Jednostki podstawowe układu SI
Punktem wyjścia dla stosowanego układu jednostek są jednostki podstawowe. Nie da się jednej
jednostki podstawowej otrzymać z drugiej jednostki podstawowej za pomocą jakiegoś wzoru. Poza
tym każda jednostka podstawowa jest ustalana w oparciu fizycznie istniejące ciało, lub doświadczenie.
Układ SI często jest nazywany układem MKS. Wynika to z faktu, że jego podstawowymi jednostkami
związanymi z mechaniką są Metr, Kilogram, Sekunda. W odróżnieniu od niego w rzadko dziś
używanym układzie CGS jednostką długości był Centymetr (zamiast metra), a jednostką masy Gram
(zamiast kilograma) i tylko sekunda była wspólną jednostką w obu typach układów.
Jednostki podstawowe układu SI
Nazwa wielkości
nazwa jednostki
skrót literowy
długość
metr
m
masa
kilogram
kg
czas
sekunda
s
natężenie prądu
amper
A
temperatura
kelwin
K
ilość substancji
mol
mol
światłość źródła światła
kandela
cd
Definicje wielkości podstawowych
1 metr jest równy drodze jaka przebywa w próżni światło w ciągu czasu 1/299792458 sekundy.
1 sekunda jest to czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania związanego z przejściem
miedzy dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu Cs - 133.
Uwagi: Rodowód sekundy jest oczywisty - jest to 1/3600 godziny, która jest 1/24 doby, która jest
mniej więcej 1/365 roku. Tak więc sekunda wywodzi się z astronomii - z czasu w jakim wykonuje
obrót Ziemia. Tak początkowo wybrana jednostka nie była jednak zbyt wygodna, ponieważ Ziemia nie
obraca się ze stałą prędkością, więc sekunda, też byłaby zmienna...
1 kilogram jest masą międzynarodowego wzorca kilograma
Uwagi: pierwotnie kilogram był określany jako masa 1 litra wody. Ale woda to dosyć skomplikowana
substancja (może mieć różny skład izotopowy atomów, zanieczyszczenia, nawet coś w rodzaju
struktury krystalicznej), więc trudno byłoby utrzymać stabilność takiej jednostki. Nic dziwnego, że
później definicję zmieniono. Starano się jednak zachować zgodność między stara, a nową jednostką.
Dlatego w przybliżeniu dalej można uważać, że 1kg jest masą 1l (chłodnej) wody.
Uwagi: Pierwotnie 1 metr miał być równy 1/40 000 części ćwiartki
południka Ziemskiego. Później dopiero stwierdzono, że nie jest zbyt
wygodnie określać jednostkę wymagającą odbywania podróży
dookoła Świata. Poza tym Ziemia zmienia w niewielkim stopniu
swój kształt, więc i sam metr nie byłby stabilnie określony. Mimo
zmiany definicji "obecny metr" jest w z dobrym przybliżeniem
zgodny z pierwotnym "metrem geograficznym".
1 kelwin jest to jednostka temperatury termodynamicznej równa 1/273,16 temperatury
termodynamicznej punktu potrójnego wody.
Uwagi: u podstaw kelwina leży wcześniejsza jednostka, czyli stopień Celsjusza - °C. Różnica
temperatur w kelwinach i w °C jest taka sama. 100K to różnica temperatur między punktem
zamarzania i wrzenia wody pod ciśnieniem normalnym.
Konieczność zmiany definicji jednostki pojawiła się wraz z rozwojem wiedzy o naturze zjawisk
cieplnych okazało się, że lepiej jest związać definicję jednostki temperatury z temperaturą zera
bezwzględnego (czyli -273,15°C) i z temperaturą punktu potrójnego wody. Punkt potrójny wody jest
bardzo stabilnym punktem temperaturowym (stabilniejszym niż temperatury topnienia i wrzenia), a
zero bezwzględne, jest to temperatura w której zanikają ruchy cieplne cząsteczek i atomów.
1 amper jest to natężenie takiego prądu stałego, który płynąc w dwu nieskończenie długich,
nieskończenie cienkich przewodach prostoliniowych umieszczonych równolegle w próżni w
odległości 1m od siebie wywołałby miedzy nimi siłę magnetyczną o wartości 2×10-7 N na każdy metr
długości przewodnika.
