Zadania z fizyki - zestaw IV. AiRs3w’09
1. Pewne ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T i amplitudzie A. Jaki jest stosunek energii kinetycznej do potencjalnej w chwili gdy wychylenie x=1/2A. Zakładając, ze x(t=0)=0 wyznacz czas po którym ciało znajdzie się w odległości x=A/2 i jego prędkość w tym momencie.
2. Dwie spręŜyny o stałych spręŜystości k1 i k2 oraz ciało o masie m tworzą układ drgający. Ile wynosi częstość drgań układu gdy spręŜyny połączone są szeregowo a ile gdy są one połączone równolegle.
3. Ile będzie wynosił okres drgań ciał o masach m1 i m2 połączonych spręŜyną o stałej spręŜystości k, po wychyleniu jednego z ciał z połoŜenia równowagi, jeśli znajdują się one na idealnie gładkiej poziomej
powierzchni.
4. Okres drgań wahadła matematycznego umieszczonego w windzie poruszającej się pionowo w górę jest podczas hamowania n=2 razy większy niŜ podczas startu windy. Znaleźć przyspieszenie windy, jeŜeli wiadomo, Ŝe jego wartość jest taka sama podczas startu i hamowania.
5. Wyznacz wypadkową amplitudę drgań, które powstają w wyniku superpozycji n drgań o jednakowej amplitudzie A i jednakowej częstości, przesuniętych względem siebie w fazie o stały kąt φ .
6. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne wokół połoŜenia równowagi xs=0. Kołowa częstość drgań wynosi ω
o=4.0 rd/s. W pewnej chwili połoŜenie cząstki wynosiło xo= 25 cm, a jej prędkość v0= 100 cm/s. Znaleźć
połoŜenie i prędkość cząstki po czasie t1=2.4 s.
7. Wyznaczyć okres małych drgań areometru o masie m = 50g i promieniu r=3.2 mm zanurzonego w idealnej cieczy o gęstości ρ = 1.0 g/cm3 , który nieznacznie pchnięto w kierunku pionowym.
8. Na szalkę o masie M, zawieszoną na spręŜynie o stałej spręŜystości k, spada z wysokości h cięŜarek o masie m i przykleja się do niej. Jaka jest częstość i amplituda powstałych drgań.
9. Na poziomej płaszczyźnie leŜy klocek o masie m1, który moŜe ślizgać się po tej płaszczyźnie bez tarcia. Na osi umieszczonej w bocznej ściance klocka jest zawieszony pręt odługości l z umocowanym na końcu cięŜarkiem o masie m2. Zaniedbując masę pręta obliczyć okres małych drgań wahadła.
10. Ciało o masie M wisi na spręŜynie o masie m i stałej spręŜystości k . Jaki będzie okres drgań tego układu, tj.
uwzględniając niezerową masę spręŜyny.
11. Okres drgań tłumionych wynosi T=4 s, logarytmiczny dekrement tłumienia δ= 1.6, a faza początkowa drgań zero. W chwili t=T/4 wychylenie z połoŜenia równowagi wynosi x = 0.045 m. Napisz równanie ruchu tych drgań, oraz określ czas po którym 90% energii początkowej drgań ulegnie rozproszeniu.
12. Ciało wprawiono w drgania tłumione o dekremencie δ : a) 2 i b) 0.2. Jaką drogę przebędzie to ciało do ustania drgań jeśli w chwili początkowej wychylono je z połoŜenia równowagi na odległość A0 .
13. Niewielka kulka o masie m =0.1 kg, zawieszona na idealnej nici o długości l = 20 cm, moŜe wykonywać drgania z logarytmicznym dekrementem tłumienia δ=0.1. Obliczyć połoŜenie i prędkość kulki po upływie czasu t =
15 s, jeŜeli w chwili początkowej wychylenie z połoŜenia równowagi wynosi α0= 0.1 rd, a prędkość kątowa ωp =
0.1 rd/s.
14. Amplitudy drgań wymuszonych są sobie równe przy częstościach kołowych siły wymuszającej : ω1= 400 rd/s i ω2 = 600 rd/s. Ile wynosi rezonansowa częstość drgań tego układu.
15. W środku masy walca o masie M i promieniu R przymocowano poziomą spręŜynę o stałej spręŜystości k.
Walec wychylono z połoŜenia równowagi o odcinek A tak, Ŝe po zwolnieniu siły podtrzymującej toczy się on bez poślizgu po poziomym podłoŜu. Wyznacz okres drgań układu. oraz energię kinetyczną ruchu postępowego i
obrotowego walca w chwili gdy przetacza się on przez połoŜenie równowagi.
16. Tarczę w kształcie koła o promieniu R i masie M zawieszono na poziomej osi przechodzącej przez brzeg tarczy i prostopadłej do jej powierzchni. Wyznaczyć okres drgań tarczy wokół połoŜenia równowagi.
17. W jakiej odległości od środka masy pręta o długości l =1m naleŜy umieścić poziomą oś obrotu, aby okres drgań pręta wokół tej osi był najmniejszy.
1. Ek(x=A/2)/Ep.(x=A/2)= 3; t=T/12: v=√3 π A/T;
2. T=2π(m(k1+k2)/k1k2)1/2 T= 2π(m/(k1+k2)1/2
3. T = 2π [m1 m2 / k(m1 + m2 ) ]1/2 ;
4. a0 =g( n2 – 1)/(n2 +1)
5. Aw = A sin(nφ/2) /sinφ/2 ;
6. x = [x 2
0 + (v0/ ω)2 ]1/2 sin[ωt1 + arctg(-v0/ωx0)]
v = - ω[x 2
0 + (v0/ ω)2 ]1/2 sin[ωt1 + arctg(-v0/ωx0)]
7. T=2π(m/πr2ρg)1/2
8. A= mg/k [1+2kh/g(M.+m.]1/2 ;
9. T= 2π[l/g(1+m2/m1)]1/2
10. T = 2π [(M.+1/3m.)/k ]1/2 ;
11. x(t)= xp. e δ/4 e - δ/T t sin(2π/T t); tx = - T/2δ ln0.1;
12. s= A0 (1+e -δ/2 )/(1- e -δ/2 ) ;
13. α=αm e-βt sin(ωt+φ)
ω=ω0/(1+δ2/4π2)1/2
ctgφ=ω
α
p/ωo o (1+δ2/4π2)1/2 + δ/2π
αm = αo/sinφ
v= l d2α/dt2= -βl αm e-βt sin(ωt+φ)+ωl αm e-βt cos(ωt+φ)
14. ω
2
2
r = √2/2 (ω1 + ω2 )1/2 ;
15. T= 2π [3M/2k]1/2 ; Ek = kA2/3 ; Eko = kA2/6
16. T = 2π [3R/2g]1/2
17. x = √3/6 L