrz rysunek), że chcemy wyznaczyć przyczynek do
całkowitej indukcji magnetycznej pochodzącej od kawałka

przewodnika o długości

. Pole wyznaczamy w punkcie P, który jest

wskazywany przez wektor wodzący o początku w przyczynku.
Ważny jest też kierunek pod jakim ustawiony jest przewodnik w
stosunku do wektora wodzącego.

Ostateczne przyczynek pola magnetycznego dany będzie wzorem.

dB – nieskończenie mały przyczynek indukcji magnetycznej pochodzący od fragmentu przewodnika – w układzie SI
w teslach T = N/Am = kg/(As

2

)

– nieskończenie mały odcinek przewodnika – w układzie SI w metrach m

– promień wodzący od przyczynka przewodnika do punktu, w którym określane jest pole - w układzie SI w

metrach m
I – natężenie prądu w przewodniku – w układzie SI w amperach A
μ – μ

0

μ

r

przenikalność magnetyczna ośrodka

μ

0

- przenikalność magnetyczna próżni – jednostka w układzie SI – H/m (Henr na metr)

μ

r

przenikalność magnetyczna relatywna ośrodka – wielkość bezwymiarowa

Zastosowanie prawa Biote'a Savarta
Prawo Biote'a Savarta ukazuje swoją przydatność gdy chcemy wyznaczyć pole od różnie ustawionych przewodników.
Za jego pomocą (posługując się całkowaniem) można np. wyprowadzić prawo Ampere'a, wyznaczyć wartość pola
magnetycznej w środku pętli z prądem, czy też wewnątrz solenoidu.

Prawa elektrolizy Faradaya

Prawa elektrolizy Faradaya to dwa prawa sformułowane przez Faradaya w 1834 r.:
1. Masa substancji wydzielonej podczas elektrolizy jest proporcjonalna do ładunku, który przepłynął przez elektrolit
2. Ładunek Q potrzebny do wydzielenia lub wchłonięcia masy m jest dany zależnością

gdzie:
F - stała Faradaya (w kulombach/mol)
z - ładunek jonu (bezwymiarowe)
M - masa molowa jonu (w kilogram/mol).
Inne, częściej spotykane sformułowanie drugiego prawa elektrolizy Faradaya brzmi:
Stosunek mas m

1

oraz m

2

substancji wydzielonych na elektrodach podczas przepływu jednakowych ładunków

elektrycznych jest równy stosunkowi ich równoważników elektrochemicznych k1 oraz k2 i stosunkowi ich mas
równoważnikowych R

1

oraz R

2

, czyli:

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya to prawo oparte na doświadczeniach Faradaya z 1831 roku. Z
doświadczeń tych Faraday wywnioskował, że w zamkniętym obwodzie znajdującym się w zmiennym polu
magnetycznym, pojawia się siła elektromotoryczna indukcji równa prędkości zmian strumienia indukcji pola
magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. Prawo to można wyrazić wzorem

gdzie

- strumień indukcji magnetycznej,

- szybkość zmiany strumienia indukcji magnetycznej,

Jeżeli w miejscu pętli umieści się zamknięty przewodnik o oporze R, wówczas w obwodzie tego przewodnika
popłynie prąd o natężeniu I:

Minus we wzorze jest konsekwencją zasady zachowania energii i oznacza, że siła elektromotoryczna jest skierowana
w ten sposób, aby przeciwdziałać przyczynie jej powstania, czyli zmianom strumienia pola magnetycznego (reguła
Lenza).

Na przykład, w przypadku zwojnicy o N zwojach, wzór na siłę elektromotoryczną indukcji można zapisać w postaci:

Wzór wynikający z prawa Faradaya można przedstawić w postaci całkowej:

gdzie:

- siła elektromotoryczna powstająca w pętli,

E - natężenie indukowanego pola elektrycznego,
l - długość pętli,
dl - nieskończenie mały odcinek pętli,
S - powierzchnia zamknięta pętlą l,
B - indukcja magnetyczna.

Z prawa Faradaya wynika wprost wzór:

będący jednym z równań Maxwella.