1 kandela jest to światłość jest to światłość, jaka ma w danym kierunku źródło emitujące
monochromatyczne promieniowanie o częstości
540∙ 1012 Hz i mające w tym kierunku wydajność energetyczną 1/683 W/Sr
Uwagi: Pierwotnie światłość była definiowana w oparciu o złożony układ doświadczalny - tzw.
"promiennik zupełny". Jednak nie jest to najwygodniejsza droga, bo percepcja światła przez człowieka
jest procesem skomplikowanym i przeliczenia jednych wartości na drugie też byłyby bardzo trudne.
Aktualna definicja upraszcza wiele problemów pojawiających się podczas interpretacji zjawisk za
pomocą starej jednostki.
1 mol jest to ilości materii zawierającej tyle samo elementów ile jest atomów zawartych w 0,012 kg
czystego nuklidu węgla C-12.
Uwagi: Mol jest jednostką tak dobraną, że masy atomów i cząsteczek podane w jednostkach masy
atomowej łatwo przeliczają się na masy moli w gramach. Np. masa atomowa tlenu jest równa 16, co
oznacza z jednej strony, że pojedynczy atom tlenu ("średni", bo poszczególne izotopy różnią się masą
atomów) ma masę 16 a.j.m., a z drugiej strony mol atomów tlenu ma masę 16 g. Jednak trzeba
pamiętać, że powyższa reguła obowiązuje jedynie w przybliżeniu, bo (z powodu istnienia różnych i
różnie zawartych w próbce pierwiastka izotopów) atomy nie mają mas będących dokładnie
wielokrotnością pewnej masy elementarnej.
Uwagi: Nikt oczywiście nie buduje nieskończonego przewodnika,
żeby przekonać się ile to jest 1 amper. Są wzory, które pozwalają na
przeliczenie układu nieskończonego na inny, bardziej mierzalny i
"budowalny" - np. solenoid.
Amper ma związek z inną ważną jednostką - kulombem, czyli
jednostką ładunku (naboju) elektrycznego.
Jednostki pochodne układu SI można (w odróżnieniu od
jednostek podstawowych
) otrzymać z
jednostek podstawowych stosując rozmaite wzory.
- np. jednostkę prędkości otrzymujemy dzieląc jednostkę odległości przez jednostkę czasu.
W tabelce przedstawiono przykłady kilku takich jednostek .
Nazwa
nazwa jednostki
skrót literowy
powiązania, uwagi
pole powierzchniP
p
metr kwadratowy
m
2
objętość V
metr sześcienny
m
3
prędkość v
metr na sekundę
m/s
przyspieszenie a
metr na sekundę
kwadrat
m/s
2
siła F
niuton
N = kg∙ m∙ s
-2
praca / energia
dżul
J = kg ∙ m
2
∙ s
-2
J = N∙ m
ciśnienie p
paskal
Pa = kg∙ m
-1
∙
s
-2
Pa = N/ m
2
częstotliwość f
herc
Hz = s
-1
gęstość ρ
kilogram na metr
sześcienny
kg∙ m
-3
moc P
wat
W = kg m
2
∙ s
-3
W = J / s
ciepło właściwe C
w
dżul przez
kilogram kelwin
m
2
s
-2
K
-1
J/kgK
natężenie pola
elektrycznego E
wolt na metr
kg m s
-3
A
-1
V/m
ładunek elektrycznyQ
kulomb
As
C = As (także amperosekunda)
opór elektryczny R
om
kg m
2
s
-3
A
-2
1 Ω = V/A
Indukcja magnetyczna B
tesla T
kg s
-2
A
-1
1T = N/(Am)
Jednostki uzupełniające układu SI
Jednostki pozaukładowe
Oprócz jednostek podstawowych i pochodnych dopuszczono do stosowania jeszcze kilka innych
jednostek. Mogą być one stosowane zamiennie z jednostkami pochodnymi układu SI, a używa ich się
głównie po to, aby podkreślić typ opisywanej wielkości, lub dla wygody i ze względów historycznych.
Nazwa wielkości
nazwa jednostki skrót literowy /przeliczenia
kąt płaski
stopień
minuta
sekunda
° (1° = 60' = 3600")
' (1' = 60")
''
czas
godzina
minuta
doba
rok
1 h = 3600s
1 min = 60s
1 d = 24h
1 rok (gwiazdowy) = 365,2564
masa
tona
1t = 1000kg
temperatura
stopień
Celsjusza
°C
pole powierzchni
hektar
1ha = 10 000 m
2
objętość
litr
1l = 10
-3
m
3
Działania na wektorach
W poniższej tabeli zgromadzono (opisywane także w innych rozdziałach) operacje na wektorach.
rodzaj działania
zapis i typ wielkości
wynikowej
opis wielkości wynikowej
Dodawanie wektorów
Żeby dodać dwa wektory, gdy
znamy ich współrzędne, należy
dodać odpowiednie
współrzędne - x-owe do x-
owych, a y-owe do y-owych
(ew. z-owe do z-owych).
Na płaszczyźnie
(w
x
, w
y
) + (u
x
, u
y
) =
W odróżnieniu od dodawania liczb całkowitych wektor-suma
wcale nie musi być dłuższy od któregoś z wektorów
wyjściowych, a często bywa krótszy.
Suma dwóch wektorów może być też wektorem zerowym (mimo,
że wektory wyjściowe miały długości różne od zera)
Zachodzi to w dwóch przypadkach:
- oba sumowane wektory są zerowe
- dodawane
wektory są przeciwne
- tzn. mają ten sam kierunek i
Nazwa wielkości
nazwa jednostki
skrót literowy
definicja
kat płaski
radian
rad
radian - kąt między dwoma promieniami
okręgu wycinającymi z tego okręgu łuk o
długości równej promieniowi.
kąt przestrzenny
steradian
sr
steradian - kąt bryłowy o wierzchołku w
środku sfery, wycinający na powierzchni
sfery obszar o polu równym kwadratowi
promienia tej sfery.
(w
x
+u
x
, w
y
+u
y
)
W przestrzeni
(w
x
, w
y
, w
z
) + (u
x
, u
y
, u
z
) =
(w
x
+u
x
, w
y
+u
y
, w
z
+ u
z
)
wartość, ale przeciwne zwroty.
Odejmowanie wektorów
Żeby odjąć dwa wektory, gdy
znamy ich współrzędne, należy
odjąć odpowiednie
współrzędne - x-owe od x-
owych, a y-owe od y-owych
(ew. z-owe od z-owych).
Na płaszczyźnie
(w
x
, w
y
) - (u
x
, u
y
) =
(w
x
- u
x
, w
y
- u
y
)
W przestrzeni
(w
x
, w
y
, w
z
) - (u
x
, u
y
, u
z
) =
(w
x
- u
x
, w
y
- u
y
, w
z
- u
z
)
Wektor-różnica wcale nie musi być krótszy od pierwszego z
wektorów wyjściowych. Może być dłuższy.
Różnica dwóch wektorów jest równa zero (jest wektorem
zerowym) w dwóch przypadkach:
1. oba odejmowane wektory są zerowe
2. odejmowane wektory są równe - tzn. mają ten sam
kierunek, zwrot i wartość.
mnożenie wektora przez
liczbę
Tak samo dzielenie przez
liczbę.
otrzymujemy nowy wektor
Aby wektor podzielić przez
liczbę, mnożymy go przez
odwrotność tej liczby
powstaje wektor a razy dłuższy od wektora wyjściowego.
Zwrot wektora wynikowego jest:
- taki sam jak wyjściowy, gdy ajest dodatnie
- przeciwny do wyjściowego, gdy a jest ujemne
Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym)
gdy:
- wektor wyjściowy jest równy zero, lub
- liczba a jest równa zero
mnożenieskalarnewekto
rów
otrzymujemy skalar
Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości
obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego.
Lub inaczej:
Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora
mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek
wyznaczony przez pierwszy wektor (skomplikowane jest to
zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Dokładniej wyjaśnione
jest to w dziale
Energia
przy omawianiu
pracy
.
Iloczyn skalarny stanie się równy Zero, gdy którykolwiek z
wektorów wyjściowych jest zerowy, lub wektory są do siebie
prostopadłe.
Patrz także:
Mnożenie skalarne wektorów
.
mnożeniewektorowewek
torów(stosuje się
wyłącznie do wektorów w
trzech
wymiarach)
otrzymujemy
nowy wektorprostopadły do
obu wektorów wyjściowych.
Długość (wartość) tego
wektora wynosi:
- wartość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości
obu wektorów wyjściowych razy sinus kąta między nimi
zawartego (ma to sens tylko w trzech wymiarach);
- kierunek wektora wynikowego jest prostopadły do płaszczyzny
wyznaczonej przez wektory wyjściowe;
- zwrot ustalamy w oparciu o
regułę śruby prawoskrętnej
Interpretacja iloczynu wektorowego 2:
Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości
pierwszego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na
Uwaga:
tak naprawdę efektem
mnożenia wektorowego
wektorów jest tensor... Ale w
uproszczeniu możemy go
traktować jako wektor a
właściwie tzw.
"pseudowektor".
kierunek prostopadły do pierwszego wektora.
Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych
jest zerowy, lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.
znajdowanie wartości
(długości) wektora gdy
znamy jego współrzędne
Długość wektora na
płaszczyźnie obliczamy
stosując twierdzenie
Pitagorasa.
Żeby obliczyć wartość wektora
trójwymiarowego trzeba
zastosować to twierdzenie dwa
razy.
Długość wektora jest równa zero tylko wtedy,
gdywszystkie współrzędne wektora są równe zero (ew.
patrz
wektor zerowy
).
Jeśli wektor podany jest w postaci rysunkowej, to trzeba
zmierzyć długość strzałki tego wektora, a następnie pomnożyć
przez skalę w jakiej został narysowany - np. jeśli centymetr
oznacza 3 m/s, to wektor 5 centymetrowy oznacza prędkość o
wartości 15 m/s.
Informacje wstępne na temat uczenia (się) zasad dynamiki Newtona
Poprawne zrozumienie 3 zasad dynamiki sformułowanych przez Newtona, jest jednym z
najtrudniejszych zadań podczas nauki szkolnej. Niestety, niewiele osób (mimo, że duża część z nich
kończy studia techniczne) rozumie w pełni sens i wzajemne znaczenie tych zasad.
Tymczasem zasady te tworzą pewną spójną całość i nie jest możliwe poprawne zrozumienie np. 1
zasady dynamiki, bez świadomości o co chodzi w 2 zasadzie.
Tradycyjne podawanie tych zasad odbywa się po kolei - czyli najpierw pierwsza zasada, potem druga,
a na końcu trzecia. Nie jest to najlepsze podejście do sprawy. Bo właściwie zasady 1-sza i 2-ga są ze
sobą nierozerwalnie związane. Można by właściwie mówić o jednej konstrukcji myślowej, w której
obie zasady, niczym dwie połówki owocu, wzajemnie się uzupełniają.
I właściwie najlepiej jest zacząć naukę od zrozumienia 2-giej zasady dynamiki. Bez tego nigdy nie
zrozumiemy po co wprowadza się 1szą zasadę. Jednak gdy już dobrze zrozumiemy tę drugą zasadę
dynamiki, to automatycznie zorientujemy się, że ona sama w sobie nie wystarcza, że w jej ujęciu coś
istotnego brakuje. I dopiero połączenie 2giej zasady z 1szą spowoduje, że cała konstrukcja nabierze
sensu - wszystko "wskoczy" na swoje właściwe miejsca.
W skrócie można opisać wzajemne usytuowanie zasad tak:
1 - sza zasada dynamiki formułuje niezbędne warunki, w których możliwe jest poprawne
sformułowanie 2 giej zasady dynamiki Newtona.
2 - ga zasada dynamiki jest celem całej owej konstrukcji z tymi zasadami - daje nam ona
możliwość przewidywania, jaki będzie ruch ciał w ustalonych warunkach.
3 - cia zasada dynamiki Newtona jest dodatkiem do pierwszych dwóch zasad, umożliwiającym
rozpatrywanie nie tylko pojedynczych ciał i działających na nie sił, ale całych układów
oddziaływujących obiektów.